Memahami Kontras Ortogonal dalam Membandingkan Rata-rata Perlakuan

Kontras Ortogonal

Metode analisis ragam berguna dan merupakan alat yang handal untuk membandingkan beberapa rata-rata perlakuan.  Dalam membandingkan t perlakuan, hipotesis null menyatakan bahwa semua rata-rata perlakuan tidak berbeda (H₀: µ₁ = µ₂ = ... = µ_t).  Apabila uji F nyata, maka HA diterima, yang menyatakan bahwa tidak semua rata-rata perlakuan sama atau adalah salah satu rata-rata perlakuan yang berbeda dengan yang lainnya.  Selanjutnya dilakukan perbandingan untuk menentukan perlakuan mana yang berbeda dengan mengurai Jumlah Kuadrat Perlakuan untuk pengujian F tambahan untuk menjawab beberapa pertanyaan yang sudah direncanakan.  Metode kontras atau ortogonal untuk memisahkan rata-rata memerlukan tingkat pengetahuan tertentu yang bersifat apriori, baik berdasarkan pertimbangan keilmuan tertentu atau berdasarkan hasil penelitian sebelumnya.  Hal inilah yang menyebabkan metode ini disebut juga dengan Uji F yang terencana.

Jika peneliti punya pertanyaan spesifik yang perlu dijawab, perlakuan dirancang untuk menyediakan informasi dan uji statistik yang akan menjawab pertanyaan tersebut.  Peneliti yang berpengalaman akan memilih perlakuan sehingga Jumlah Kuadrat Perlakuan bisa diurai untuk menjawab beberapa pertanyaan bebas sesuai dengan nilai derajat bebas perlakuan yang terdapat pada analisis ragam. Konsekuensinya, nama lain dari uji ini adalah uji derajat bebas tunggal.  Apabila perbandingan saling bebas, maka dikatakan ortogonal.

Definisi Kontras dan Keortogonalan

Kontras adalah jumlah linier dalam bentuk:

$$ Q=\sum_{i=1}^{m}{c_i{\bar{Y}}_{i.}};dengan\sum_{i=1}^{m}c_i=0_$$

Jumlah koefisien dalam setiap perbandingan harus bernilai nol,  ${\bar{Y}}_{i.}$ adalah rata-rata perlakuan(bisa juga dalam bentuk jumlah perlakuan), dan m ≤ t, adalah banyaknya perlakuan yang akan dibandingkan.  Untuk kemudahan dalam perhitungan, nilai koefisien c_i biasanya bilangan bulat.  Kontras selalu mempunyai derajat bebas tunggal (derajat bebas = 1).

Misalkan  $Q_c=\sum_{i=1}^{m}{c_i{\bar{Y}}_{i.}};_dan_Q_d\sum_{i=1}^{m}d_i{\bar{Y}}_{i.}$  adalah dua kontras.  Keduanya bersifat ortogonal apabila jumlah hasil kali koefisien-koefisien yang sesuai pada dua atau lebih perbandingan bernilai nol.

$$\sum_{i=1}^{m}{c_id_i}=0_{{_\ _^\ }\ }(atau\sum_{i=1}^{m}{c_id_i/n_i=0\ \ untuk\ \ rancangan\ \ yang\ \ tidak\ \ seimbang})$$

Tujuan utama dari kontras ortogonal adalah untuk memisahkan Hipotesis null menjadi beberapa kombinasi perbandingan rata-rata.  Sifat keortogonalan sangat penting karena alasan berikut:  untuk t-1 pembanding yang saling ortogonal dari t buah perlakuan, maka jumlah kuadrat dari semua pembanding tersebut (t-1 buah) akan sama dengan jumlah kuadrat perlakuan aslinya.  Hal ini berarti perlakuan percobaan dapat diurai menjadi t-1 buah percobaan yang bebas dan terpisah, satu untuk setiap pembanding.

Contoh

Misalkan kita ingin menguji tiga perlakuan, T1, T2 dan T3 (kontrol), sehingga terdapat 2 derajat bebas dari perlakuan.  Perlakuan tersebut kita nyatakan dengan μ1, μ2,, dan μ3.  Hipotesis nullnya: H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃.  Karena derajat bebasnya = 2, maka terdapat dua jenis perbandingan yang mungkin dibuat.  Misalnya untuk menguji hipotesis apakah T1 dan T2 tidak berbeda nyata dengan kontrol (T3): μ₁ = μ₃. dan μ₂ = μ₃. 

Untuk μ₁ = μ₃ (1μ₁ + 0μ₂ -1μ₃= 0) koefisiennya adalah : c1 = 1, c2 = 0, c3 = -1

Untuk μ₂ = μ₃ (0μ₁ + 1μ₂ -1μ₃= 0) koefisiennya adalah: d1 = 0, d2 = 1, d3= -1

Kombinasi linier rata-ratanya merupakan kontras jika jumlah dari semua c_i sama dengan nol:

$\sum_{i=1}^{m}c_i=0$ :  (1 + 0 + (-1) = 0).

Meskipun demikian, kontras tersebut tidak bersifat saling ortogonal karena:

$\sum_{i=1}^{m}{c_id_i}\neq0$  (c1d1 + c2d2+ c3d3 = 0 + 0 + 1 = 1).

Hal ini menunjukkan bahwa tidak setiap pasangan hipotesis bisa diuji dengan menggunakan pendekatan ini.  Sebagai tambahan, agar penjumlahan bernilai 0, koefisien c_i hampir selalu bernilai integer (bilangan bulat).  Untuk t = 3, misalnya pasangan koefisiennya adalah c1 = 1, c2 = 1, c3 = -2; dan d1 = 1, d2 = -1, d3 = 0.  Hipotesis didefinisikan berdasarkan koefisien ortogonal adalah  1) rata-rata dua perlakuan tidak berbeda dengan kontrol, 2) μ₁ tidak berbeda nyata dengan μ₂.  Kedua pembanding tersebut adalah kontras karena (1 + 1 + (-2) = 0 dan 1+ (-1) + 0= 0) dan bersifat ortogonal karena (c1d1 + c2d2+ c3d3 = 1 + (-1) + 0 = 0).

Perbandingan Grup

Penerapan pertama dari kontras ortogonal adalah untuk pembandingan dalam grup.  Ini adalah Analisis Ragam pada grup rata-rata.  Untuk memudahkan pemahaman penggunaan kontras ortogonal dalam perbandingan grup, kita akan menggunakan contoh data pada Tabel berikut.  Analisis ragamnya diberikan pada Tabel berikutnya.

Tabel 8.    Hasil  (mg berat tanaman bagian atas, shoot) percobaan RAL untuk menentukan pengaruh perlakuan benih oleh berbagai jenis asam pada tahap pembenihan.

* = anorganik, ** = organik

Tabel 9.    Analisis Ragam

Untuk percobaan tersebut, peneliti mungkin mempunyai beberapa pertanyaan yang sudah dirancang untuk menjawab:

1. Apakah perlakuan asam menurunkan pertumbuhan benih?
2. Apakah asam organik berbeda dibandingkan dengan asam anorganik?
3. Apakah terdapat perbedaan pengaruh di antara kedua asam organik?

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, tabel koefisien pembandingan linier di antara perlakuan disajikan pada tabel berikut.

Tabel 10.  Koefisien ortogonal untuk memisahkan jumlah kuadrat perlakuan pada Tabel Analisis Ragam ke dalam tiga uji yang saling bebas.

 Koefisien bisa digunakan untuk membagi Jumlah Kuadrat Perlakuan (JKP) ke dalam tiga komponen, masing-masing dengan satu derajat bebas yang akan digunakan pada Uji F untuk setiap perbandingan.  Nilai kritis F berdasarkan pada 1 derajat bebas untuk pembilang dan db galat untuk pembagi (Uji F dengan derajat bebas tunggal). 

Aturan untuk menentukan nilai koefisien pada perbandingan grup (Little &Hills p 66).

1. Pada perbandingan rata-rata dari dua grup, masing-masing grup yang mempunyai perlakuan yang sama diberi koefisien yang sama, +1 untuk salah satu grup dan -1 untuk grup lainnya.  Kasus serupa bisa diterapkan untuk perbandingan yang lebih kompleks, lebih dari dua grup.
2. Dalam membandingkan grup yang jumlah perlakuannya berbeda, pada grup pertama berikan nilai koefisien yang sama dengan banyaknya grup kedua, dan pada grup kedua berikan koefisien yang bernilai seragam sampai jumlahnya sama dengan jumlah grup yang pertama.  Contohnya, apabila ada 5 perlakuan yang akan dibandingkan, grup pertama ada 2 buah perlakuan dan grup kedua ada 3 perlakuan.  Nilai koefisien untuk grup yang pertama harus bernilai 3 (sama dengan banyaknya grup kedua, 3 buah perlakuan) dan nilai koefisien untuk masing-masing perlakuan pada grup kedua harus bernilai -2 (kenapa -2? jumlah koefisien ketiga perlakuan harus sama dengan jumlah grup yang pertama, 3+3=6, hanya saja tandanya harus "-") , sehingga koefisien untuk masing-masing perlakuan seharusnya: +3, +3,  -2, -2, -2. 
3. Koefisien untuk setiap perbandingan sebisa mungkin bilangan bulat terkecil untuk setiap perhitungan.  Misalnya koefisien: +4, +4, -2, -2, -2, -2. seharusnya disederhanakan (semuanya dibagi 2) menjadi bilangan bulat terkecil : +2, +2, -1, -1, -1, -1.
4. Unsur-unsur perbandingan mungkin terdapat interaksi dari dua atau lebih perbandingan.  Nilai koefisien untuk perbandingan interaksi tersebut ditentukan dengan cara multiplikasi (perkalian) dari koefisien-koefisien yang bersesuaian dari kedua perbandingan (Tabel 11).

Tabel 11.  Percobaan pemupukan dengan 4 perlakuan, 2 taraf untuk N dan 2 taraf untuk P.

Koefisien untuk 2 perbandingan pertama diperoleh dari aturan pertama.  Koefisien interaksi merupakan jumlah perkalian antara nilai koefisien dari kedua baris tersebut.

Catatan, jumlah koefisien pada masing-masing perbandingan harus bernilai nol dan jumlah hasil kalinya (cross products)juga harus bernilai nol.  Apabila kedua persyaratan tersebut dipenuhi, maka perbandingan tersebut dikatakan ortogonal, sehingga kesimpulan yang diambil pada salah satu perbandingan tidak tergantung pada perbandingan grup lainnya.

Perhitungan jumlah kuadrat untuk Uji F dengan derajat bebas tunggal untuk kombinasi linier rata-rata perlakuan adalah sebagai berikut:

$$ JK(Q)=KT(Q)=\frac{(\sum{c_i{\bar{Y}}_{i.})^2}}{1/r\sumc_i^2}\ \ atau\ \ \frac{(\sum{c_i{\bar{Y}}_{i.})^2}}{\sum{c_i^2/r_i}}\ untuk\ \ rancangan\ \ yang\ \ tidak\ \ seimbang$$

JK (control vs. acid)        = [3(4.19) – 3.64 – 3.73 – 3.87]² / [(12)/5] = 0.74

JK (Inorg. vs. org.)           = [3.64 + 3.73 – 2(3.87)]² / [(6)/5] = 0.11

JK (antara org.)                = [-3.64 + 3.73]² / [(2)/5] = 0.02

Tabel 12.  Penguraian Jumlah Kuadrat Perlakuan pada Perbandingan ortogonal.

Dari analisis di atas kita bisa menyimpulkan bahwa ketiga perlakuan asam sangat nyata mengurangi pertumbuhan benih, asam organik menyebabkan penurunan pertumbuhan benih yang lebih besar dibandingkan dengan asam anorganik, dan tidak terdapat perbedaan di antara perlakuan asam organik.

Jumlah derajat bebas tunggal perbandingan grup sama dengan db perlakuan.  Hal tersebut akan terjadi apabila masing-masing perbandingannya bersifat ortogonal.  Banyaknya perbandingan grup ortogonal sama dengan derajat bebas perlakuannya.  Apabila perbandingan tidak bersifat ortogonal, jumlah kuadrat untuk perbandingan grup tertentu mungkin mewakili (atau diwakili oleh) bagian jumlah kuadrat perbandingan grup yang lainnya. Oleh karena itu, kesimpulan yang diperoleh dari salah satu uji mungkin dipengaruhi oleh uji perbandingan lainnya dan jumlah kuadrat dari masing-masing perbandingan tidak akan sama dengan jumlah kuadrat perlakuan.