Topik Bahasan:
- Definisi Dekomposisi Matriks;
- Teknik Dekomposisi Matriks;
- Metode Crout;
- Metode Doolittle;
- Metode Cholesky;
- Metode Eliminasi Gauss;
- Minor dan Kofaktor;
- Matriks Adjoint
Slide: Dekomposisi Matriks selengkapnya bisa Anda pelajari pada konten di bawah ini.
Slide: Dekomposisi Matriks
Dr. Ruminta
Transcript
Definisi Dekomposisi Matriks
Dekomposisi matriks adalah memodifikasi atau merubah matriks menjadi matriks segitiga bawah (L) dan/atau matriks segitiga atas (U).
A = LU
a11 a12 a13 a14 an 0 0 0 fin fi12 fi13 fi14
a21 a22 a23 a24 a21 a22 0 0 0 fi22 fi23 fi24
a31 a32 a33 a34 a31 a32 a33 0 0 0 fi33 fi34
a41 a42 a43 a 44 a41 a42 a43 a 44 0 0 0 44
A = L U
A - L
an ai2 a13 ai4 aii 0 0 0
a21 a22 a23 a24 a21 a22 0 0
a31 a32 a33 a34 a31 a32 a33 0
a41 a42 a43 a 44 a41 a42 a43 a44
A = L
A - U
a11 a12 a13 a14 #1 #2 #13 #14
a21 a22 a23 a24 0 #22 #23 #24
a31 a32 a33 a34 0 0 #33 #34
a41 a42 a43 a44 0 0 0 #44
A = U
Contoh :
2 -1 -1 2 0 0" 1 - 0.5 -0.5
0 -4 2 = 0 -4 0 0 1 -0.5
6 -3 0 6 0 3 0 0 1
10 0 2 0 10 0 3 0 1_|_0 1 0 0j2 0 2 0 0 3 0 1_|_0 2 -1 -1" 0 - 4 2 0 0 3 - 4 0 0 6 - 3 0 0 - 4 2
-1
-4 0 -1 -2 0
-1 2 3 -1 1 3
A = LU
A = LU
A = LU
A = U
A = L
Teknik Dekomposisi Matriks
Ada empat metode :
1. Metoda Crout (elemen diagonal utama matriks segitiga atas (U) adalah satu)
2. Metoda Doolittle (elemen diagonal utama matriks segitiga bawah (L) adalah satu)
3. Metode Cholesky (elemen diagonal utama matriks segitiga atas (U) dan segitiga bawah (L) adalah sama), hanya untuk matriks simetri.
4. Metode Eliminasi Gauss (memodifikasi matriks menjadi matriks segitiga atas bawah (L) atau matrisk segitiga atas (U).
Metoda Crout
l11 0 0 0 1 u12 U13 U14 a11 a12 a13 a14
l21 l22 0 0 0 1 U 23 U 24 a21 a22 a23 a24
l31 l32 l33 0 0 0 1 U34 a31 a32 a33 a34
l41 l42 l43 l44 0 0 0 1 a41 a42 a43 a44
Rumus untuk menyelesaikan persamaan dari elemen matriks segitiga bawah hingga matriks segitiga atas :
Tahap 1: l =
11
a
11
a
'21
21
lo i a
31
31
l41 = a41
Tahap 2.
l11U12 = a12 ^ U12 _
l11U13 = a13 ^ U13 =
a
12
l
11
a
13
l
l11U14 a14 ^ U14
11 a
14
l
11
Tahap 3: l21M12 + l22 — a22 l22 — a22 ' - l21M12
l31M12 + 132 — a32 l32 — a32 " "l31M12
l41M12 + 142 — a42 l42 — a42 " - l41M12
Tahap 4
j j a23 l21M13 121^13 + '22^ 23 - ^23 ^ U 23 —
23
23
l21M14 + l22M24 — a24 ^ M24 —
l22
a24 - l21M14
l
22
Tahap 5
l31U13 + l32U23 + l33 — a33 ^ l33 — a33 l31U13 l32U23 l41M13 + l42M23 + l43 — a43 ^ l43 — a43 - l41M13 - l42M23
Tahap 6 : Tahap 7:
j.J j ___ a34 l31M14 l32U24
lo i Mi a + I^^IM^A + lnnUnA A ^
31 14 32 24 33 34
34
34
l
33
l41M14 + l42M24 + l43M34 + 144 a44 ^ l44 a44 l41M14 l42M24 l43M34
Rumus Umum Metode Crout
j-1
= aij-Z !ikukj j < i = 1 K ,n
k=1
i-1
aij -^!ikUkj
Uij =-- i j, j = 2 k ,n
!ii
Contoh 1.
Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah (L) dan segitiga atas (U).
"3 -1 2" 0 0" "1 U12 U13 "3 -1 2
1 2 3 l21 22 0 0 1 U 23 - 1 2 3
2 - 2 -1 l31 l32 l33 0 0 1 2 -2 -1
Tahap 1:
lii = a11 = 3 l21 = a21 = 1 l31 = a31 = 2
Tahap 2: l11u12 = a12 ^ u12 =
12
12
l11U13 = a13 ^ U13 =
TahaP 3: l21U12 + l22 = a22 ^ l22 = a22 - l21U12 = 2 - ) = ^
a 12
l11 3
a13 = 2
l11 =3
1 7
) =
-1 4
Tahap 3. l3\M12 +132 — ^32 ^ l32 — ^32 l3\M12 — 2 (2)( ) —
Tahap 4:
7 7 a23 l21M13
l21M13 + l22M23 — a23 ^ M23 —
2 7
3 - (1)(2) 7
l
22
Tahap 5:
7 3
y_ — 1. — 1
7 3
l31M13 + l32M23 + l33 — a33 ^ l33 — a33 l31M13 l32M23
2 4
—-1 - (2)(—) - (- -)(1) —-1
3 -1 2 3 0 0 1 -1/3 2/3
1 2 3 — 1 7/3 0 0 1 1
2 -2 -1 2 - 4/3 -1 0 0 1
Contoh 2.
Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah (L) dan segitiga atas (U).
2 - 5 1 I11 0 0 1 U12 U13 2 - 5 1
-1 3 -1 l21 22 0 0 1 U 23 - -1 3 -1
3 - 4 2 l31 l32 l33 0 0 1 3 - 4 2
Tahap 1: l11 = a11 = 2
l21 = a21 = 1 l31 = a31 = 3
Tahap 2:
l11U12 = ai2 ^ U12 =
l11U13 = a13 ^ U13 =
a
12
l
11
-5 2
= -2.5
a
13
l
11
1 = 0.5
2
TahaP 3: l21U12 + l22 = a22 ^ l22 = a22 - l21U12 = 3 - (-1)(-2'5) = 0'5
Tahap 3, l3\M12 +132 — ^32 ^ l32 — 032 l3\M12 — 4 (3)( 2.5) — 3.5
Tahap 4 :
1 1 °23 l21M13
^ 1 I ^ Mtj
-1 - (-1)(0.5) - 0.5
21 13 22 23 23
23
l
22
0.5
0.5
—-1
Tahap 5:
l31M13 + l32M23 + l33 — °33 ^ l33 — °33 l31M13 l32M23
— 2 - (3)(0.5) - (3.5)(-1) — 4
2 - 5 1 " 2 0 0" "1 -2.5 0.5"
-1 3 -1 — -1 0.5 0 0 1 -1
3 - 4 2 3 3.5 4 0 0 1
Metoda Doolittle
1 0 0 0
21 1 0 0
31 l32 1 0
41 l42 l43 1
u
11 0
0
0
u
12
u
13
u
14
u
22 0
0
u
23
u
24
u
33 0
u
34
u
44
a>n an au 0^4
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
Rumus untuk menyelesaikan persamaan dari elemen matriks segitiga atas hingga matriks segitiga bawah :
Tahap 1: u11 U12 = a11 = a12 Tahap 2: l21u11 = a21 ^ l21 =
u13 = a13 l31u11 = a31 ^ l31 =
u14 = a14 l41u11 = a41 ^ l41 =
a
21
u
11
a
31
u
11
a
41
u
11
Tahap 3:
Tahap 4
21U12 + u 22 — a22 ^ U 22 — a22 — l21U12
21U13 + u 23 — a23 ^ U23 — a23 — l21U13
21U14 + u 24 — a24 ^ U 24 — a24 — l21U14
11 1 a32 l31U12
£31^12 ^32^22 --^ 132 -
32
32
l41U12 + l42U22 — a42 ^ l42 —
U 22 a42 — l41U12
u
22
Tahap 5
l31U13 + l32U23 + U33 — a33 ^ U33 — a33 l31U13 l32U23 l31U14 + l32U24 + U34 — a34 ^ U34 — a34 — l31U14 — l32U24
Tahap 6 : Tahap 7:
1 r r __r _ ^43 l41U13 l42U23
l ^ 1 Ui 3 + l A^U^n + l An U33 ^^ 3 ^ l An
41 13 42 23 43 33
43
43
u
33
l41U14 + l42U24 + l43U34 + U44 a44 ^ U44 a44 l41U14 l42U24 l43U34
Rumus Umum Metode Doolittle
Contoh 1.
Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah (L) dan segitiga atas (U).
3 -12
1 2 3
2 - 2 -1
I l-
1 0 0 U11 U12 U13 3 -1 2
21 1 0 0 U 22 U 23 - 1 2 3
31 l32 1 0 0 U33 2 - 2 -1
Tahap 1: u11 — a11 — 3 Tahap 2: l21U11 a21 ^ l21 —
U12 — a21 —-1
U13 — a31 —2 l31U11 — a31 ^ l31 —
a
21
u
11
a
31
u
11
1
3
2
3
Tahap 3:
l21U12 + U 22
1 7
— a22 ^ u22 — a22 — l21U12 — 2 — (T)( —1) — 3
1
7
Tahap 3: l21u13 + u23 — a23 ^ u23 — a23 - l21u13 — 3 - (—)(2) — —
3
3
Tahap 4 :
l31u12 + l32u22 — a32 ^ l32
Tahap 5 :
l31u13 + l32u 23 + u33
a32 l31u12
u
22
a33 ^ u33
2 4
-2 - (i)(-1) n
7 7
33
a33 l31u13 l32u 23
2 - 4 7
-1 - (2)(2) -(-7-)(I)
-4
7
—-1
3 -12
1 2 3
2 -2 -1
1
0 0 1 0
1/3
2/3 - 4/7 1
3 -12 0 7/3 7/3 0 0 -1
Contoh 2.
Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah (L) dan segitiga atas (U).
2 -13 - 4 5 0 4 2 18
I l
Tahap 1: uu — au — 2
11
12 13
'11 ?21 ?31
Tahap 3:
l21U12 + U 22 — a22
1 0 0 U11 U12 U13 2 —1 3
21 1 0 0 U 22 U 23 — — 4 5 0
31 l32 1 0 0 U33 _ 4 2 18
2 Tahap 2: — 4 — 2—
1 :3 l21U11 — a21 ^ l21 — a21 — uH —2
l31U11 — a31 ^ l31 — a31 — uH 1 — 2 2
^ u 22 — a22 — l21 U12 — 5 — (—2)( —1) — 3
Tahap 3: /21u13 + u23 = a23 ^ u23 = a23 - /21u13 = 0 - (-2)(3) = 6
Tahap 4 :
l31U12 + l32U22 = a32 ^ l32
a32 l31U12
U
22
2 - (2)(-1) = 4 = 4
3 = 3=3
Tahap 5 :
l31U13 + l32U23 + U33 = a33 ^ U33 = a33 l31U13 l32U23
4
= 18 - (2)(3) - (^)(6) = 18 - 6 - 8 = 4
2 -1 3 " 1 0 0" "2 -1 3"
-4 5 0 — - 2 1 0 0 3 6
4 2 18 2 4/3 1 0 0 4
Metode Cholesky
'11 0 0 0
l21 l22 0 0
l31 l32 l33 0
l41 l42 l43 l44
u
11 0
0
0
u
12
u
13
u
14
u
22 0
0
u23 u24
u
33 0
u
34
u
44
a>n an aX3> 0*14
a 21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
di mana, L = u--
Rumus untuk menyelesaikan persamaan dari elemen matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah :
Tahap 1:
I11 = u11 Va11 l31 = a31 U11
l2, = a21 l41 = a41
U11
U11
Tahap 2:
122 = U22 = V a22 121u12
132 = a32 -1u 31 12
U22
142 = a42 -1u 41 12
U22
122 = U22 _ Va22 121u12
U23 = a23 -1u 21 13
122
U24 = a24 -1u 21 14
122
Tahap 3:
133 = U33 = V^ 131U13 132U
- Liu 13 A /12 u
143 =
43 41_13 42 23 133
133 = U33 = V a33 131U13 132U23
U34 =
a34 131U14 132U24
u33
Tahap 4:
Rumus Umum Metode Cholesky
u>> = iji =
i-1
a»
-11
ikUki
i = 1,... ,n
k=1
j-1
aij -]=11ikUkj 1j =-—- j < i, i = 2,. ,n
uii i-1
ij ik kj
Uij =-T^- i j, j = 2,..,n
1ii
Contoh 1.
Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah (L) dan segitiga atas (U).
2 -10 -1 2 -1 0 -12
'11 0 0 U11 u12 U13 2 -1 0
l21 l22 0 0 u 22 U 23 — -1 2 -1
l31 l32 l33 0 0 U33 0 -1 2
Tahap 1:
I11 = un = Va11 — V 2
I21 = a21 -1
U11 = V2
I31 = a31 U11 0 = V2 — 0
a
U12 =
12
L11
a
U13 =
13
u
11
-1
V2
0
V2
= 0
Tahap 2. 1n un -yja22 1
a22 121U12
-1 -1
-1
3
M
a32 131U12
-1 -0)W-1
32
u
22
3
3
u
22 122 Va22 1
L11U11
-1 -1 2 - W vf'
3
M2
U23 =
-1
1 - VJ)0)
l
22
1
22
-1
3
Tahap 3.
133 = U33
-v
a33 131U13 132U23
1
-1 -1 2 - (0)(0) - H=)
3 2
3 2
4
\3
2-10 -1 2 -1 0-12
1
~l2 0
0
3 2 1
3 2
atau
2-10 -1 2 -1 0-12
1.414 0 -0.707 1.225 0 -0.817
©
4
3
0
0
0 1.414 -0.707 0 0 0 1.225 -0.817 1.155 0 0 1.155
Contoh 2.
Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah (L) dan segitiga atas (U).
4 2 4 " I11 0 0" U11 U12 U13 " 4 2 4"
2 10 14 ^21 ^22 0 0 U 22 U 23 — 2 10 14
4 14 24 ^31 ^32 ^33 0 0 U33 4 14 24
Tahap 1: l
11
= u,, =
11
Va7 — V4 = 2
l=
a
21
21
u
11
Li =
a
31
31
u
11
=2=1
2
=4—2
2
U12 =
a12 = 2 = 1
l
11
2
U13 =
an=4=2
l
11
2
TahaP 2: ln = Un — V an - I21U12 —410 - (1)(1) — V9 — 3
U —
U22 — V a22
a32 — l31U12
32
14 — (2)(1) — 12 —
U
22
3
3
U23 —
a23 l21U13
14 — (1)(2) — 12 — 4
l22 3 3
Tahap 3:
l33 — U33 — Va33 — l31U13 — l32U23 — V24 — (2)(2) — (4)(4) — V4 — 2
4 2 4 " " 2 0 0 " "2 1 2"
2 10 14 — 1 3 0 0 3 4
4 14 24 2 4 2 0 0 2
Metode Eliminasi Gauss
1. Eliminasi Gauss merubah matriks menjadi matriks segitiga bawah (L) menggunakan operasi baris elementer :
A = L
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a13 a14 / 11 0 0 0
a21 a22 a23 a24 l 21 l22 0 0
a31 a32 a33 a34 l 31 l32 l33 0
a41 a42 a43 a44 l 41 l42 l43 l44 _
V a12 a13 0 - V a12'' 0 0
a21 a22 0 a21 a22 0 0
as
a31 a32 ' 033 J 0 a31 a32 a33 0
_ a41 a42 a43 a44 _ a41 a42 a43 a44
2 3
1
a un 0 0 0 Ai 0 0
a " 21 ^22 0 0 —S ^22 0
31 a32 a33 0 —/ ^31 hi ^33
a4l (2 42 a 43 ^44 /41 ^42 ^43
4 4
Operasi baris elementer : A = L Pada matriks 1 : basis vipot : (a44)
f-a ^
34
V ^44 J
Pada matriks 2 : basis vipot : (a33')
23
r _
a23 V a33 J
Pada matriks 3 : basis vipot : (a22")
'-a
12
712
»»
V ^22 J
0 0 0
(
'24
-a
\
24
V a44 J
13
f _ y\
V a33 J
14
f-a ^
14
V aAA J
Contoh
1. Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah (L).
1 1 1 2 ln 0 0 0
2 1 2 1 ^21 n 0 0
1 1 3 2 OBE ^ ^31 l32 '33 0
2 2 1 1 ^41 '42 '43 '44
—6 — 6 0 0
3 2 0 0
—3 — 3 10
2 2 11
1 1 1 2 —3 —3 —1 0
2 1 2 1 bi4(-2) 0 —1 1 0 bi3(1)
1 1 3 2 b24(-1) —3 —3 1 0 b23(-1)
2 2 1 1_ b34(-2) 2 2 1 1
- 6 - 6 0 0
3 2 0 0
- 3 - 3 10
2 2 11
M3)
3 0 0 0
3 2 0 0
-3 -3 1 0
2 2 11
= L
2. Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah (L).
2 0 2 4
4
2 2 2
0 -2 4 4
2 4 0 2
^ OBE ^
0 0 0
l21 l22 0 0
l31 l32 l33 0
l41 l42 l43 l44
24 02 22 42
02 -2 4
40 4 @
bi4(-1)
b24(-2)
-2 2 -4 0
- 8 - 2 - 8 0
2 2 4 0
4 2 4 2
bi3(i)
b23(2)
0 4 0 0
-4 2 0 0
2 2 4 0
4 2 4 2
bi2(-2)
-8 0 0 0
-4 2 0 0
2 2 4 0
4 2 4 2
= L
2. Eliminasi Gauss merubah matriks menjadi matriks segitiga atas (U) menggunakan operasi baris elementer :
A = U
a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a 44
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a13 a14
0 a22 a23 a24
0 a32 a33 a34
0 a42 a43 a44
u
11 0
0
0
U12 U13 U14
U 22 U 23 U 24
0 u33 U34
0 0 U 44
a11 a12 a13 a14
0 a22 a23 a24
0 0 a33 ' a 34
0 0 a " 43 a 44
a11 a12 a13 a14 U11 U12 U13 U14
0 a22 a23 a24 0 U 22 U23 U 24
0 0 a33 a '' 34 0 0 U33 U34
0 0 0 a ''' 0 0 0 U 44
1
Operasi baris elementer : A = U
Pada matriks 1 : basis vipot : (a44)
21
(-xA 21
\ a\\ J
Pada matriks 2 : basis vipot : (a33')
'32
^ ®32
V a22 J
Pada matriks 3 : basis vipot : (a22")
43
f _ ..A
2 "
V 33 y
'31
(-a A
31
V a\\ J
42
'-a
u42
V a22 J
41
(-a A
41
V ^11 J
Contoh
1. Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga atas (U).
1 -1 2 3
-1 -1 4 1
r i -i -1 -1 24 31
3 1
-1 1 5 1
-1 1 5 1
^ OBE ^
U11 U12 U13 U14
0 U 22 U23 U 24
0 0 U33 U34
0 0 0 U44
b2i(l) bsi(-2)
b4i(-3)
1 0 0 0
-1 -2 6 4
1
2 1
-2
-1 0 7 4
r1 -1 1 -1
b32(3) 0 -2 2 0
b42(2) 0 0 7 7
0 0 2 4
1 0 0 0
-1 1 -1
-2 2 0
0 7 7
0 2 4
b43(-2/7)
1 -11 -1
0 - 2 2 0
0 0 7 7
0 0 0 2
= U
2. Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga atas (U).
1 2 3 4 U11 U12 U13 U
2 1 0 3 0 U22 U23 U
3 2 1 0 OBE ^ 0
0 U33 U
2 4 0 1 0 0 0 U
14
24
34
44
"1 2 3 4"
2 10 3
3 2 10 2 4 0 1
M-2)
bsi(-3)
b4i(-2)
1 2 3
4
0 - 3 - 6 - 5 0 - 4 - 8 -12 0 0 - 6 - 7
b32(-4/3) i
1 2 3
0 0 0
-3 -6
0 0
0 -6
4
-5 -16/3 -7
b
34
1 2 3
4
0 - 3 - 6 - 5 0 0 - 6 - 7
0 0 0 -163
= U
Minor dan Kofaktor
Jika au adalah elemen determinan matriks A
U
yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-J. Minor dari aiJ , dinyatakan oleh Mijt adalah determinan dari matriks A setelah baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks tersebut dihilangkan.
Jika A = d
a b c
d e f
g h • i
maka minor dari
ac
M 22 = • , dst.
gi
Jika matriks A adalah determinan, MiJ adalah minor elemen A pada baris ke-i dan kolom ke-j. Kofaktor ay adalah dinayatakan oleh :
Kij=(-1)i+j M
ij
Kj =
M j jika i + j adalah genap
- My jika i + j adalah ganjil
a b c
Jika A = d e f\,
g h • i
=
22
a c g i
K 22 = (-1)
2+2
ac gi
Matriks Adjoint
Jika Ky adalah kofaktor dari matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j. Matriks Adjoint dari A , dinyatakan oleh Adj (A), adalah matriks yang elemen-elemennya dari transpose matriks kofaktor.
a b c K11 K12 K13
A = d e f K= K21 K22 K23
g h i _ _K31 K32 K33
" Kn K21 K31
Adj A) = --Kt = K12 K22 K32
_K13 K23 K33 _
©
Contoh
Tentukan Monor, Kofaktor dan matriks Adjoint dari matriks berikut.
1. A =
1 2 3
2 3 3 4 6 5
B =
1 2 1 1 1 2 2 1 1
1. A =
M n =
M12 =
M13 =
M 21 =
M 22 =
1 2 3
2 3 3
4 6 5
"3 3"
= 15 -18 = -3,
6 5
"2 3"
= 10 -12 = -2,
4 5
" 2 3"
= 12 -12 = 0,
4 6_
" 2 3"
= 10 -18 = -8,
6 5
"1 3"
= 5 -12 = - -7,
4 5
,1 + 1
11
1+2
12
1+3
13
2+1
11
,2+2
22
M 23 =
M 31 =
M32 =
M33 =
1 2 4 6
"2 3" 3 3_ 13 23 12 23
= 6 - 8 = -2, K23 = (-1)2+3 (-2) = 2
= 6 - 9 = -3, K31 = (-1)3+1(-3) = -3
= 3 - 6 = -3, K32 = (-1)3+2(-3) = 3
= 3 - 4 = -1, K33 = (-1)3+3( -1) = -1
K=
-3 2 0 8 -7 2
-3 3 -1
Adj( A) = Kt =
-3 8 -3 2 - 7 3 0 2 -1
2. B =
1 2 1 1 1 2 2 1 1
M a =
M12 =
M13 =
M 21 =
M 22 =
1 2 1 1 12 21 1 1" 2 1 "2 1 1 1 "1 1" 2 1
= 1 - 2 = -1, Kn = (-1)1+1(-1) = -1
= 1 - 4 = -3, K12 = (-1)1+2 (-3) = 3
= 1 - 2 = -1, K13 = (-1)1+3(-1) = -1
= 2 -1 = 1, Kn = (-1)2+1(-1) = -1
= 1 - 2 = -1, K22 = (-1)2+2(-1) = -1
M 23 =
M 3, =
M32 =
M33 =
12 21 21 12 11 12
12 11
= 1 - 4 = -3, K23 = (-1)2+3(-3) = 3
= 4 -1 = 3, K31 = (-1)3+1 (3) = 3
= 2 -1 = 1, K32 = (-1)3+2(1) = -1
= 1 - 2 = -1, K33 = (-1)3+3(-1) = -1
K=
-1 3 -1 -1 -1 3 3 -1 -1
Adj( A) = Kt =
-1 -1 3 3 -1 -1 -1 3 -1
Slide Matematika dan slide-slide lainnya yang ada di Site SmartStat dapat dipelajari pada tautan di bawah ini:
Daftar Slide Matematika II
Daftar Seluruh Slide
Slide lainnya bisa Anda download :di sini
