Topik Bahasan:
- Definisi Determinan Matriks;
- Teknik Perhitungan Determinan;
- Metode Sarrus;
- Metode Minor dan Kofaktor;
- Metode CHIO;
- Metode Eliminasi Gauss;
- Metode Dekomposisi Matriks
Slide: Determinan Matriks selengkapnya bisa Anda pelajari pada konten di bawah ini.
Slide: Determinan Matriks
Dr. Ruminta
Transcript
Definisi Determinan Matriks
Determinan matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semua permutasi n2 elemen matriks bujur sangkar.
Jika subskrip permutasi elemen matriks adalah genap (inversi genap) diberi tanda positif (+) sebaliknya jika subskrip permutasi elemen matriks adalah ganjil (inversi ganjil) diberi tanda negatif (-).
Inversi terjadi jika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutan subskrip permutasi elemen matriks.
Determinan matriks hanya didefinisikan pada matriks bujur sangkar (matriks kuadrat).
Notasi determinan matriks:
det (A) = A atau det A = A
r
A =
a11 a12
a21 a22
V an1 an 2
a
\
1n
a
2n
a
nn J
det A = A
ai1 ai2
a21 a22
an1 an 2
a
1n
a
2n
a
nn
A =
a11 a12
a21 a22
a/1 ai 2
an1 an 2
a1i
a
2i
a
a
ni
a
1n
a
2n
a
in
a
nn
det (A)= |A
a11 a12 a1i a1n
a21 a22
ai1 ai 2
a2i ••• a2 n
a
ii
a
in
an1 an 2 ••• ani ••• ann
Teknik Perhitungan Determinan
Ada lima metode :
1. Metoda Sarrus
2. Metoda Minor dan Kofaktor
3. Metode CHIO
4. Metode Eliminasi Gauss
5. Metode Dekomposisi Matriks
Metoda Sarrus
Perhitungan determinan matriks dengan metode Sarrus hanya dapat diterapkan pada matriks ukuran 2x2 dan 3x3.
Determinan matriks yang ukurannya lebih besar dari 3x3 tidak bisa dihitung oleh metode Sarrus.
Metode Sarrus (disebut juga metode Spaghetti) menggunakan perkalian elemen matriks secara diagonal.
Perkalian elemen matriks pada diagonal turun (dari kiriatas ke kanan bawah) diberi tanda positif (+).
Perkalian elemen matriks pada diagonal naik (dari kiri bawah ke kanan atas) diberi tanda negatif (-).
Determinan matriks 2x2 :
det
a b c d
— ad -cb
Atau
A —
ail ai2
a21 a22
det (A) — A
12
21 ^22
--—}
— ana22 a2ian _i
det A — ana22 a2iai2
Contoh
A —
2 - 3 1 4
det (A) — A
— 2 x 4 - lx (-3) _f
det A — 8 - (-3) —11
B —
-1 2 2 - 4
det (B) — B
4
—-1x (-4) - 2 x 2 _t
det B — 4 - 4 — 0
Determinan matriks 3x3 :
det
a b c d e f g h i
e = (aei + bfg + cdh) - (gec + hfa + idb)
Atau
/
A —
a11 a12 a13
A
a21 a22 a23
Va31 a32 a33 7
det A —
+ + +
det A —
ana22a33 I ^^23 ^^31 + 0^13 ^^21^^32
a 31a 22 a 31 ana23 ^^32 ^^21^^33
Contoh 1.
r
A =
V
1 5 - 3 1 0 2 3 -12
A
J
det A =
+ + +
det A = 1x 0 x 2 + 5 x 2 x 3 + (-3) x 1x 1
- 3 x 0 x (-3) - (-1) x 2 x 1 - 2 x 1x 5
= 0 + 30 + 3-0-(-2)-10 = 25
Contoh 2.
r
B —
V
0 2 1
3 -12
4 - 4 1
\
7
det B —
+ + +
det B — 0 x (-1) x 1 + 2 x 2 x 4 + 1x 3 x (-4) - 4 x (-1) x 1 - (-4) x 2 x 0 -1 x 3 x 2 — 0 +16 -12 + 4 - 0 - 6 — 2
Metoda Minor dan Kofaktor
Perhitungan determinan matriks dengan metode Minor dan Kofaktor dapat diterapkan pada semua matriks bujur sangkar.
Determinan matriks dapat dihitung dari minor dan kofaktor pada salah satu baris atau kolom matriks
Determinan dihitung menggunakan salah satu baris matriks:
n r A = a 11 a 12 a 1n a21 a22 a 2n V an1 a n2 a
det(A)=Xakj •(- 1)k+JM,
kj
j =1
n
nn J
det(A) = Z ak] • Kj
j=1
j = indek kolom
det (a) = ak! Kk 1 + ak 2 Kk 2 + ^ 2 Kk 2 + ••• + akJKkJ k = salah satu baris matriks
Determinan dihitung menggunakan salah satu kolom matriks:
n r A = a11 a12 a 1n a21 a22 a 2n V an1 an 2 a det(A) = X a,i •(-1)'+'Mn i=1 n nn J det(A) = X atf • K i=1 i = indek baris il det (A) = anKn + a2 iK2i + a3iK3l + ••• + aiK
l = salah satu kolom matriks
Contoh 1
Menghitung determinan menggunakan minor dan kofaktor pada baris ke 1
A =
1 5
0
2 4 -1 0 - 2 0
det A = (1) • (-1)1+1 M11 + (5) • (-1)1+2 M12 + (0) • (-1)1+3 M
13
det A = (1) • (-1)
2
4 -1 -2 0
+ (5) • (-1)
3
2 -1 00
+ (0) • (-1)
4
24 0 - 2
= (1)(1)(0 - 2) + (5)(-1)(0 - 0) + (0)(1)(-4 - 0) = -2 + 0 + 0 = -2
Contoh 2
Menghitung determinan menggunakan minor dan kofaktor pada baris ke 2
A =
1 5
0
2 4 -1 0 - 2 0
det A = (2)(-1)2+1 • M21 + (4)(-1rz • M22 + (-1)(-1)z+J • M2,
.2+2
.2+3
det A = (2) • (-1)
3
50 -2 0
+ (4).(-1)
4
1 0 00
+(-1) • (-1)
5
1 5 0 - 2
= (2)(-1)(0 - 0) + (4)(1)(0 - 0) + (-1)(-1)(-2 - 0) = 0 + 0 - 2 = -2
Contoh 3
Menghitung determinan menggunakan minor dan kofaktor pada baris ke 3
A =
1 5
0
2 4 -1 0 - 2 0
det A = (0)(-1)3+1 • M31 + (-2)(-1)J+z • M32 + (0)(-1rJ • M33
,3+2
.3+3
det A = (0) • (-1)
4
50 4 -1
+ (-2).(-1)
5
10 2 -1
+ (0) • (-1)
6
15 24
= (0)(1)(-5 - 0) + (-2)(-1)( -1 - 0) + (0)(1)(4 -10) = 0 - 2 + 0 = -2
Contoh 4
Menghitung determinan menggunakan minor dan kofaktor pada kolom ke 1
A=
15
0
2 4 -1 0 - 2 0
det A = (1) • (-1)1+1 M11 + (2) • (-1)2+1 M21 + (0) • (-1)3+1 M
31
det A = (1) • (-1)
2
4 -1 - 2 0
+ (2) • (-1)
3
50 - 2 0
+ (0) • (-1)
4
50 4 -1
= (1)(1)(0 - 2) + (2)(-1)(0 - 0) + (0)(1)(-5 - 0) = -2 + 0 + 0 = -2
Contoh 5
Menghitung determinan menggunakan minor dan kofaktor pada kolom ke 2
A=
1 5
0
2 4 -1 0 - 2 0
det A = (5)(-1)1+2 • MX1 + (4)(-1)^ • M22 + (-2)(-1)~ • M,2
2+2
3+2
det A = (5) • (-1)
3
2 -1 00
+ (4).(-1)
4
1 0 00
+ (-2) • (-1)
5
1 0
2 -1
= (5)(-1)(0 - 0) + (4)(1)(0 - 0) + (-2)(-1)(-1 - 0) = 0 + 0 - 2 = -2
Contoh 6
Menghitung determinan menggunakan minor dan kofaktor pada kolom ke 3
A=
1 5
0
2 4 -1 0 - 2 0
det A = (0)(-1)1+3 • M13 + (-1)(-1)z+J • M23 + (0)(-rrJ • M33
2+3
3+3
det A = (0) • (-1)
4
24 0 - 2
+ (-1).(-1)
5
1 5 0 - 2
+ (0) • (-1)
6
1 5 24
= (0)(1)(-4 - 0) + (-1)(-1)(-2 - 0) + (0)(1)(4 -10) = 0 - 2 + 0 = -2
Contoh 7
Tentukan determinan matriks berikut,
A =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
/
= 1
+3
6 7 8
det A = 110 11 12
14 15 16
10 12
5 7 8 5 6 8
-2 9 11 12 +3 9 10 12 -4
13 15 16 13 14 16
6
V (
i
V
5
11 12
15 16
10 12
14 16
- 7
-6
14 16
9 12 13 16
+ 8
+ 8
\
/
-2
5
-4
5
11 12
15 16
10 11
14 15
-7
-6
9 12 13 16
9 11 13 15
10 11 14 15
9 10 13 14
= 1(6(1116 -15 12)-7(10 16 -14 12)+ 8(10 15 -14 11))
- 2(5(1116 -15 12)-7(9 16 -13 12)+8(9 15 -13 11)) + 3(5(10 16 -14 12)-6(9 16 -13 12)+ 8(9 14 -13 10))
- 4(5(10 15 -14 11)-6(9 15 -13 11)+ 7(9 14 -13 10))
= 1(6(- 4)- 7(- 8)+ 8(- 4))- 2(5(- 4)- 7(-12)+8(- 8)) + 3(5(- 8)- 6(-12)+ 8(- 4))- 4(5 (- 4)- 6(- 8)+ 7(- 4))
= 1(0)- 2(0)+3(0)- 4(0)=0
5 6 7
9 10 11
13 14 15
9 11
13 15
9 10
13 14
+8
+7
Contoh 8
Tentukan determinan matriks berikut,
/
A =
V
5 1 2 4
1 0 2 3
1 1 6 1
1 0 0 -4
\
K 41 = (-1)
4+1
1 2 4
0 2 3
1 6 1
K 44 = (-1)
4+4
5 1 2 -10 2 1 1 6
det A =
5 12 4 -1 0 2 3 116 1
K 41 = (-1)
1 0 0 -4 1 2 4
0 2 3
= (1) K 41 + 0 K 42 + 0 K43 + (-4) K
44
1 6 1
/
0(-1)
2+1
V
24 6 1
+ 2(-1)
2+2
1 4 1 1
+ 3(-1)
2+3
1 2 1 6
\
= 18
K 44 =
5 1 2 -10 2 1 1 6
/
(-1)(-1)
2+1
V
1 2 1 6
+ 0(-1)
2+2
52 1 6
+ 2(-1)
2+3
5 1 1 1
\
y
= -4
det A = (1)K41 + (0)K42 + (0)K42 + (-4)K44 = (1)(18) + (-4)(-4) = 34
Metode CHIO
Perhitungan determinan matriks dengan metode CHIO dapat diterapkan pada semua matriks bujur sangkar asalkan elemen pada an tidak sama dengan nol (a}} ±0).
Metode CHIO menghitung determinan matriks dengan cara mendekomposisi determinan yang akan dicari menjadi sub-sub determinan derajat dua (2x2) menggunakan elemen matriks baris ke-1 dan kolom ke-1 sebagai titik tolaknya.
Dekomposisi tersebut dilakukan dengan menggunakan matriks (2x2):
an a1«
a, a n1nn
untuk n = 1, 2, 3, ..., dst
A
a
11
a
21
a.
a
nl
det A = A
fan)
n—2
a
11
a
21
a
11
a
31
a
11
a
i 1
a
11
a
nl
a
In
a
2 n
a
in
a
nn
a
11
a
21
a
li
a
31
a
11
an
a
11
a
n\
a
li
a2j alt
a
3 i
ay
a
u
ay
a
ni
a
11
a
21
a
11
a
31
an
a
11
a
n\
a
In
a
2 n
a
In
a
3 n
an a
In
a
m
a
In
a
nn
det A = A
1
(an)
n - 2
a11 a
12
a21 a22
a
1, n-1
a
2,n-1
an-1,1 an-1,2
a
n-1, n-1
Setiap dekomposisi determinan awal akan turun satu derajat, dekomposisi determinan dapat dihentikan sampai determinan tersebut menjadi berderajat dua.
det A = A
1
(au)
n - 2
a
11
a
1, n-1
an-1,1 an-1,n-1
Contoh 1
Tentukan determinan matriks berikut:
1 5 0
A = 2 4
0 - 2 0
det A =
1
1 5 10
2 4 2 -1 - 6 -1
i3-2 15 1 0
0 - 2 0 0
0-2 = -2
-2 0
Contoh 2
Hitung determinan matriks berikut:
A =
det A =
1
3
4 - 2
3 2 2 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 3 2 1
3 2 3 2
2 3 2 4
3 2 3 2
3 4 3 1
3 2 3 2
4 3 4 2
3 4
2 1 5 8 -5
3 4 =1
6 - 3 -6
3 2 = 9
3 4 1 - 2 -13
4 1
det A =
5 8 5 - 5
f 1 1 1 6 - 3 6 - 6
v 9 y 53-2 5 8 5 - 5
1 - 2 1 -13
det A =
f 1Y1A
v 9 Jl 5
- 63 0 -18 - 60
det A =
' 1 A
v 45 y
(3780 - 0)
det A =
1
v 45 y
(3780) = 84
Contoh 3
Hitung determinan matriks berikut:
A =
det A =
1
1
4-2
1 2 3 4
2 1 0 3
3 2 1 0
2 4 0 1
1 2 1 3
2 1 2 0
1 2 1 3
3 2 3 1
1 2 1 3
2 4 2 0
1 4
2 3 - 3 - 6 - 5
1 4
= - 4 - 8 -12
3 0
1 4 0 -6 - 7
2 1
det A =
1
(-3)
3-2
-3 -6
-4 -8
-3 -6
0 -6
det A =
V-3 ,
0 16 18 -21
det .4 =
V-3y
(0-18x16)
det ,4 =
V-3y
(-288) = 96
-3 -5
-4 -12
-3 -5
0 -7
Metode Eliminasi Gauss
1. Determinan matriks segitiga bawah (L) hasil Eliminasi Gauss :
A ^ L
a11 a12 a13 a14 ln 0 0 0
a21 a22 a23 a24 l21 l22 0 0
a31 a32 a33 a34 l31 l32 l33 0
a41 a42 a43 a44 l41 l42 l43 l44
det ^ = l„ X l22 X l33 X ... X lu , i = iWek baris
atau
det ^ = /„ X l22 X l33 X — X lnn , n = orafo matriks
Contoh
1. Tentukan determinan matriks berikut.
1 1 1 2 '11 0 0 0
2 1 2 1 l21 22 0 0
1 1 3 2 OBE ^ l31 32 33 0
2 2 1 1 l41 t 42 43 l44
1 1 1 2 - 3 -3 -1 0 - 6 -6 0 0
2 1 2 1 bi4(-2) 0 -1 1 0 bi3(1) 3 2 0 0
1 1 3 2 b24(-1) - 3 -3 1 0 b23(-1) - 3 -3 1 0
2 2 1 1 b34(-2) 2 2 1 1 2 2 1 1
- 6 - 6 0 0
3 2 0 0
- 3 - 3 10
2 2 11
M3)
3 0 0 0
3 2 0 0
-3 -3 1 0
2 2 11
det .A — ln x 122 x I33 x 144
det A — 3 x 2 x 1x 1 — 6
2. Tentukan determinan matriks berikut
2 0 2 4
4
2 2 2
0 -2 4 4
2 4 0 2
^ OBE ^
l11 0 0 0
l21 l22 0 0
l31 l32 l33 0
l41 l42 l43 l44
2 4 0 2 - 2 2 -4 0
0 2 -2 4 bi4(-1) - 8 -2 -8 0 bi3(i)
^-
2 2 4 0 b24(-2) 2 2 4 0 b23(2)
4 2 4 2 4 2 4 2
0 4 0 0 - 8 0 0 0
-4 2 0 0 bi2(-2) - 4 2 0 0
2 2 4 0 2 2 4 0
4 2 4 2 4 2 4 2
det .A — /n x l 22 x I33 x 144
det A — -8 x 2 x 4 x 2 —-128
2. Determinan matriks segitiga atas (U) hasil Eliminasi Gauss :
A ^ U
a
11
a
12
a
13
a
14
a
21
a
22
a
23
a
24
a
31
a
32
a
33
a
34
a
41
a
42
a
43
a
44
u
11 0
0
0
u
12
u
13
u
14
u
22 0
0
u
23
u
24
u
33 0
u
34
u
44
det A — Uu X U22 X U33 X ... X U- , i — indek baris
atau
det A — Un X U22 X U33 X ... X Unn , n — ordo matriks
Contoh
1. Tentukan determinan matriks berikut:
1 -1 1 -1" un U12 U13 U14
-1 2 -1 4 1 1 5 ^ OBE ^ 0 0 u 22 0 U23 U24 u33 u34
3 1 1 1 0 0 0 u44 —
1 -1 1 -1" "1 -1 1 -1" "1 -1 1 -1
-1 -1 1 1 b21(1) 0 -2 2 0 b32(3) 0 -2 2 0
2 4 3 5 bsi(-2) 0 6 1 7 b42(2) 0 0 7 7
3 1 1 1 b4i(-3) 0 4 -2 4 0 0 2 4
1 -11 -1
0 - 2 2 0
0 0 7 7
0 0 2 4
M-2/7)
1 -11 -1
0 - 2 2 0
0 0 7 7
0 0 0 2
det A — U11 X U22 X U33 X U44
det A — 1 x (-2) x 7 x 2 — -28
2. Tentukan determinan matriks berikut:
12 3 4
2 10 3
3 2 10 2 4 0 1
^ OBE ^
U11 U12 U13 U14
0 U 22 U23 U 24
0 0 U33 U34
0 0 0 U44
12 3 4
2 10 3
3 2 10 2 4 0 1
b2i(-2)
b3i(-3) b4i(-2)
1 2 3 4
0 -3 -6 -5
0 -4 - 8 -12
0 0 -6 -7
b32(-4/3) i
12 0 - 3 00 00
3 - 6 0 -6
4
- 5
-163
- 7
b
34
1 2 3
4
0 -3 -6 -5 0 0 - 6 - 7
0 0 0 -163
det A — Ujj X U22 ^ U33 ^ U44
-16
det A — 1 x (-3) x (-6) x (-) — -96
3. Tentukan determinan matriks berikut:
' 3 6 9 12" 3 6 9 12 x(1/3) 12 3 4 Nk-1) 1 2 3
1 2 2 1 det (A) = 1 2 2 1 12 2 1 A x(-3) 0 0 -1
A = 3 5 2 1 = 3 / = 3
3 5 2 1 3 5 2 1 r 0 -1 - 7
0 2 4 2 0 2 4 2 0242 0 2 4
1 2 3 4 1 2 3 4
0 -1 -7 -11 \ 0 -1 -7 -11 x(-1)
3 \ =-3
0 0 -1 -3 J x(2) 0 0 -1 -3 x(-1)
0 2 4 2 / 0 0 -10 - 20 x(-1/10)
1 2 3 4 1 2 3 4
0 17 11 0 17 11
30 = 30
0 0 1 3 V(-1) 0 0 1 3
0 0 1 2 / 0 0 0 -1
= -30
4. Tentukan determinan matriks berikut:
A —
2 1 3
3 2 1 7 5 2
det (A) —
2 1 3
3 2 1 7 5 2
(1/2) — 2
'12 >3
3 2 1 7 5 2
— 2
1 1
0 1/ - 7 / 2 /2
0 3/ -17/ 0 2 2
(2) (2)
1 2
1 V 3/ 1 / 2 /2
0 1 - 7 0 3 -17
(-3)
1
2
1 - 7
0
0 0 4
— 2
Metode Dekomposisi Matriks
Determinan dari matriks hasil dekomposisi menjadi matriks segitiga bawah (L) dan matriks segitiga atas (U) diperoleh dari hasil perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.
A = LU
a11 a12 a13 a14 l" 0 0 0 U11 U12 U13 U14
a21 a22 a23 a24 l21 l22 0 0 0 U 22 U 23 U 24
a31 a32 a33 a34 l31 l32 l33 0 0 0 U33 U34
a41 a42 a43 a44 _l41 l42 l43 l44 _ _0 0 0 U 44
det A — ( l" X I 22 X I 33 X ... X li X U22 X U33 X ••• X M^ ) ,
i — indekbaris
1. Determinan dari dekomposisi cara Crout
011 a12 a13 a14 In 0 0 0 1 U12 U13 U14
a 21 a22 a23 a24 121 '22 0 0 0 1 U 23 U 24
a31 a32 a33 a34 /31 '32 33 0 0 0 1 U34
a41 a42 a43 a44 '41 /42 '43 '44 0 0 0 1
det A — ('11 X '22 X '33 X *** X ln )(1x 1 x 1x ... x 1) ,
i — baris
atau
det A — ('11 x '22 x '33 x *** x 4 )
i — baris
Contoh 1.
Tentukan determinan matriks berikut:
3 -12
1 2 3
2 - 2 -1
Tahap 1:
A1 0 0 1 U12 U13 3 -1 2
l21 22 0 0 1 U 23 - 1 2 3
l31 l32 33 0 0 1 2 -2 -1
lii = aii = 3 l21 = a21 = 1 l31 = a31 = 2
a
Tahap 2: l11u12 = a12 ^ u12 =—
l
11
-1
T
j ___ a13 _ 2
l11U13 = a13 ^ U13 = ~j = 3
l11 3
-1 7
TahaP 3: l21U12 + l22 = a22 ^ l22 = a22 - l21U12 = 2 - (1)( ^ = "J
-1 4
l31U12 + l32 = a32 ^ l32 = a32 - l31U12 = -2 - (2)(^T~) = - T
3
3
Tahap 4 :
'21U13 + '22U23 — a23 ^ U23
a23 '21U13
I
22
Tahap 5 :
2
3 -(1)(2) 7
3
7
—l—? 3
'31U13 + '32U 23 + '33
3 -12
1 2 3
2 - 2 -1
3
a33 ^ '33
a33 '31U13 '32U 23
2 4
—-1 - (2)(—) - (- -)(1)
—-1
0
1 7/3
0 0
2 - 4/3 -1
1 -1/3 2/3'
0
1
00
1 1
7
det A — ('11 x '22 x ) — 3 x — x (-1) — -7
Contoh 2.
Tentukan detrminan matriks berikut:
2 - 5 1 '11 0 0 1 U12 U13 2 - 5 1
-1 3 -1 '21 '22 0 0 1 U 23 - -1 3 -1
3 - 4 2 '31 '32 '33 0 0 1 3 - 4 2
Tahap 1: '11 — an — 2
11
'21 — a21 — 1
'31 — a31 — 3
Tahap 2:
'nU12 — a12 ^ U12 —
'nU13 — a13 ^ U13 —
a
12
l-
11
-5 2
— -2.5
a
13
'
11
- — 0.5 2
Tahap 3: '21U12 + '22 — a22 ^ '22 — a22 - '21U12 — 3 - (-1)(-2'5) — 0'5
'31^2 + '32 a32 ^ '32 a32 '31^2 4 (3)( 2.5) 3.5
Tahap 4 :
l21U13 + l22U23 = a23 ^ U23
a23 l21U13
-1 - (-1)(0.5) - 0.5
l
22
0.5
0.5
= -1
Tahap 5:
l31U13 + l32U23 + l33 = a33 ^ l33 = a33 l31U13 l32U23
2 -5 1' -1 3 -1
3 - 4 2
= 2 - (3)(0.5) - (3.5)(-1) = 4
2 0 0 -1 0.5 0 3 3.5 4
1 - 2.5 0.5 0 1 -1 0 0 1
det A = (l11 x l22 x l33) = 2 x 0.5 x (4) = 4
2. Determinan dari dekomposisi cara Doolittle
a11 a12 a13 a14 1 0 0 0 U11 U12 U13 U14
a 21 a22 a23 a24 I21 1 0 0 0 U 22 U 23 U 24
a31 a32 a33 a34 '31 '32 1 0 0 0 U33 U34
a41 a42 a43 a44 '41 '42 '43 1 0 0 0 U 44
det A = (1x 1 x 1x ... x 1)(U11 x U22 x U33 x ... x Un) ,
i = indek baris
atau
det A — (U11 x U22 x U33 x ... x U.i)
i = indek baris
Contoh 1.
Tentukan determinan matriks berikut:
3 -12
1 2 3
2 - 2 -1
Tahap 1:
I l-
11 12 13
11 21 31
1 0 0 U11 U12 U13 3 -1 2
21 1 0 0 U22 U 23 — 1 2 3
31 l32 1 0 0 U33 _ 2 -2 -1
3 -1 Tahap 2: l21U11 — a21 ^ l21 — a21 U11 —1 —3
2 l31U11 — a31 ^ l31 — a31 U11 —2 —3
1
7
TahaP 3: l21U12 + U22 — a22 ^ U22 — a22 - l21U12 — 2 - (T)(-1) — T
7
l21U13 + U23 — a23 ^ U23 — a23 - l21U13 — 3 - (T)(2) — "T
3 1
3
3
3
Tahap 4 :
7 7 7 a32 /31U12
31 12 32 22
32
32
U
22
Tahap 5 :
'31U13 1 '32U 23 1 U33
a33 ^ U33
2
- 2 - (3X-1)
7
3
a33 '31U13 '32U 23
4
3
7 3
-4
7
2 - 4 7
-1 - (2)(2) -(-7-)(I)
= -1
3 -12
1 2 3
2 -2 -1
1
0 0
1
0
1/3
2/3 - 4/7 1
3 -12 0 7/3 7/3 0 0 -1
7
det A = (Ujj x u22 x u33) = 3 x — x (-1) = -7
Contoh 2.
Tentukan determinan matriks berikut:
2 -13 - 4 5 0 4 2 18
1
/
I
21
0 0 U11 U12 U13 2 -1 3
1 0 0 U 22 U 23 - - 4 5 0
'32 1 0 0 U33 4 2 18
Tahap 1: U11 = au = 2
11
Tahap 2:
U12 = a21 = 1 U13 = a31 = 3
/21U11 = a21 ^ '21 =
/31U11 = a31 ^ '31 =
a
21
U
11
-4
2
= -2
a
31
U
11
Tahap 3:
/21U12 1 U22 = a22 ^ U22 = a22 - '21U12 = 5 - (-2)(-1) = 3 /21U131 u23 — a23 ^ u23 — a^3 /21U13 — 0 ( 2)(3) — 6
4 = 2
2
Tahap 4 :
l31U12 + l32U22 _ a32 ^ l32
a32 l31U12
u
22
2 - (2)(-1) _ 4 _ 4
3 _ 3 _ 3
Tahap 5 :
l31U13 + l32U23 + U33 _ a33 ^ U33 _ a33 l31U13 l32U23
4
_ 18 - (2)(3) - (3X6) _ 18 - 6 - 8 _ 4
2 -1 3 " 1 0 0" "2 -1 3"
-4 5 0 — - 2 1 0 0 3 6
4 2 18 2 4/3 1 0 0 4
det A _ (u11 x u22 x u33) _ 2 x 3 x 4 _ 24
3. Determinan dari dekomposisi cara Cholesky
a11 a12 a13 a14 lu 0 0 0 U11 U12 U13 U14
a21 a22 a23 a24 l21 l22 0 0 0 U 22 U 23 U 24
a31 a32 a33 a34 l31 l32 l33 0 0 0 U33 U34
a41 a42 a43 a44 l41 l42 l43 l44 0 0 0 U 44
di mana, L = u--
det A = (ln x l22 x l33 x ... x l.. )(u
11 X U22 X U33 X ••• X Uii
) , atau
det A = (l11 x l22 x l33 x ... x lti )2, atau
2
det A = (u11 x u22 x u33 x ... x uii) ,
i = baris
Contoh 1.
Tentukan determinan matriks berikut:
Tahap 1: l
in
l_
21
i„ _
31
0 "in
-1 l21
2 _l31
: un _ Van:
a 21 _ -1
un V2
a31 _ 0_ 0
U11 V2 _
0
l
22
0 0
l32 l
33
U
11 0
U
12
00
u
13
U 22 U 23
U
33
2 -10 -1 2 -1 0 -1 2
a
U12 _
12
11
a
U13 _
13
u
11
-1
72
0
72
_ 0
Tahap 2. l22 u22 A/a22 1
a22 121U12
-1 -1
2 - W -1
3
M
l=
a32 131U12
-1 ^ -1
32
u
22
3
3
u
22 122 Va22 1
L21U12
-1 -1 2 - W Vf)
3
M2
U23 _
a23 l21U13
-1
1 - (VJ)(0)
l
22
1
22
-1
3
Tahap 3.
133 _ U33
-v
a33 131U13 132U23
i
-1 -1 2 - (0)(0) - (^=)(^=)
3 2
3
2
4
M
2 -10 -1 2 -1 0 -12
V2
1
V2
0
0
3 2 1
3 2
0 0
4
3
V2 -
1
0
0
V2
3
"V
0
0 1
3
U
4
3
Contoh 2.
Tentukan determinan dari matriks berikut:
4 2 4 2 10 14 4 14 24
Tahap 1:
l11 0 0 U11 U12 U13 "4 2 4
l21 l22 0 0 U22 U 23 — 2 10 14
l31 l32 l33 _0 0 U33 _4 14 24
111 _ U11
1 _ a21
21
Van _ 2
U
11
_ V a
=2=1
2
i _ ax
31
U
11
4 _ 2
2
U12=
U13=
a12 _ 2
111 _ 2
a13 _ 4
1n _2
Tahap2: 122 _ U22 _V a 22 - 121U12 _V 10 - (1)(1) _V9 _ 3
a32 131U12
32
14 - (2)(1) _ 12 _ 4
U
22
3
3
U23 =
a23 l21U13
l
14 - (1)(2) = 12 =
22
3
3
Tahap 3:
I33 = U33 a33 - l31u13 - l32u23 — V24 - (2)(2) - (4)(4) = V4 = 2
4 2 4 " " 2 0 0 " "2 1 2"
2 10 14 — 1 3 0 0 3 4
4 14 24 2 4 2 0 0 2
det A — (/h x l22 x ^3) (un x u22 x u33) = (2 x 3 x 2)(2 x 3 x 2)
—122—144
Sifat Determinan Matriks
- Jika AT transpose dari matriks A, maka
det(A)—det(AT).
2. Jika e1emen satU baris (ko1om) matriks A—0, maka
det(A)— 0.
3. Jika dUa baris (ko1om) matriks A ada1ah sama (identik), maka
det(A)—0.
4. Jika sa1ah satU baris (ko1om) matriks A merUpakan ke1ipatan dari baris (ko1om) 1ain, maka
det(A) — 0.
5. Jika setiap e1emen da1am satU baris matriks A dika1ikan dengan ska1ar k, maka
_det(A)—k det(A)._
6. Jika setiap elemen pada salah satu baris (kolom) matriks A dikalikan dengan konstanta kemudian ditambahkan ke baris (kolom) lain, maka
det(A)=det(A).
7. Jika salah satu baris (kolom) matriks A dipertu-karkan dengan baris (kolom) lain, maka
det(A)= - det(A).
8. Jika A dan B adalah matriks ukuran n*n, maka
det(AB )=det(A).det(B).
9. Determinan matriks diagonal merupakan perkalian dari elemen diagonal utama,
det (U) = u11u22u33 "•unn
det (L) = l11l22l33* *#l
Contoh
A _
f
V
5 7
\
3 - 4
det A _
r
B
V
/
C _
V
y
5 7 3 - 4
_ -41 det At _
6 2 2 422 9 2 2
\
y
1 1 1 4 2 0 1 1 1
det B _
det C _
53
7 - 4
_ -41
622 422 922
111 420 111
_ 0
_0
A —
' 6 0
B
C —
D
9 1 4
v1
' 6
3 9
1
4 1
V
f
2 0 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1
y
2 0
2
0 ?
?
0 ?
?
0
2
1
2
2 ^
8
2
y
\
>
X 2
6 2 2
det A — 0 0 0 —0
9 2 2
1 1 0
det B — 4 2 0 —0
1 1 0
6 2 2
det C — 3 1 1 —0
9 2 2
1 1 2
det D — 4 2 8 —0
1 1 2
r 1 2 1 S 1 2 1
A _ 1 1 2 det A _ 1 1 2 _ 2 + 8 +1 - 2 - 2 - 4 _ 3
V 2 1 2 y 2 1 2
r 1 2 1S 1 2 1
B_ 2 1 2 det B _ 2 1 2 _ 2 + 4 + 2 -1 - 2 - 8 _ -3
V1 1 2 y ) 1 1 2
r 6 12 6 \ 6 12 6 1 2 1
C _ 1 1 2 det C _ 3 1 1 _6 3 1 1 _ 6 x 3 _ 18
V2 1 2 y 9 2 2 9 2 2
r1 8 ? 1 > 1 8 1 1 2 1
D _ 1 ? ? 4 2 det D _ 1 4 2 _4 1 1 2 _ 4 x 3 _ 12
V2 4 2y 2 4 2 2 1 2
f 5 1 2 ^
A = 3 0 7
v 4 -1 4,
5 1 2 ^ f 5 1 2 ^
-3 R + R3
A = 3 0 7 3 0 7 = B
v 4 -1 4, v-11 -4 - 2,
5 1 2
det A = 3 0 7 = 0 + 28 - 6 - 0 + 35 - 12
4 -1 4
5 1 2
det B = 3 0 7 = 0 - 77 - 24 - 0 +140 + 6 = 45
-11 - 4 -2
"6 1" " 4 3" "6 1" "4 3" "25 20"
A = , dan B = , AB = =
3 2 1 2 3 2 1 2 14 13
det( AB) =
det( A) =
25 20 14 13
6 1
32
= 25 x 13 - 20 x 14 = 45
= 6 x 2 -1 x 3 = 9
det( B) =
= 4 x 2 - 3 x 1 = 5
43 12
det( A).det( B) = 45 = det( AB) 63 12
41
32
det( At ) =
= 12 - 3 = 9 = det( A)
det( Bt ) =
= 8 - 3 = 5 = det( B)
Penggunaan konsep determinan untuk menghitung luas segitiga
(a,b)
(e,f)
(c,d)
Luas segitiga dengan titik (a,b), (c,d) dan (e,f) dinyatakan oleh:
A= ±
1
2
a b 1 c d 1 * f 1
Tanda plus (+) atau minus (-) dipilih sehingga luasnya mempunyai tanda positif
Atau
Luas segitiga dengan titik (x1,y1), (x2,y2), dan (x3,y3)
(X2,Y2)
(X3,Y3)
1
Luas = ± —
2
y\ 1
x2 y 2 1
X3 y3 1
(X1,Y1)
Tanda ± digunakan untuk mendapatkan luas yang positif,
Contoh 1.
Tentukan luas segitiga dengan titik (1, 2), (4, 0), dan (6, 2).
(1,2)
(6,2)
1
Luas _ ±— 2
1 2 1 4 0 1 6 2 1
(4,0)
1
Luas = ±-[(0 +12 + 8)-(0+2 + 8)]_5 satuan luas
Contoh 2.
Tentukan luas segitiga dengan titik (2, 4), (2, 2), dan (5, 1).
(2,4)
(5,1)
1
Luas = ± — 2
2 4 1 2 - 2 1 5 1 1
(2,-2)
Luas = ±-[(-4+20+2)-(-10+2+8)]=9 satuan luas
Slide Matematika dan slide-slide lainnya yang ada di Site SmartStat dapat dipelajari pada tautan di bawah ini:
Daftar Slide Matematika II
Daftar Seluruh Slide
Slide lainnya bisa Anda download :di sini