Definisi Determinan Matriks

Determinan matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semua permutasi n2 elemen matriks bujur sangkar.

Jika subskrip permutasi elemen matriks adalah genap (inversi genap) diberi tanda positif (+) sebaliknya jika subskrip permutasi elemen matriks adalah ganjil (inversi ganjil) diberi tanda negatif (-).

Inversi terjadi jika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutan subskrip permutasi elemen matriks.

Determinan matriks hanya didefinisikan pada matriks bujur sangkar (matriks kuadrat).

Notasi determinan matriks:

det (A) = A atau det A = A

r

A =

a11 a12

a21 a22

V an1 an 2

a

\

1n

a

2n

a

nn J

det A = A

ai1 ai2

a21 a22

an1 an 2

a

1n

a

2n

a

nn

A =

a11 a12

a21 a22

a/1 ai 2

an1 an 2

a1i

a

2i

a

a

ni

a

1n

a

2n

a

in

a

nn

det (A)= |A

a11 a12 a1i a1n

a21 a22

ai1 ai 2

a2i ••• a2 n

a

ii

a

in

an1 an 2 ••• ani ••• ann

Teknik Perhitungan Determinan

Ada lima metode :

1. Metoda Sarrus

2. Metoda Minor dan Kofaktor

3. Metode CHIO

4. Metode Eliminasi Gauss

5. Metode Dekomposisi Matriks

Metoda Sarrus

Perhitungan determinan matriks dengan metode Sarrus hanya dapat diterapkan pada matriks ukuran 2x2 dan 3x3.

Determinan matriks yang ukurannya lebih besar dari 3x3 tidak bisa dihitung oleh metode Sarrus.

Metode Sarrus (disebut juga metode Spaghetti) menggunakan perkalian elemen matriks secara diagonal.

Perkalian elemen matriks pada diagonal turun (dari kiriatas ke kanan bawah) diberi tanda positif (+).

Perkalian elemen matriks pada diagonal naik (dari kiri bawah ke kanan atas) diberi tanda negatif (-).

Determinan matriks 2x2 :

det

a b c d

— ad -cb

Atau

A —

ail ai2

a21 a22

det (A) — A

12

21 ^22

--—}

— ana22 a2ian _i

det A — ana22 a2iai2

Contoh

A —

2 - 3 1 4

det (A) — A

— 2 x 4 - lx (-3) _f

det A — 8 - (-3) —11

B —

-1 2 2 - 4

det (B) — B

4

—-1x (-4) - 2 x 2 _t

det B — 4 - 4 — 0

Determinan matriks 3x3 :

det

a b c d e f g h i

e = (aei + bfg + cdh) - (gec + hfa + idb)

Atau

/

A —

a11 a12 a13

A

a21 a22 a23

Va31 a32 a33 7

det A —

+ + +

det A —

ana22a33 I ^^23 ^^31 + 0^13 ^^21^^32

a 31a 22 a 31 ana23 ^^32 ^^21^^33

Contoh 1.

r

A =

V

1 5 - 3 1 0 2 3 -12

A

J

det A =

+ + +

det A = 1x 0 x 2 + 5 x 2 x 3 + (-3) x 1x 1

- 3 x 0 x (-3) - (-1) x 2 x 1 - 2 x 1x 5

= 0 + 30 + 3-0-(-2)-10 = 25

Contoh 2.

r

B —

V

0 2 1

3 -12

4 - 4 1

\

7

det B —

+ + +

det B — 0 x (-1) x 1 + 2 x 2 x 4 + 1x 3 x (-4) - 4 x (-1) x 1 - (-4) x 2 x 0 -1 x 3 x 2 — 0 +16 -12 + 4 - 0 - 6 — 2

Metoda Minor dan Kofaktor

Perhitungan determinan matriks dengan metode Minor dan Kofaktor dapat diterapkan pada semua matriks bujur sangkar.

Determinan matriks dapat dihitung dari minor dan kofaktor pada salah satu baris atau kolom matriks

Determinan dihitung menggunakan salah satu baris matriks:

n r A = a 11 a 12 a 1n a21 a22 a 2n V an1 a n2 a

det(A)=Xakj •(- 1)k+JM,

kj

j =1

n

nn J

det(A) = Z ak] • Kj

j=1

j = indek kolom

det (a) = ak! Kk 1 + ak 2 Kk 2 + ^ 2 Kk 2 + ••• + akJKkJ k = salah satu baris matriks

Determinan dihitung menggunakan salah satu kolom matriks:

n r A = a11 a12 a 1n a21 a22 a 2n V an1 an 2 a det(A) = X a,i •(-1)'+'Mn i=1 n nn J det(A) = X atf • K i=1 i = indek baris il det (A) = anKn + a2 iK2i + a3iK3l + ••• + aiK

l = salah satu kolom matriks

Contoh 1

Menghitung determinan menggunakan minor dan kofaktor pada baris ke 1

A =

1 5

0

2 4 -1 0 - 2 0

det A = (1) • (-1)1+1 M11 + (5) • (-1)1+2 M12 + (0) • (-1)1+3 M

13

det A = (1) • (-1)

2

4 -1 -2 0

+ (5) • (-1)

3

2 -1 00

+ (0) • (-1)

4

24 0 - 2

= (1)(1)(0 - 2) + (5)(-1)(0 - 0) + (0)(1)(-4 - 0) = -2 + 0 + 0 = -2

Contoh 2

Menghitung determinan menggunakan minor dan kofaktor pada baris ke 2

A =

1 5

0

2 4 -1 0 - 2 0

det A = (2)(-1)2+1 • M21 + (4)(-1rz • M22 + (-1)(-1)z+J • M2,

.2+2

.2+3

det A = (2) • (-1)

3

50 -2 0

+ (4).(-1)

4

1 0 00

+(-1) • (-1)

5

1 5 0 - 2

= (2)(-1)(0 - 0) + (4)(1)(0 - 0) + (-1)(-1)(-2 - 0) = 0 + 0 - 2 = -2

Contoh 3

Menghitung determinan menggunakan minor dan kofaktor pada baris ke 3

A =

1 5

0

2 4 -1 0 - 2 0

det A = (0)(-1)3+1 • M31 + (-2)(-1)J+z • M32 + (0)(-1rJ • M33

,3+2

.3+3

det A = (0) • (-1)

4

50 4 -1

+ (-2).(-1)

5

10 2 -1

+ (0) • (-1)

6

15 24

= (0)(1)(-5 - 0) + (-2)(-1)( -1 - 0) + (0)(1)(4 -10) = 0 - 2 + 0 = -2

Contoh 4

Menghitung determinan menggunakan minor dan kofaktor pada kolom ke 1

A=

15

0

2 4 -1 0 - 2 0

det A = (1) • (-1)1+1 M11 + (2) • (-1)2+1 M21 + (0) • (-1)3+1 M

31

det A = (1) • (-1)

2

4 -1 - 2 0

+ (2) • (-1)

3

50 - 2 0

+ (0) • (-1)

4

50 4 -1

= (1)(1)(0 - 2) + (2)(-1)(0 - 0) + (0)(1)(-5 - 0) = -2 + 0 + 0 = -2

Contoh 5

Menghitung determinan menggunakan minor dan kofaktor pada kolom ke 2

A=

1 5

0

2 4 -1 0 - 2 0

det A = (5)(-1)1+2 • MX1 + (4)(-1)^ • M22 + (-2)(-1)~ • M,2

2+2

3+2

det A = (5) • (-1)

3

2 -1 00

+ (4).(-1)

4

1 0 00

+ (-2) • (-1)

5

1 0

2 -1

= (5)(-1)(0 - 0) + (4)(1)(0 - 0) + (-2)(-1)(-1 - 0) = 0 + 0 - 2 = -2

Contoh 6

Menghitung determinan menggunakan minor dan kofaktor pada kolom ke 3

A=

1 5

0

2 4 -1 0 - 2 0

det A = (0)(-1)1+3 • M13 + (-1)(-1)z+J • M23 + (0)(-rrJ • M33

2+3

3+3

det A = (0) • (-1)

4

24 0 - 2

+ (-1).(-1)

5

1 5 0 - 2

+ (0) • (-1)

6

1 5 24

= (0)(1)(-4 - 0) + (-1)(-1)(-2 - 0) + (0)(1)(4 -10) = 0 - 2 + 0 = -2

Contoh 7

Tentukan determinan matriks berikut,

A =

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

/

= 1

+3

6 7 8

det A = 110 11 12

14 15 16

10 12

 5 7 8 5 6 8

-2 9 11 12 +3 9 10 12 -4

 13 15 16 13 14 16

6

V (

i

V

5

11 12

15 16

10 12

14 16

- 7

-6

14 16

9 12 13 16

+ 8

+ 8

\

/

-2

5

-4

5

11 12

15 16

10 11

14 15

-7

-6

9 12 13 16

9 11 13 15

10 11 14 15

9 10 13 14

= 1(6(1116 -15 12)-7(10 16 -14 12)+ 8(10 15 -14 11))

- 2(5(1116 -15 12)-7(9 16 -13 12)+8(9 15 -13 11)) + 3(5(10 16 -14 12)-6(9 16 -13 12)+ 8(9 14 -13 10))

- 4(5(10 15 -14 11)-6(9 15 -13 11)+ 7(9 14 -13 10))

= 1(6(- 4)- 7(- 8)+ 8(- 4))- 2(5(- 4)- 7(-12)+8(- 8)) + 3(5(- 8)- 6(-12)+ 8(- 4))- 4(5 (- 4)- 6(- 8)+ 7(- 4))

= 1(0)- 2(0)+3(0)- 4(0)=0

5 6 7

9 10 11

13 14 15

9 11

13 15

9 10

13 14

+8

+7

Contoh 8

Tentukan determinan matriks berikut,

/

A =

V

5 1 2 4

1 0 2 3

1 1 6 1

1 0 0 -4

\

K 41 = (-1)

4+1

1 2 4

0 2 3

1 6 1

K 44 = (-1)

4+4

5 1 2 -10 2 1 1 6

det A =

5 12 4 -1 0 2 3 116 1

K 41 = (-1)

1 0 0 -4 1 2 4

0 2 3

= (1) K 41 + 0 K 42 + 0 K43 + (-4) K

44

1 6 1

/

0(-1)

2+1

V

24 6 1

+ 2(-1)

2+2

1 4 1 1

+ 3(-1)

2+3

1 2 1 6

\

= 18

K 44 =

5 1 2 -10 2 1 1 6

/

(-1)(-1)

2+1

V

1 2 1 6

+ 0(-1)

2+2

52 1 6

+ 2(-1)

2+3

5 1 1 1

\

y

= -4

det A = (1)K41 + (0)K42 + (0)K42 + (-4)K44 = (1)(18) + (-4)(-4) = 34

Metode CHIO

Perhitungan determinan matriks dengan metode CHIO dapat diterapkan pada semua matriks bujur sangkar asalkan elemen pada an tidak sama dengan nol (a}} ±0).

Metode CHIO menghitung determinan matriks dengan cara mendekomposisi determinan yang akan dicari menjadi sub-sub determinan derajat dua (2x2) menggunakan elemen matriks baris ke-1 dan kolom ke-1 sebagai titik tolaknya.

Dekomposisi tersebut dilakukan dengan menggunakan matriks (2x2):

an a1«

a, a n1nn

untuk n = 1, 2, 3, ..., dst

A

a

11

a

21

a.

a

nl

det A = A

fan)

n—2

a

11

a

21

a

11

a

31

a

11

a

i 1

a

11

a

nl

a

In

a

2 n

a

in

a

nn

a

11

a

21

a

li

a

31

a

11

an

a

11

a

n\

a

li

a2j alt

a

3 i

ay

a

u

ay

a

ni

a

11

a

21

a

11

a

31

an

a

11

a

n\

a

In

a

2 n

a

In

a

3 n

an a

In

a

m

a

In

a

nn

det A = A

1

(an)

n - 2

a11 a

12

a21 a22

a

1, n-1

a

2,n-1

an-1,1 an-1,2

a

n-1, n-1

Setiap dekomposisi determinan awal akan turun satu derajat, dekomposisi determinan dapat dihentikan sampai determinan tersebut menjadi berderajat dua.

det A = A

1

(au)

n - 2

a

11

a

1, n-1

an-1,1 an-1,n-1

Contoh 1

Tentukan determinan matriks berikut:

 1 5 0

A = 2 4

 0 - 2 0

det A =

1

1 5 10

2 4 2 -1 - 6 -1

i3-2 15 1 0

 0 - 2 0 0

0-2 = -2

-2 0

Contoh 2

Hitung determinan matriks berikut:

A =

det A =

1

3

4 - 2

3 2 2 4

2 3 4 1

3 4 1 2

4 3 2 1

3 2 3 2

2 3 2 4

3 2 3 2

3 4 3 1

3 2 3 2

4 3 4 2

3 4

2 1 5 8 -5

 

3 4 =1

 6 - 3 -6

3 2 = 9

3 4 1 - 2 -13

 

4 1

det A =

 5 8 5 - 5

f 1 1 1 6 - 3 6 - 6

v 9 y 53-2 5 8 5 - 5

 1 - 2 1 -13

det A =

f 1Y1A

v 9 Jl 5

- 63 0 -18 - 60

det A =

' 1 A

v 45 y

(3780 - 0)

det A =

1

v 45 y

(3780) = 84

Contoh 3

Hitung determinan matriks berikut:

A =

det A =

1

1

4-2

1 2 3 4

2 1 0 3

3 2 1 0

2 4 0 1

1 2 1 3

2 1 2 0

1 2 1 3

3 2 3 1

1 2 1 3

2 4 2 0

1 4

2 3 - 3 - 6 - 5

 

1 4

 = - 4 - 8 -12

3 0

1 4 0 -6 - 7

 

2 1

det A =

1

(-3)

3-2

-3 -6

-4 -8

-3 -6

0 -6

det A =

V-3 ,

0 16 18 -21

det .4 =

V-3y

(0-18x16)

det ,4 =

V-3y

(-288) = 96

-3 -5

-4 -12

-3 -5

0 -7

Metode Eliminasi Gauss

1. Determinan matriks segitiga bawah (L) hasil Eliminasi Gauss :

A ^ L

a11 a12 a13 a14 ln 0 0 0

a21 a22 a23 a24 l21 l22 0 0

a31 a32 a33 a34 l31 l32 l33 0

a41 a42 a43 a44 l41 l42 l43 l44

det ^ = l„ X l22 X l33 X ... X lu , i = iWek baris

 atau

det ^ = /„ X l22 X l33 X — X lnn , n = orafo matriks

Contoh

1. Tentukan determinan matriks berikut.

1 1 1 2 '11 0 0 0

2 1 2 1 l21 22 0 0

1 1 3 2 OBE ^ l31 32 33 0

2 2 1 1 l41 t 42 43 l44

1 1 1 2 - 3 -3 -1 0 - 6 -6 0 0

2 1 2 1 bi4(-2) 0 -1 1 0 bi3(1) 3 2 0 0

 

1 1 3 2 b24(-1) - 3 -3 1 0 b23(-1) - 3 -3 1 0

2 2 1 1 b34(-2) 2 2 1 1 2 2 1 1

- 6 - 6 0 0

3 2 0 0

- 3 - 3 10

2 2 11

M3)

3 0 0 0

3 2 0 0

-3 -3 1 0

2 2 11

det .A — ln x 122 x I33 x 144

det A — 3 x 2 x 1x 1 — 6

2. Tentukan determinan matriks berikut

2 0 2 4

4

2 2 2

0 -2 4 4

2 4 0 2

^ OBE ^

l11 0 0 0

l21 l22 0 0

l31 l32 l33 0

l41 l42 l43 l44

2 4 0 2 - 2 2 -4 0

0 2 -2 4 bi4(-1) - 8 -2 -8 0 bi3(i)

 ^-

2 2 4 0 b24(-2) 2 2 4 0 b23(2)

4 2 4 2 4 2 4 2

0 4 0 0 - 8 0 0 0

-4 2 0 0 bi2(-2) - 4 2 0 0

 

2 2 4 0 2 2 4 0

4 2 4 2 4 2 4 2

det .A — /n x l 22 x I33 x 144

det A — -8 x 2 x 4 x 2 —-128

2. Determinan matriks segitiga atas (U) hasil Eliminasi Gauss :

A ^ U

a

11

a

12

a

13

a

14

a

21

a

22

a

23

a

24

a

31

a

32

a

33

a

34

a

41

a

42

a

43

a

44

u

11 0

0

0

u

12

u

13

u

14

u

22 0

0

u

23

u

24

u

33 0

u

34

u

44

det A — Uu X U22 X U33 X ... X U- , i — indek baris

atau

det A — Un X U22 X U33 X ... X Unn , n — ordo matriks

Contoh

1. Tentukan determinan matriks berikut:

1 -1 1 -1" un U12 U13 U14

-1 2 -1 4 1 1 5 ^ OBE ^ 0 0 u 22 0 U23 U24 u33 u34

3 1 1 1 0 0 0 u44 —

1 -1 1 -1" "1 -1 1 -1" "1 -1 1 -1

-1 -1 1 1 b21(1) 0 -2 2 0 b32(3) 0 -2 2 0

2 4 3 5 bsi(-2) 0 6 1 7 b42(2) 0 0 7 7

3 1 1 1 b4i(-3) 0 4 -2 4 0 0 2 4

1 -11 -1

0 - 2 2 0

0 0 7 7

0 0 2 4

M-2/7)

1 -11 -1

0 - 2 2 0

0 0 7 7

0 0 0 2

det A — U11 X U22 X U33 X U44

det A — 1 x (-2) x 7 x 2 — -28

2. Tentukan determinan matriks berikut:

12 3 4

2 10 3

3 2 10 2 4 0 1

^ OBE ^

U11 U12 U13 U14

0 U 22 U23 U 24

0 0 U33 U34

0 0 0 U44

12 3 4

2 10 3

3 2 10 2 4 0 1

b2i(-2)

b3i(-3) b4i(-2)

1 2 3 4

0 -3 -6 -5

0 -4 - 8 -12

0 0 -6 -7

b32(-4/3) i

12 0 - 3 00 00

3 - 6 0 -6

4

- 5

-163

- 7

b

34

1 2 3

4

0 -3 -6 -5 0 0 - 6 - 7

0 0 0 -163

det A — Ujj X U22 ^ U33 ^ U44

-16

det A — 1 x (-3) x (-6) x (-) — -96

3. Tentukan determinan matriks berikut:

 ' 3 6 9 12" 3 6 9 12 x(1/3) 12 3 4 Nk-1) 1 2 3

 1 2 2 1 det (A) = 1 2 2 1 12 2 1 A x(-3) 0 0 -1

A = 3 5 2 1 = 3 / = 3

 3 5 2 1 3 5 2 1 r 0 -1 - 7

 0 2 4 2 0 2 4 2 0242 0 2 4

 1 2 3 4 1 2 3 4

 0 -1 -7 -11 \ 0 -1 -7 -11 x(-1)

3 \ =-3

 0 0 -1 -3 J x(2) 0 0 -1 -3 x(-1)

 0 2 4 2 / 0 0 -10 - 20 x(-1/10)

 1 2 3 4 1 2 3 4

 0 17 11 0 17 11

30 = 30

 0 0 1 3 V(-1) 0 0 1 3

 0 0 1 2 / 0 0 0 -1

= -30

4. Tentukan determinan matriks berikut:

A —

2 1 3

3 2 1 7 5 2

det (A) —

2 1 3

3 2 1 7 5 2

(1/2) — 2

'12 >3

3 2 1 7 5 2

— 2

1 1

0 1/ - 7 / 2 /2

0 3/ -17/ 0 2 2

(2) (2)

1 2

1 V 3/ 1 / 2 /2

0 1 - 7 0 3 -17

(-3)

1

2

1 - 7

0

0 0 4

— 2

Metode Dekomposisi Matriks

Determinan dari matriks hasil dekomposisi menjadi matriks segitiga bawah (L) dan matriks segitiga atas (U) diperoleh dari hasil perkalian elemen-elemen diagonal utamanya.

A = LU

a11 a12 a13 a14 l" 0 0 0 U11 U12 U13 U14

a21 a22 a23 a24 l21 l22 0 0 0 U 22 U 23 U 24

a31 a32 a33 a34 l31 l32 l33 0 0 0 U33 U34

a41 a42 a43 a44 _l41 l42 l43 l44 _ _0 0 0 U 44

det A — ( l" X I 22 X I 33 X ... X li X U22 X U33 X ••• X M^ ) ,

i — indekbaris

1. Determinan dari dekomposisi cara Crout

011 a12 a13 a14 In 0 0 0 1 U12 U13 U14

a 21 a22 a23 a24 121 '22 0 0 0 1 U 23 U 24

a31 a32 a33 a34 /31 '32 33 0 0 0 1 U34

a41 a42 a43 a44 '41 /42 '43 '44 0 0 0 1

det A — ('11 X '22 X '33 X *** X ln )(1x 1 x 1x ... x 1) ,

 i — baris

 atau

det A — ('11 x '22 x '33 x *** x 4 )

 i — baris

Contoh 1.

Tentukan determinan matriks berikut:

3 -12

1 2 3

2 - 2 -1

Tahap 1:

A1 0 0 1 U12 U13 3 -1 2

l21 22 0 0 1 U 23 - 1 2 3

l31 l32 33 0 0 1 2 -2 -1

lii = aii = 3 l21 = a21 = 1 l31 = a31 = 2

a

Tahap 2: l11u12 = a12 ^ u12 =—

l

11

-1

T

j ___ a13 _ 2

l11U13 = a13 ^ U13 = ~j = 3

l11 3

-1 7

TahaP 3: l21U12 + l22 = a22 ^ l22 = a22 - l21U12 = 2 - (1)( ^ = "J

-1 4

l31U12 + l32 = a32 ^ l32 = a32 - l31U12 = -2 - (2)(^T~) = - T

3

3

Tahap 4 :

'21U13 + '22U23 — a23 ^ U23

a23 '21U13

I

22

Tahap 5 :

2

3 -(1)(2) 7

3

7

—l—? 3

'31U13 + '32U 23 + '33

3 -12

1 2 3

2 - 2 -1

3

a33 ^ '33

a33 '31U13 '32U 23

2 4

—-1 - (2)(—) - (- -)(1)

—-1

0

1 7/3

0 0

2 - 4/3 -1

1 -1/3 2/3'

0

1

00

1 1

7

det A — ('11 x '22 x ) — 3 x — x (-1) — -7

Contoh 2.

Tentukan detrminan matriks berikut:

2 - 5 1 '11 0 0 1 U12 U13 2 - 5 1

-1 3 -1 '21 '22 0 0 1 U 23 - -1 3 -1

3 - 4 2 '31 '32 '33 0 0 1 3 - 4 2

Tahap 1: '11 — an — 2

11

'21 — a21 — 1

'31 — a31 — 3

Tahap 2:

'nU12 — a12 ^ U12 —

'nU13 — a13 ^ U13 —

a

12

l-

11

-5 2

— -2.5

a

13

'

11

- — 0.5 2

Tahap 3: '21U12 + '22 — a22 ^ '22 — a22 - '21U12 — 3 - (-1)(-2'5) — 0'5

'31^2 + '32 a32 ^ '32 a32 '31^2 4 (3)( 2.5) 3.5

Tahap 4 :

l21U13 + l22U23 = a23 ^ U23

a23 l21U13

-1 - (-1)(0.5) - 0.5

l

22

0.5

0.5

= -1

Tahap 5:

l31U13 + l32U23 + l33 = a33 ^ l33 = a33 l31U13 l32U23

2 -5 1' -1 3 -1

3 - 4 2

= 2 - (3)(0.5) - (3.5)(-1) = 4

2 0 0 -1 0.5 0 3 3.5 4

1 - 2.5 0.5 0 1 -1 0 0 1

det A = (l11 x l22 x l33) = 2 x 0.5 x (4) = 4

2. Determinan dari dekomposisi cara Doolittle

a11 a12 a13 a14 1 0 0 0 U11 U12 U13 U14

a 21 a22 a23 a24 I21 1 0 0 0 U 22 U 23 U 24

a31 a32 a33 a34 '31 '32 1 0 0 0 U33 U34

a41 a42 a43 a44 '41 '42 '43 1 0 0 0 U 44

det A = (1x 1 x 1x ... x 1)(U11 x U22 x U33 x ... x Un) ,

 i = indek baris

 atau

det A — (U11 x U22 x U33 x ... x U.i)

 i = indek baris

Contoh 1.

Tentukan determinan matriks berikut:

3 -12

1 2 3

2 - 2 -1

Tahap 1:

I l-

11 12 13

11 21 31

1 0 0 U11 U12 U13 3 -1 2

21 1 0 0 U22 U 23 — 1 2 3

31 l32 1 0 0 U33 _ 2 -2 -1

3 -1 Tahap 2: l21U11 — a21 ^ l21 — a21 U11 —1 —3

2 l31U11 — a31 ^ l31 — a31 U11 —2 —3

1

7

TahaP 3: l21U12 + U22 — a22 ^ U22 — a22 - l21U12 — 2 - (T)(-1) — T

7

l21U13 + U23 — a23 ^ U23 — a23 - l21U13 — 3 - (T)(2) — "T

3 1

3

3

3

Tahap 4 :

7 7 7 a32 /31U12

31 12 32 22

32

32

U

22

Tahap 5 :

'31U13 1 '32U 23 1 U33

a33 ^ U33

2

- 2 - (3X-1)

7

3

a33 '31U13 '32U 23

4

3

7 3

-4

7

2 - 4 7

-1 - (2)(2) -(-7-)(I)

= -1

3 -12

1 2 3

2 -2 -1

1

0 0

1

0

1/3

2/3 - 4/7 1

3 -12 0 7/3 7/3 0 0 -1

7

det A = (Ujj x u22 x u33) = 3 x — x (-1) = -7

Contoh 2.

Tentukan determinan matriks berikut:

2 -13 - 4 5 0 4 2 18

1

/

I

21

0 0 U11 U12 U13 2 -1 3

1 0 0 U 22 U 23 - - 4 5 0

'32 1 0 0 U33 4 2 18

Tahap 1: U11 = au = 2

11

Tahap 2:

U12 = a21 = 1 U13 = a31 = 3

/21U11 = a21 ^ '21 =

/31U11 = a31 ^ '31 =

a

21

U

11

-4

2

= -2

a

31

U

11

Tahap 3:

/21U12 1 U22 = a22 ^ U22 = a22 - '21U12 = 5 - (-2)(-1) = 3 /21U131 u23 — a23 ^ u23 — a^3 /21U13 — 0 ( 2)(3) — 6

4 = 2

2

Tahap 4 :

l31U12 + l32U22 _ a32 ^ l32

a32 l31U12

u

22

2 - (2)(-1) _ 4 _ 4

3 _ 3 _ 3

Tahap 5 :

l31U13 + l32U23 + U33 _ a33 ^ U33 _ a33 l31U13 l32U23

4

_ 18 - (2)(3) - (3X6) _ 18 - 6 - 8 _ 4

2 -1 3 " 1 0 0" "2 -1 3"

-4 5 0 — - 2 1 0 0 3 6

4 2 18 2 4/3 1 0 0 4

det A _ (u11 x u22 x u33) _ 2 x 3 x 4 _ 24

3. Determinan dari dekomposisi cara Cholesky

a11 a12 a13 a14 lu 0 0 0 U11 U12 U13 U14

a21 a22 a23 a24 l21 l22 0 0 0 U 22 U 23 U 24

a31 a32 a33 a34 l31 l32 l33 0 0 0 U33 U34

a41 a42 a43 a44 l41 l42 l43 l44 0 0 0 U 44

di mana, L = u--

det A = (ln x l22 x l33 x ... x l.. )(u

11 X U22 X U33 X ••• X Uii

) , atau

det A = (l11 x l22 x l33 x ... x lti )2, atau

2

det A = (u11 x u22 x u33 x ... x uii) ,

i = baris

Contoh 1.

Tentukan determinan matriks berikut:

Tahap 1: l

in

l_

21

i„ _

31

0 "in

-1 l21

2 _l31

: un _ Van:

a 21 _ -1

un V2

a31 _ 0_ 0

U11 V2 _

0

l

22

0 0

l32 l

33

U

11 0

U

12

00

u

13

U 22 U 23

U

33

2 -10 -1 2 -1 0 -1 2

a

U12 _

12

11

a

U13 _

13

u

11

-1

72

0

72

_ 0

Tahap 2. l22 u22 A/a22 1

a22 121U12

-1 -1

2 - W -1

3

M

l=

a32 131U12

-1 ^ -1

32

u

22

3

3

u

22 122 Va22 1

L21U12

-1 -1 2 - W Vf)

3

M2

U23 _

a23 l21U13

-1

1 - (VJ)(0)

l

22

1

22

-1

3

Tahap 3.

133 _ U33

-v

a33 131U13 132U23

i

-1 -1 2 - (0)(0) - (^=)(^=)

3 2

3

2

4

M

2 -10 -1 2 -1 0 -12

V2

1

V2

0

0

3 2 1

3 2

0 0

4

3

V2 -

1

0

0

V2

3

"V

0

0 1

3

U

4

3

Contoh 2.

Tentukan determinan dari matriks berikut:

4 2 4 2 10 14 4 14 24

Tahap 1:

l11 0 0 U11 U12 U13 "4 2 4

l21 l22 0 0 U22 U 23 — 2 10 14

l31 l32 l33 _0 0 U33 _4 14 24

111 _ U11

1 _ a21

21

Van _ 2

U

11

_ V a

=2=1

2

i _ ax

31

U

11

4 _ 2

2

U12=

U13=

a12 _ 2

111 _ 2

a13 _ 4

1n _2

Tahap2: 122 _ U22 _V a 22 - 121U12 _V 10 - (1)(1) _V9 _ 3

a32 131U12

32

14 - (2)(1) _ 12 _ 4

U

22

3

3

U23 =

a23 l21U13

l

14 - (1)(2) = 12 =

22

3

3

Tahap 3:

I33 = U33 a33 - l31u13 - l32u23 — V24 - (2)(2) - (4)(4) = V4 = 2

4 2 4 " " 2 0 0 " "2 1 2"

2 10 14 — 1 3 0 0 3 4

4 14 24 2 4 2 0 0 2

det A — (/h x l22 x ^3) (un x u22 x u33) = (2 x 3 x 2)(2 x 3 x 2)

—122—144

Sifat Determinan Matriks

- Jika AT transpose dari matriks A, maka

det(A)—det(AT).

2. Jika e1emen satU baris (ko1om) matriks A—0, maka

det(A)— 0.

3. Jika dUa baris (ko1om) matriks A ada1ah sama (identik), maka

det(A)—0.

4. Jika sa1ah satU baris (ko1om) matriks A merUpakan ke1ipatan dari baris (ko1om) 1ain, maka

det(A) — 0.

5. Jika setiap e1emen da1am satU baris matriks A dika1ikan dengan ska1ar k, maka

_det(A)—k det(A)._

6. Jika setiap elemen pada salah satu baris (kolom) matriks A dikalikan dengan konstanta kemudian ditambahkan ke baris (kolom) lain, maka

det(A)=det(A).

7. Jika salah satu baris (kolom) matriks A dipertu-karkan dengan baris (kolom) lain, maka

det(A)= - det(A).

8. Jika A dan B adalah matriks ukuran n*n, maka

det(AB )=det(A).det(B).

9. Determinan matriks diagonal merupakan perkalian dari elemen diagonal utama,

det (U) = u11u22u33 "•unn

det (L) = l11l22l33* *#l

Contoh

A _

f

V

5 7

\

3 - 4

det A _

r

B

V

/

C _

V

y

5 7 3 - 4

_ -41 det At _

6 2 2 422 9 2 2

\

y

1 1 1 4 2 0 1 1 1

det B _

det C _

53

7 - 4

_ -41

622 422 922

111 420 111

_ 0

_0

A —

' 6 0

B

C —

D

9 1 4

v1

' 6

3 9

1

4 1

V

f

2 0 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1

y

2 0

2

0 ?

?

0 ?

?

0

2

1

2

2 ^

8

2

y

\

> 

X 2

 6 2 2

det A — 0 0 0 —0

 9 2 2

 1 1 0

det B — 4 2 0 —0

 1 1 0

 6 2 2

det C — 3 1 1 —0

 9 2 2

 1 1 2

det D — 4 2 8 —0

 1 1 2

 r 1 2 1 S 1 2 1

A _ 1 1 2 det A _ 1 1 2 _ 2 + 8 +1 - 2 - 2 - 4 _ 3

 V 2 1 2 y 2 1 2

 r 1 2 1S 1 2 1

B_ 2 1 2 det B _ 2 1 2 _ 2 + 4 + 2 -1 - 2 - 8 _ -3

 V1 1 2 y ) 1 1 2

 r 6 12 6 \ 6 12 6 1 2 1

C _ 1 1 2 det C _ 3 1 1 _6 3 1 1 _ 6 x 3 _ 18

 V2 1 2 y 9 2 2 9 2 2

 r1 8 ? 1 > 1 8 1 1 2 1

D _ 1 ? ? 4 2 det D _ 1 4 2 _4 1 1 2 _ 4 x 3 _ 12

 V2 4 2y 2 4 2 2 1 2

 f 5 1 2 ^

A = 3 0 7

 v 4 -1 4,

 5 1 2 ^ f 5 1 2 ^

 -3 R + R3

A = 3 0 7 3 0 7 = B

 v 4 -1 4, v-11 -4 - 2,

 5 1 2

det A = 3 0 7 = 0 + 28 - 6 - 0 + 35 - 12

 4 -1 4

 5 1 2

det B = 3 0 7 = 0 - 77 - 24 - 0 +140 + 6 = 45

 -11 - 4 -2

 "6 1" " 4 3" "6 1" "4 3" "25 20"

A = , dan B = , AB = =

 3 2 1 2 3 2 1 2 14 13

det( AB) =

det( A) =

25 20 14 13

6 1

32

= 25 x 13 - 20 x 14 = 45

= 6 x 2 -1 x 3 = 9

det( B) =

= 4 x 2 - 3 x 1 = 5

43 12

det( A).det( B) = 45 = det( AB) 63 12

41

32

det( At ) =

= 12 - 3 = 9 = det( A)

det( Bt ) =

= 8 - 3 = 5 = det( B)

Penggunaan konsep determinan untuk menghitung luas segitiga

(a,b)

(e,f)

(c,d)

Luas segitiga dengan titik (a,b), (c,d) dan (e,f) dinyatakan oleh:

A= ±

1

2

a b 1 c d 1 * f 1

Tanda plus (+) atau minus (-) dipilih sehingga luasnya mempunyai tanda positif

Atau

Luas segitiga dengan titik (x1,y1), (x2,y2), dan (x3,y3)

(X2,Y2)

(X3,Y3)

1

Luas = ± —

2

 y\ 1

x2 y 2 1

X3 y3 1

(X1,Y1)

Tanda ± digunakan untuk mendapatkan luas yang positif,

Contoh 1.

Tentukan luas segitiga dengan titik (1, 2), (4, 0), dan (6, 2).

(1,2)

(6,2)

1

Luas _ ±— 2

1 2 1 4 0 1 6 2 1

(4,0)

1

Luas = ±-[(0 +12 + 8)-(0+2 + 8)]_5 satuan luas

Contoh 2.

Tentukan luas segitiga dengan titik (2, 4), (2, 2), dan (5, 1).

(2,4)

(5,1)

1

Luas = ± — 2

2 4 1 2 - 2 1 5 1 1

(2,-2)

Luas = ±-[(-4+20+2)-(-10+2+8)]=9 satuan luas