Fungsi Linear

Fungsi linear dinyatakan f(x) = ax + b merupakan garis lirus. Koefisien "a" menentukan sudut di mana garis lurus memotong sumbu x.y

Contoh

1.            y = 2x+1 (garis merah)

2.            y = -3x+2 (garis hitam)

3.            y = -3x + 3 (garis biru)

Fungsi linier dapat dinyatakan dalam bentuk lain :

y = ax + b (eksplisit) y + ax + b = 0 (Implisit)

x

Fungsi Linear Khas

a

Fungsi Nol f(x) = 0, fungsi sumbu x.

b

Fungsi Konstan f(x) = k

a

c

Fungsi Identitas f(x) = x.

y

b

-I—i—i-

f(x) = 4

x

c

y

i-1-r

f(x) = 0

x

f(x) = X

x

Fungsi Kuadrat

Definisi

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang dinyatakan dalam bentuk

f (x) = ax + bx + c

y = ax + bx + c

r dimana a 10

y + ax + bx + c = 0

j

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 dimana a,b atau c salah

satu harus 10

Contoh

y = i2 - 2 x + 3

y = — x" — .r + ]

Fungsi Kuadrat Khas

Fungsi lingkaran dengan titik pusat (h, k) dan jari-jari r

ax2 + cy2 + dx + ey + f = 0 o (x - h)2 + (y - k)2 = r2 Fungsi lingkaran dengan titik pusat (0, 0) dan jari-jari r

ax2 + cy2 + dx + ey + f = 0 o x2 + y2 = r2

Contoh 1

Solusi

Contoh 2

Solusi

Tentukan persamaan lingkaran jika jari-jari 3 dan pusat lingkaran (2, -5)

(x - h)2 + (y - k)2 = r2 (x - 2)2 + (y + 5)2 = 32 x2 - 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = 9 x2 + y2 - 4x + 10y + 20 = 0

Gambar dan tentukan jari-jari dan pusat lingkaran dari: x2 + y2 + 2x - 6y + 6 = 0

(x2 + 2x) + (y2 - 6y) = -6

(x2 + 2x +1) + (y - 6y + 9) = -6 +1 + 9

(x +1)2 + (y - 3)2 = 4

Jadi jari-jari lingkaran r = 2 dan pusatnya di (-1, 3)

H-1-1-? X

x2 + y2 + 2x - 6y + 6 = 0

2

y

b

Fungsi elips dengan titik pusat (h, k) dan mempunyai sumbu 2a dan 2b

(x - h)2 t (y - k)

ax2 + cy2 + dx + ey + f = 0

2

2

+

2

= 1

a              b

Fungsi elips dengan titik pusat (0, 0) dan mempunyai sumbu 2a dan 2b

2

22

ax2 + cy + dx + ey + f = 0 r- +

a2 b2

=1

Jika titik api (fucus) pada sumbu x

mempunyai focus : (±c, 0) dan puncak (vertex) : (±a, 0) dimana :

a > b > 0 dan c2 = a2 - b2

Jika titik api (fucus) pada sumbu y

mempunyai focus : (0, ±c) dan puncak (vertex) : (0, ±a) dimana :

a > b > 0 dan c2 = a2 - b2

Contoh 1

Gambarkan elips dan tentukan titik focus dan puncaknya dari persamaan : 9x +16 y -144 = 0

Solusi

9x2 +16 y2 -144 = 0

2

9x2 +16 y2 = 144 9x_ 16 y2 = 144

2

144

x 2 y

— + —

144 144

2

= 1 16 9

Jadi titik api (fucus) elips : (+^7,0) dan puncak (vertex) elips : (+4,0)

a2 = 16 a = 4 b2 = 9 b = 3

c2 = a2 - b2 c2 = 16 - 9 = 7

c

= 47

(-4, 0)

Contoh 2

Solusi

c

Tentukan persamaan elips dengan titik focus (0, ±2) dan vertex (0, ±3)

c = 2 a = 3

b2 = a2 - c2 = 9 - 4 = 5

Jadi

2 2

— + = 1 atau 9x2 + 5y2 - 45 = 0

5 9

Fungsi hiperbola dengan pusat di (h, k) dan bersumbu transverse sejajar sumbu x

ax - cy + dx + ey + f = 0 o-2---2— = 1

(x -hL - (y - k )2

a2           b2

Fungsi hiperbola dengan pusat di (h, k) dan bersumbu transverse sejajar sumbu y

2 2 . , * (y - k)2 (x - h)2 1

- ax2 + cy2 + dx + ey + f = 0 o ——---= 1

2 2 x y = 1

22 a b

Transverse sejajar sumbu x,

mempunyai focus : (±c, 0), puncak (vertex) : (±a, 0), dan

b

asimtot: y = ±—x

a

dimana :

2 2 , » 2 c = a + b

2 2

—— - x— = 1 Transverse sejajar sumbu y, mempunyai focus : a b             a

(0, ±c), puncak (vertex) : (0, ±a), dan asimtot: y = ±—x

dimana : c2 = a2 + b2

Contoh 1

Tentukan focus dan asimtot dari hiperbola : 9x2 -16y2 = 144

2

Solusi

9x2 -16y2 9x2 16y2

144 144

144 144 144

22 x2 y 2

16 9

= 1

Jadi: a = 4 b = 3

c2 = a2 + b2 = 16 + 9 = 25

c = ±5 Focus = (±5, 0)

3

Asimtot: y = — x

4

dan y = - — x 4

3

y = — x

4

(-4, 0)

y

3

y =—x

4

0

(4, 0)

Contoh 2

Tentukan focus dan persamaan hiperbola dengan vertex (0, ±1) dan asimtot: y = 2x

Solusi

d

a = 1 Jadi: c2 = a2 + b2

a=2 b

b=1 2

2 r 1 5

c =1+—=— 4 4

= ± ±45 2

Focus = (0,± ^S)

2

c

Persamaan hiperbola

2 2 y x

22 a b

= 1

y

2

x

2

12 (1/ 2 )2

y2 - 4x2 = 1

= 1

Fungsi parabola, direktriks sejajar sumbu x dengan vortex (pusaran) (h, k):

cy2 + dx + ey + f = 0 o (y - k)2 = 4p(x - h)

2

Fungsi parabola, direktriks sejajar sumbu y dengan vortex (pusaran) (h, k):

ax2 + dx + ey + f = 0 o (x - h)2 = 4p(y - k)

2

Fungsi parabola dengan focus (0, p) dan direktriks y = -p

x2 = 4 py

Fungsi parabola dengan focus (p, 0) dan direktriks x = -p y 2 = 4 px

Dimana p merupakan parameter parabola :

1.            Jika p > 0, parabola terbuka ke atas atau ke kanan

2.            Jika p 0, parabola terbuka ke bawah aau ke kiri

Contoh 1

Tentukan focus dan direktriks dari parabola : y2 +10x = 0

Solusi

y2 + 10x = 0 Jadi 4p = -10

5 2

y2 =-10x

p=

Focus : (- — ,0 ) 2

5

Direktriks : x = —

2

y F(-5/2, 0)^                      

0                             

x = 5/2

y2 + 10x = 0

Fungsi Polinomial

Fungsi polinomial dinyatakan dalam bentuk :

f (x) = a0 + a1x +... + anxn o y = a0 + a1x +... + anxn

Sifat/ bentuk fungsi polinomial (untuk nilai x positif atau negatif yang besar) ditentukan oleh derajat terbesar suku anxn .

Untuk an > 0 dan n ganjil :

a.            Jika x^ ~ , maka f(x)^ ~

b.            Jika x^ - maka f(x)^ - ~

Untuk an > 0 dan n genap

a.            Jika x^ ~ , maka f(x)^ ~

b.            Jika x^ - maka f(x)^ ~

Tipe grafik fungsi polinomial berderajat n

Contoh 1

Buat grafik fungai polinomial: f (x) = x4 dan f (x) = x4 -15x2 -15x

Contoh 2

Buat grafik fungai polinomial: f(x) = x3 dan f(x) = -x

3

f(x) = x3

                I

                /

                / y

f             

j'

f(x) =

= - x

Fungsi Polinomial Khas

a

y

f(x) =[[x ]]

Fungsi bilangan bulat terbesar f(x) = [x]]

a

b

Fungsi nilai mutlak f(x)= x

\—i—i—?x

y

b

f(x) =

x

•-•

•-•

m-m

1-1-1-- .-1-1—?x

Fungsi Rasional

Fungsi rasional (pecah) dinyatakan dalam bentuk :

f ( X ) =

axn + bxn 1 +... + cx + d pxm + qxm-1 +... + rx + s

Untuk kasus dimana m = n bentuk fungsi rasional dapat dinyatakan sebagai

x/ x ax + b ax + b f (x) =-o y =

px + q

px + q

Ciri grafik fungsi rasional mempunyai titik-titik potong dengan sumbu koordinat dan asimtot.

1. Titik potong dengan sumbu koordinat a. Sumbu x, maka f(x) atau y = 0

b

ax + b = 0 o x = —

a

b. Sumbu y, maka x = 0

ax + b    b

y =-o y = -

px + q    q

koordinat titik potongnya

koordinat titik potongnya

(- a ,0) a

(0, ^) q

2. Asimtot:

a. Asimtot datar, maka x ^ ~

b

ax + b    a + x       a

y =-^ y = —q ^ y = -

px + q n+ q P

P +

x

b. Asimtot tegak, maka y ^ ~

ax + b ax + b y =-^ x =-^ px + q

px + q

px + q

y

x=- q p

= 0«x = -q p

a

y = -

? x p

Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial dinyatakan dalam bentuk : f(x) = bx o y = bx dimana : b > 0, 0 < y dan x £ R

Ciri grafik fungsi eksponensial :

1. Titik potong dengan sumbu koordinat:

a.            Sumbu x, maka f(x) atau y = 0

y = bx o 0 = bx

Untuk b ^ 0 tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan tersebut, jadi tidak ada titik potong dengan sumbu x.

b.            Sumbu y, maka x = 0

y = bx o y = b0 = 1

Untuk b ^ 0 nilai b0 = 1, jadi titik potong dengan sumbu y adalah (0, 1).

2. Asimtot:

a. Asimtot datar, maka x ^ ± ~

y = b o y = b

Untuk 0 b 1maka : y = b= 0 ^

y = b = <

Untuk b > 1, maka : y = b = <

y = b = 0

y Jadi asimtot datarnya

y = 0

±~

b. Asimtot tegak, maka y ^ ±

y = bx o± = bx Untk 0 b 1 maka: + = bx o x= -< ^

-= bx o x = ttd

Untuk b > 1, maka : + < = bx o x = +

-= bx o x = ttd

y Jadi asimtot tegaknya tidak ada

3. Titik-titik pada grafik fungsi eksponensial :

x              ...            -3            -2            -1            0              1              2              3              ...

y              ...            1/b3       1/b2       1/b         1              b             b2           b3           .

3. Grafik fungsi eksponensial :

Grafik y = bx       Grafik y = -bx

Contoh

Buat grafik fungsi eksponensial

r r v

1) y =

j

, grafik merah

2) y = lx, grafik hitam

3) y =

\2j

, grafik biru

4) y =

\2j

,grafik hijau

b=1/2

b=3/2

b=5/2

b=1

Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponensial, dinyatakan dalam bentuk:

f(x) =b log x o y =b log x o x = by Ciri grafik fungsi logaritma :

1. Titik potong dengan sumbu koordinat:

a.            Sumbu x, maka f(x) atau y = 0

y =b log x o 0 =b log x o x = 1

Nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah 1, jadi titik potong dengan sumbu x adalah (1, 0).

b.            Sumbu y, maka x = 0

y =b logx o y =b log0 o y = ttd

Nilai y yang memenuhi persamaan tersebut tidak ada, jadi titik potong dengan sumbu y tidak ada.

2. Asimtot:

a. Asimtot datar, maka x ^ ± ~

y =b log x o y =b log±<

Untuk x = +«, maka :y =b log+< o y

b

= <

Untuk x = maka : y =b log- o y = ttd b. Asimtot tega, maka y ^ ± ~

y =b log x o ±< =b log x

Untuk y = +«, maka : +< =b logx o x =

Untuk y = -«, maka : -< =b logx o x = 0

Jadi asimtot datarnya tidak ada :

Jadi asimtot tegaknya adalah x = 0

3. Titik-titik pada grafik fungsi logaritmal

x              . . .          1/b3       1/b2       1/b         1              b             b2           b3           ...

y              ...            -3            -2            -1            0              1              2              3              .

4. Grafik fungsi logaritma y

Grafik fungsi y =b logx

Grafik fungsi y = -(blogx)

Contoh

Buat grafik fungsi logaritma : y =2 logx dan y =1/2 logx

y =2 logx

y =12 logx

Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri adalah fungsi yang didasarkan pada ukuran sudut (x) dan dinyatakan :

a.            f(x) = sin(x) ^ y = sin(x)  d. f(x) = sec(x) ^ y = sec(x)

b.            f(x) = cos(x) ^ y = cos(x) e. f(x) = csc(x) ^ y = csc(x)

c.             f(x) = tan(x) ^ y = tan(x) f. f(x) = cot(x) ^ y = cot(x)

Nilai-nilai fungsi trigonometri berulang setiap kelipatan sudut 2n karena itu fungsi trigonometri disebut fungsi periodik

Grafik fungsi trigonometri :

f (x) = sin( x)       f(x) = cos( x)

y

y

x

-0. -1 -1.5

f (x) = sin(x) ^ y = sin(x)

x

f (x) = cos(x) ^ y = cos(x)

                                5 4 3 2 1 0 0          y                              ? X

7 -5         -3            -1 -1 -2 -3 -4 -5   1              3              57

y

x

7 -7

-5

0 -1 -1 -2 -3 -4 -5

x

57

f (x) = tan(x) ^ y = tan(x)

f (x) = sec(x) ^ y = sec(x)

1

f (x) = csc(x) ^ y = csc(x)                f (x) = cot(x) ^ y = cot(x)

Contoh 1

Contoh 2

Buat grafik fungsi trigonometri: f(x) = xx sin dan interval -0.01 < x 0.01

v x J

untuk interval -0.1 < x 0.1

f (x) = xx sin

r L ^

vx

f (x) = xx sin

v x J

-0.1 x 0.

-0.01 x .1

Contoh 3 Buat grafik fungsi trigonometri

y =6 sin t

y = o + suit

V = sin(i -+- y)

Contoh 4

Buat grafik fungsi trigonometri : f(x) = A sin(x)