Monday, 17 Jun 2019

Slide: Dekomposisi Matriks

Slide: Dekomposisi Matriks

Slide: Dekomposisi Matriks

Topik Bahasan:

  • Definisi Dekomposisi Matriks;
  • Teknik Dekomposisi Matriks;
    • Metode Crout;
    • Metode Doolittle;
    • Metode Cholesky;
    • Metode Eliminasi Gauss;
    • Minor dan Kofaktor;
    • Matriks Adjoint

Slide: Dekomposisi Matriks selengkapnya bisa Anda pelajari pada konten di bawah ini.

Slide: Dekomposisi Matriks

Slide Tunggu Sampai Slide: Dekomposisi Matriks selesai dimuat...!
Author: Dr. Ruminta

Transcript

Definisi Dekomposisi Matriks

Dekomposisi matriks adalah memodifikasi atau merubah matriks menjadi matriks segitiga bawah (L) dan/atau matriks segitiga atas (U).

A = LU

a11         a12         a13         a14                         an           0              0              0              fin           fi12         fi13         fi14

a21         a22         a23         a24                         a21         a22         0              0              0              fi22         fi23         fi24

a31         a32         a33         a34                         a31         a32         a33         0              0              0              fi33         fi34

a41         a42         a43         a 44                        a41         a42         a43         a 44        0              0              0              44

A = L      U

                                                A             -              L                                             

an           ai2          a13         ai4                          aii            0              0              0

a21         a22         a23         a24                         a21         a22         0              0

a31         a32         a33         a34                         a31         a32         a33         0

a41         a42         a43         a 44                        a41         a42         a43         a44

A = L

                                                A             -              U                                            

a11         a12         a13         a14                         #1           #2           #13         #14

a21         a22         a23         a24                         0              #22         #23         #24

a31         a32         a33         a34                         0              0              #33         #34

a41         a42         a43         a44                         0              0              0              #44

A = U

Contoh :

2              -1            -1                            2              0              0"            1              - 0.5       -0.5

0              -4            2              =             0              -4            0              0              1              -0.5

6              -3            0                              6              0              3              0              0              1

10 0 2 0 10 0 3 0 1_|_0 1 0 0j2 0 2 0 0 3 0 1_|_0 2 -1 -1" 0 - 4 2 0 0 3 - 4 0 0 6 - 3 0 0 - 4 2

-1

-4 0 -1 -2 0

-1 2 3 -1 1 3

A = LU

A = LU

A = LU

A = U

A = L

Teknik Dekomposisi Matriks

Ada empat metode :

1.            Metoda Crout (elemen diagonal utama matriks segitiga atas (U) adalah satu)

2.            Metoda Doolittle (elemen diagonal utama matriks segitiga bawah (L) adalah satu)

3.            Metode Cholesky (elemen diagonal utama matriks segitiga atas (U) dan segitiga bawah (L) adalah sama), hanya untuk matriks simetri.

4.            Metode Eliminasi Gauss (memodifikasi matriks menjadi matriks segitiga atas bawah (L) atau matrisk segitiga atas (U).

Metoda Crout

l11          0              0              0                              1              u12         U13        U14                        a11         a12         a13         a14

l21          l22          0              0                              0              1              U 23       U 24                       a21         a22         a23         a24

l31          l32          l33          0                              0              0              1              U34                        a31         a32         a33         a34

l41          l42          l43          l44                          0              0              0              1                              a41         a42         a43         a44

Rumus untuk menyelesaikan persamaan dari elemen matriks segitiga bawah hingga matriks segitiga atas :

Tahap 1: l =

11

a

11

a

'21

21

lo i a

31

31

l41 = a41

Tahap 2.

l11U12 = a12 ^ U12 _

l11U13 = a13 ^ U13 =

a

12

l

11

a

13

l

l11U14 a14 ^ U14

11 a

14

l

11

Tahap 3:               l21M12 + l22       — a22                   l22          — a22 ' - l21M12

                l31M12 + 132     — a32                   l32          — a32 "                "l31M12

                l41M12 + 142     — a42                   l42          — a42 "                - l41M12

Tahap 4

j j a23 l21M13 121^13 + '22^ 23 - ^23 ^ U 23 —

23

23

l21M14 + l22M24 — a24 ^ M24 —

l22

a24 - l21M14

l

22

Tahap 5

l31U13 + l32U23 + l33 — a33 ^ l33 — a33 l31U13 l32U23 l41M13 + l42M23 + l43 — a43 ^ l43 — a43 - l41M13 - l42M23

Tahap 6 : Tahap 7:

j.J            j               ___ a34 l31M14 l32U24

lo i Mi a + I^^IM^A + lnnUnA      A ^

31 14 32 24 33 34

34

34

l

33

l41M14 + l42M24 + l43M34 + 144 a44 ^ l44 a44 l41M14 l42M24 l43M34

Rumus Umum Metode Crout

j-1

= aij-Z !ikukj j < i = 1 K ,n

k=1

i-1

aij -^!ikUkj

Uij =-- i j, j = 2 k ,n

!ii

Contoh 1.

Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah (L) dan segitiga atas (U).

"3            -1            2"                                            0              0"            "1            U12        U13                        "3            -1            2

1              2              3                              l21          22           0              0              1              U 23       -              1              2              3

2              - 2           -1                            l31          l32          l33          0              0              1                              2              -2            -1

Tahap 1:

lii = a11 = 3 l21 = a21 = 1 l31 = a31 = 2

Tahap 2: l11u12 = a12 ^ u12 =

12

12

l11U13 = a13 ^ U13 =

TahaP 3: l21U12 + l22 = a22 ^ l22 = a22 - l21U12 = 2 - ) = ^

a 12       

l11          3

a13         = 2

l11          =3

1              7

) =          

-1 4

Tahap 3. l3\M12 +132 — ^32 ^ l32 — ^32 l3\M12 — 2 (2)( ) —

Tahap 4:

7              7              a23 l21M13

l21M13 + l22M23 — a23 ^ M23 —

2 7

3 - (1)(2) 7

l

22

Tahap 5:

7 3

y_ — 1. — 1

7 3

l31M13 + l32M23 + l33 — a33 ^ l33 — a33 l31M13 l32M23

2 4

—-1 - (2)(—) - (- -)(1) —-1

3              -1            2                              3              0              0              1              -1/3        2/3

1              2              3              —           1              7/3         0              0              1              1

2              -2            -1                            2              - 4/3       -1            0              0              1

Contoh 2.

Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah (L) dan segitiga atas (U).

2              - 5           1                              I11          0              0              1              U12        U13                        2              - 5           1

-1            3              -1                            l21          22           0              0              1              U 23       -              -1            3              -1

3              - 4           2                              l31          l32          l33          0              0              1                              3              - 4           2

Tahap 1: l11 = a11 = 2

l21 = a21 = 1 l31 = a31 = 3

Tahap 2:

l11U12 = ai2 ^ U12 =

l11U13 = a13 ^ U13 =

a

12

l

11

-5 2

= -2.5

a

13

l

11

1              = 0.5

2

TahaP 3: l21U12 + l22 = a22 ^ l22 = a22 - l21U12 = 3 - (-1)(-2'5) = 0'5

Tahap 3, l3\M12 +132 — ^32 ^ l32 — 032 l3\M12 — 4 (3)( 2.5) — 3.5

Tahap 4 :

1              1              °23 l21M13

^ 1 I        ^ Mtj

-1 - (-1)(0.5) - 0.5

21 13 22 23 23

23

l

22

0.5

0.5

—-1

Tahap 5:

l31M13 + l32M23 + l33 — °33 ^ l33 — °33 l31M13 l32M23

— 2 - (3)(0.5) - (3.5)(-1) — 4

2              - 5           1                              " 2           0              0"                            "1            -2.5        0.5"

-1            3              -1            —           -1            0.5          0                              0              1              -1

3              - 4           2                              3              3.5          4                              0              0              1

Metoda Doolittle

1              0              0              0

21           1              0              0

31           l32          1              0

41           l42          l43          1

u

11 0

0

0

u

12

u

13

u

14

u

22 0

0

u

23

u

24

u

33 0

u

34

u

44

a>n an au 0^4

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

Rumus untuk menyelesaikan persamaan dari elemen matriks segitiga atas hingga matriks segitiga bawah :

Tahap 1:               u11 U12                = a11 = a12          Tahap 2:               l21u11   = a21     ^ l21 =

                u13         = a13                     l31u11   = a31     ^ l31 =

                u14         = a14                     l41u11   = a41     ^ l41 =

a

21

u

11

a

31

u

11

a

41

u

11

Tahap 3:

Tahap 4

21U12   + u 22    — a22   ^ U 22   — a22   — l21U12

21U13   + u 23    — a23   ^ U23    — a23   — l21U13

21U14   + u 24    — a24   ^ U 24   — a24   — l21U14

11           1 a32 l31U12

£31^12 ^32^22 --^ 132 -

32

32

l41U12 + l42U22 — a42 ^ l42 —

U 22 a42 — l41U12

u

22

Tahap 5

l31U13 + l32U23 + U33 — a33 ^ U33 — a33 l31U13 l32U23 l31U14 + l32U24 + U34 — a34 ^ U34 — a34 — l31U14 — l32U24

Tahap 6 : Tahap 7:

1              r              r              __r _ ^43 l41U13 l42U23

l ^ 1 Ui 3 + l A^U^n + l An U33 ^^ 3 ^ l An

41 13 42 23 43 33

43

43

u

33

l41U14 + l42U24 + l43U34 + U44 a44 ^ U44 a44 l41U14 l42U24 l43U34

Rumus Umum Metode Doolittle

Contoh 1.

Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah (L) dan segitiga atas (U).

3 -12

1              2 3

2              - 2 -1

I l-

1              0              0              U11        U12        U13                        3 -1         2

21           1              0              0              U 22       U 23       -              1 2          3

31           l32          1              0              0              U33                        2 - 2        -1

Tahap 1: u11       — a11   — 3        Tahap 2: l21U11                a21 ^ l21 —

U12        — a21   —-1                      

U13        — a31   —2         l31U11  — a31 ^ l31 —

a

21

u

11

a

31

u

11

1

3

2

3

Tahap 3:

l21U12 + U 22

1 7

— a22 ^ u22 — a22 — l21U12 — 2 — (T)( —1) — 3

1

7

Tahap 3: l21u13 + u23 — a23 ^ u23 — a23 - l21u13 — 3 - (—)(2) — —

3

3

Tahap 4 :

l31u12 + l32u22 — a32 ^ l32

Tahap 5 :

l31u13 + l32u 23 + u33

a32 l31u12

u

22

a33 ^ u33

2              4

-2 - (i)(-1) n

7              7

33

a33 l31u13 l32u 23

2 - 4 7

-1 - (2)(2) -(-7-)(I)

-4

7

—-1

3 -12

1              2 3

2              -2 -1

1

0 0 1 0

1/3

2/3 - 4/7 1

3 -12 0 7/3 7/3 0 0 -1

Contoh 2.

Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah (L) dan segitiga atas (U).

2 -13 - 4 5 0 4 2 18

I l

Tahap 1: uu — au — 2

11

12 13

'11 ?21 ?31

Tahap 3:

l21U12 + U 22 — a22

1              0              0              U11        U12        U13                        2              —1         3

21           1              0              0              U 22       U 23       —           — 4        5              0

31           l32          1              0              0              U33 _                    4              2              18

2                              Tahap 2:                                                                                               — 4 — 2—         

1 :3                         l21U11                  — a21   ^ l21       — a21 — uH                                       —2

                                l31U11                  — a31   ^ l31       — a31 — uH                       1 — 2 2

^ u 22                    — a22 — l21                       U12 —  5 — (—2)(                           —1) —  3             

Tahap 3: /21u13 + u23 = a23 ^ u23 = a23 - /21u13 = 0 - (-2)(3) = 6

Tahap 4 :

l31U12 + l32U22 = a32 ^ l32

a32 l31U12

U

22

2 - (2)(-1) = 4 = 4

3 = 3=3

Tahap 5 :

l31U13 + l32U23 + U33 = a33 ^ U33 = a33 l31U13 l32U23

4

= 18 - (2)(3) - (^)(6) = 18 - 6 - 8 = 4

2              -1            3                              " 1           0              0"                            "2            -1            3"

-4            5              0              —           - 2           1              0                              0              3              6

4              2              18                           2              4/3         1                              0              0              4

Metode Cholesky

'11          0              0              0

l21          l22          0              0

l31          l32          l33          0

l41          l42          l43          l44

u

11 0

0

0

u

12

u

13

u

14

u

22 0

0

u23 u24

u

33 0

u

34

u

44

a>n an aX3> 0*14

a 21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

di mana, L = u--

Rumus untuk menyelesaikan persamaan dari elemen matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah :

Tahap 1:

I11 =      u11 Va11              l31 =       a31 U11

l2, =        a21         l41 =       a41

                U11                       

                                                U11

Tahap 2:

122 =     U22        = V a22 121u12

132 =     a32         -1u 31 12

                                U22

142 =     a42         -1u 41 12

                                U22

122 =     U22        _ Va22 121u12

U23 =    a23         -1u 21 13

                                122

U24 =    a24         -1u 21 14

                                122

Tahap 3:

133 = U33 = V^ 131U13 132U

- Liu 13 A /12 u

143 =

43 41_13 42 23 133

133 = U33 = V a33 131U13 132U23

U34 =

a34 131U14 132U24

u33

Tahap 4:

Rumus Umum Metode Cholesky

u>> = iji =

i-1

-11

ikUki

i = 1,... ,n

k=1

j-1

aij -]=11ikUkj 1j =-—- j < i, i = 2,. ,n

uii i-1

ij ik kj

Uij =-T^- i j, j = 2,..,n

1ii

Contoh 1.

Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah (L) dan segitiga atas (U).

2 -10 -1 2 -1 0 -12

'11          0              0              U11        u12         U13                        2 -1         0

l21          l22          0              0              u 22        U 23       —           -1 2         -1

l31          l32          l33          0              0              U33                        0 -1         2

Tahap 1:

I11 =      un           = Va11  — V 2

I21 =      a21         -1           

                U11        = V2      

I31 =      a31 U11                0 = V2    — 0

a

U12 =

12

L11

a

U13 =

13

u

11

-1

V2

0

V2

= 0

Tahap 2.               1n           un           -yja22    1

a22 121U12

-1 -1

-1

3

M

a32 131U12

-1 -0)W-1

32

u

22

3

3

u

22 122 Va22 1

L11U11

-1 -1 2 - W vf'

3

M2

U23 =

-1

1 - VJ)0)

l

22

1

22

-1

3

Tahap 3.

133 = U33

-v

a33 131U13 132U23

1

-1 -1 2 - (0)(0) - H=)

3 2

3 2

4

\3

2-10 -1 2 -1 0-12

1

~l2 0

0

3 2 1

3 2

atau

2-10 -1 2 -1 0-12

1.414 0 -0.707 1.225 0 -0.817

©

4

3

0

0

0 1.414 -0.707 0 0 0 1.225 -0.817 1.155 0 0 1.155

Contoh 2.

Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah (L) dan segitiga atas (U).

4              2              4                              " I11       0              0"            U11        U12        U13                        " 4           2              4"

2              10           14                           ^21         ^22         0              0              U 22       U 23       —           2              10           14

4              14           24                           ^31         ^32         ^33         0              0              U33                        4              14           24

Tahap 1: l

11

= u,, =

11

Va7 — V4 = 2

l=

a

21

21

u

11

Li =

a

31

31

u

11

=2=1

2

=4—2

2

U12 =

a12 = 2 = 1

l

11

2

U13 =

an=4=2

l

11

2

TahaP 2: ln = Un — V an - I21U12 —410 - (1)(1) — V9 — 3

U —

U22 — V a22

a32 — l31U12

32

14 — (2)(1) — 12 —

U

22

3

3

U23 —

a23 l21U13

14 — (1)(2) — 12 — 4

l22 3 3

Tahap 3:

l33 — U33 — Va33 — l31U13 — l32U23 — V24 — (2)(2) — (4)(4) — V4 — 2

4              2              4 "                           " 2           0              0 "           "2            1              2"

2              10           14           —           1              3              0              0              3              4

4              14           24                           2              4              2              0              0              2

Metode Eliminasi Gauss

1. Eliminasi Gauss merubah matriks menjadi matriks segitiga bawah (L) menggunakan operasi baris elementer :

A = L

a11         a12         a13         a14

a21         a22         a23         a24

a31         a32         a33         a34

a41         a42         a43         a44

a11         a12         a13         a14                         /              11           0              0              0                             

a21         a22         a23         a24                         l               21           l22          0              0                             

a31         a32         a33         a34                         l               31           l32          l33          0                             

a41         a42         a43         a44                         l               41           l42          l43          l44 _                      

                V             a12         a13         0              -                              V                             a12''       0              0

                a21         a22                         0                                              a21                         a22         0              0

                                                as                                                                                                                           

                a31         a32 '       033 J      0                                              a31                         a32         a33         0

                _ a41     a42         a43         a44                                         _ a41                     a42         a43         a44

                                2                                                                                                              3                             

1

a un       0              0              0                              Ai            0              0

a " 21     ^22         0              0              —S                         ^22         0

31           a32         a33         0              —/         ^31         hi            ^33

a4l          (2 42      a 43        ^44                         /41         ^42         ^43

4              4

Operasi baris elementer : A = L Pada matriks 1 : basis vipot : (a44)

f-a ^

34

V ^44 J

Pada matriks 2 : basis vipot : (a33')

23

r _

a23 V a33 J

Pada matriks 3 : basis vipot : (a22")

'-a

12

712

»»

V ^22 J

0 0 0

(

'24

-a

\

24

V a44 J

13

f _ y\

V a33 J

14

f-a ^

14

V aAA J

Contoh

1. Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah (L).

1              1              1              2                                              ln            0              0              0

2              1              2              1                                              ^21         n             0              0

1              1              3              2                              OBE ^    ^31         l32          '33          0

2              2              1              1                                              ^41         '42          '43          '44

—6         — 6 0 0

3              2              0 0

—3         — 3        10

2              2              11

1              1              1              2                              —3         —3         —1         0             

2              1              2              1              bi4(-2)   0              —1         1              0              bi3(1)

1              1              3              2              b24(-1) —3         —3         1              0              b23(-1)

2              2              1              1_           b34(-2) 2              2              1              1             

- 6           - 6 0 0

3              2              0 0

- 3           - 3           10

2              2              11

M3)

3              0              0 0

3              2              0 0

-3            -3            1 0

2              2              11

= L

2. Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah (L).

2 0 2 4

4

2 2 2

0 -2 4 4

2 4 0 2

^ OBE ^

                0              0              0

l21          l22          0              0

l31          l32          l33          0

l41          l42          l43          l44

24 02 22 42

02 -2 4

40 4 @

bi4(-1)

b24(-2)

-2 2         -4            0

- 8 - 2     - 8           0

2 2          4              0

4 2          4              2

bi3(i)

b23(2)

0              4              0              0

-4            2              0              0

2              2              4              0

4              2              4              2

bi2(-2)

-8 0         0              0

-4 2         0              0

2 2          4              0

4 2          4              2

= L

2. Eliminasi Gauss merubah matriks menjadi matriks segitiga atas (U) menggunakan operasi baris elementer :

A = U

                a12         a13         a14

a21         a22         a23         a24

a31         a32         a33         a34

a41         a42         a43         a 44

a11         a12         a13         a14

a21         a22         a23         a24

a31         a32         a33         a34

a41         a42         a43         a44

a11         a12         a13         a14

0              a22         a23         a24

0              a32         a33         a34

0              a42         a43         a44

u

11 0

0

0

U12        U13        U14

U 22       U 23       U 24

0              u33         U34

0              0              U 44

a11         a12         a13         a14

0              a22         a23         a24

0              0              a33 '       a 34

0              0              a " 43     a 44

a11         a12         a13         a14                         U11        U12        U13        U14

0              a22         a23         a24                         0              U 22       U23        U 24

0              0              a33         a '' 34                     0              0              U33        U34

0              0              0              a '''                          0              0              0              U 44

1

Operasi baris elementer : A = U

Pada matriks 1 : basis vipot : (a44)

21

(-xA 21

\ a\\ J

Pada matriks 2 : basis vipot : (a33')

'32

^ ®32

V a22 J

Pada matriks 3 : basis vipot : (a22")

43

f _ ..A

2 "

V 33 y

'31

(-a A

31

V a\\ J

42

'-a

u42

V a22 J

41

(-a A

41

V ^11 J

Contoh

1. Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga atas (U).

1 -1 2 3

-1 -1 4 1

r i -i -1 -1 24 31

3 1

-1 1 5 1

-1 1 5 1

^ OBE ^

U11        U12        U13        U14

0              U 22       U23        U 24

0              0              U33        U34

0              0              0              U44

b2i(l) bsi(-2)

b4i(-3)

1 0 0 0

-1 -2 6 4

1

2 1

-2

-1 0 7 4

                r1            -1            1              -1

b32(3)   0              -2            2              0

                                                               

b42(2)   0              0              7              7

                0              0              2              4

1 0 0 0

-1            1              -1

-2            2              0

0              7              7

0              2              4

b43(-2/7)

1              -11          -1

0              - 2 2        0

0              0 7          7

0              0 0          2

= U

2. Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga atas (U).

1              2              3              4                                              U11        U12        U13        U

2              1              0              3                                              0              U22        U23        U

3              2              1              0                              OBE ^    0                                             

                                                                                                                0              U33        U

2              4              0              1                                              0              0              0              U

14

24

34

44

"1            2 3 4"

2              10 3

3              2 10 2     4 0 1

M-2)

bsi(-3)

b4i(-2)

1 2 3

4

0 - 3 - 6 - 5 0 - 4 - 8 -12 0 0 - 6 - 7

b32(-4/3) i

1 2 3

0 0 0

-3 -6

0 0

0 -6

4

-5 -16/3 -7

b

34

1 2 3

4

0 - 3 - 6 - 5 0 0 - 6 - 7

0 0 0 -163

= U

Minor dan Kofaktor

Jika au adalah elemen determinan matriks A

U

yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-J. Minor dari aiJ , dinyatakan oleh Mijt adalah determinan dari matriks A setelah baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks tersebut dihilangkan.

Jika A = d

a              b             c

d             e             f

g              h             • i

maka minor dari

                ac           

M 22 =  •             , dst.

                gi            

Jika matriks A adalah determinan, MiJ adalah minor elemen A pada baris ke-i dan kolom ke-j. Kofaktor ay adalah dinayatakan oleh :

Kij=(-1)i+j M

ij

Kj =

M j jika i + j adalah genap

 

- My jika i + j adalah ganjil

                a              b             c

Jika A = d             e             f\,

                g              h             • i

=

22

a c g i

K 22 = (-1)

2+2

ac gi

Matriks Adjoint

Jika Ky adalah kofaktor dari matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j. Matriks Adjoint dari A , dinyatakan oleh Adj (A), adalah matriks yang elemen-elemennya dari transpose matriks kofaktor.

                a b c                                                       K11         K12         K13

A =         d e f                                       K=           K21         K22         K23

                g h i _                                                    _K31      K32         K33

                                                " Kn        K21         K31                        

                Adj A) =                --Kt =     K12         K22         K32                        

                                                _K13      K23         K33 _                    

©                                                                                                           

Contoh

Tentukan Monor, Kofaktor dan matriks Adjoint dari matriks berikut.

1. A =

1              2 3

2              3 3 4 6 5

B =

1 2 1 1 1 2 2 1 1

1. A =

M n =

M12 =

M13 =

M 21 =

M 22 =

1              2              3                             

2              3              3                             

4              6              5                             

"3            3"                                           

                                = 15 -18 =                             -3,

6              5                                             

"2            3"                                           

                                = 10 -12 =                             -2,

4              5                                             

" 2           3"                                           

                                = 12 -12 =                             0,

4              6_                                          

" 2           3"                                           

                                = 10 -18 =                             -8,

6              5                                             

"1            3"                                           

                                = 5          -12 = -   -7,

4              5                                             

,1 + 1

11

1+2

12

1+3

13

2+1

11

,2+2

22

M 23 =

M 31 =

M32 =

M33 =

1 2 4 6

"2 3" 3 3_ 13 23 12 23

= 6 - 8 = -2, K23 = (-1)2+3 (-2) = 2

= 6 - 9 = -3, K31 = (-1)3+1(-3) = -3

= 3 - 6 = -3, K32 = (-1)3+2(-3) = 3

= 3 - 4 = -1, K33 = (-1)3+3( -1) = -1

K=

-3 2 0 8 -7 2

-3 3 -1

Adj( A) = Kt =

-3 8 -3 2 - 7 3 0 2 -1

2. B =

1 2 1 1 1 2 2 1 1

M a =

M12 =

M13 =

M 21 =

M 22 =

1 2 1 1 12 21 1 1" 2 1 "2 1 1 1 "1 1" 2 1

= 1 - 2 = -1, Kn = (-1)1+1(-1) = -1

= 1 - 4 = -3, K12 = (-1)1+2 (-3) = 3

= 1 - 2 = -1, K13 = (-1)1+3(-1) = -1

= 2 -1 = 1, Kn = (-1)2+1(-1) = -1

= 1 - 2 = -1, K22 = (-1)2+2(-1) = -1

M 23 =

M 3, =

M32 =

M33 =

12 21 21 12 11 12

12 11

= 1 - 4 = -3, K23 = (-1)2+3(-3) = 3

= 4 -1 = 3, K31 = (-1)3+1 (3) = 3

= 2 -1 = 1, K32 = (-1)3+2(1) = -1

= 1 - 2 = -1, K33 = (-1)3+3(-1) = -1

K=

-1 3 -1 -1 -1 3 3 -1 -1

Adj( A) = Kt =

-1 -1 3 3 -1 -1 -1 3 -1

Info

Slide Matematika dan slide-slide lainnya yang ada di Site SmartStat dapat dipelajari pada tautan di bawah ini:
Daftar Slide Matematika II
Daftar Seluruh Slide

Download Slide



Komentar Anda?