Topik Bahasan:
- Fungsi Linier Fungsi Kuadrat;
- Fungsi Polinomial;
- Fungsi Rasional;
- Fungsi Eksponensial;
- Fungsi Logaritma;
- Fungsi Trigonometri
Slide: Fungsi Dasar selengkapnya bisa Anda pelajari pada konten di bawah ini.
Slide: Fungsi Dasar
Dr. Ruminta
Transcript
Fungsi Linear
Fungsi linear dinyatakan f(x) = ax + b merupakan garis lirus. Koefisien "a" menentukan sudut di mana garis lurus memotong sumbu x.y
Contoh
1. y = 2x+1 (garis merah)
2. y = -3x+2 (garis hitam)
3. y = -3x + 3 (garis biru)
Fungsi linier dapat dinyatakan dalam bentuk lain :
y = ax + b (eksplisit) y + ax + b = 0 (Implisit)
x
Fungsi Linear Khas
a
Fungsi Nol f(x) = 0, fungsi sumbu x.
b
Fungsi Konstan f(x) = k
a
c
Fungsi Identitas f(x) = x.
y
b
-I—i—i-
f(x) = 4
x
c
y
i-1-r
f(x) = 0
x
f(x) = X
x
Fungsi Kuadrat
Definisi
Fungsi kuadrat adalah fungsi yang dinyatakan dalam bentuk
f (x) = ax + bx + c
y = ax + bx + c
r dimana a 10
y + ax + bx + c = 0
j
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 dimana a,b atau c salah
satu harus 10
Contoh
y = i2 - 2 x + 3
y = — x" — .r + ]
Fungsi Kuadrat Khas
Fungsi lingkaran dengan titik pusat (h, k) dan jari-jari r
ax2 + cy2 + dx + ey + f = 0 o (x - h)2 + (y - k)2 = r2 Fungsi lingkaran dengan titik pusat (0, 0) dan jari-jari r
ax2 + cy2 + dx + ey + f = 0 o x2 + y2 = r2
Contoh 1
Solusi
Contoh 2
Solusi
Tentukan persamaan lingkaran jika jari-jari 3 dan pusat lingkaran (2, -5)
(x - h)2 + (y - k)2 = r2 (x - 2)2 + (y + 5)2 = 32 x2 - 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = 9 x2 + y2 - 4x + 10y + 20 = 0
Gambar dan tentukan jari-jari dan pusat lingkaran dari: x2 + y2 + 2x - 6y + 6 = 0
(x2 + 2x) + (y2 - 6y) = -6
(x2 + 2x +1) + (y - 6y + 9) = -6 +1 + 9
(x +1)2 + (y - 3)2 = 4
Jadi jari-jari lingkaran r = 2 dan pusatnya di (-1, 3)
H-1-1-? X
x2 + y2 + 2x - 6y + 6 = 0
2
y
b
Fungsi elips dengan titik pusat (h, k) dan mempunyai sumbu 2a dan 2b
(x - h)2 t (y - k)
ax2 + cy2 + dx + ey + f = 0
2
2
+
2
= 1
a b
Fungsi elips dengan titik pusat (0, 0) dan mempunyai sumbu 2a dan 2b
2
22
ax2 + cy + dx + ey + f = 0 r- +
a2 b2
=1
Jika titik api (fucus) pada sumbu x
mempunyai focus : (±c, 0) dan puncak (vertex) : (±a, 0) dimana :
a > b > 0 dan c2 = a2 - b2
Jika titik api (fucus) pada sumbu y
mempunyai focus : (0, ±c) dan puncak (vertex) : (0, ±a) dimana :
a > b > 0 dan c2 = a2 - b2
Contoh 1
Gambarkan elips dan tentukan titik focus dan puncaknya dari persamaan : 9x +16 y -144 = 0
Solusi
9x2 +16 y2 -144 = 0
2
9x2 +16 y2 = 144 9x_ 16 y2 = 144
2
144
x 2 y
— + —
144 144
2
= 1 16 9
Jadi titik api (fucus) elips : (+^7,0) dan puncak (vertex) elips : (+4,0)
a2 = 16 a = 4 b2 = 9 b = 3
c2 = a2 - b2 c2 = 16 - 9 = 7
c
= 47
(-4, 0)
Contoh 2
Solusi
c
Tentukan persamaan elips dengan titik focus (0, ±2) dan vertex (0, ±3)
c = 2 a = 3
b2 = a2 - c2 = 9 - 4 = 5
Jadi
2 2
— + = 1 atau 9x2 + 5y2 - 45 = 0
5 9
Fungsi hiperbola dengan pusat di (h, k) dan bersumbu transverse sejajar sumbu x
ax - cy + dx + ey + f = 0 o-2---2— = 1
(x -hL - (y - k )2
a2 b2
Fungsi hiperbola dengan pusat di (h, k) dan bersumbu transverse sejajar sumbu y
2 2 . , * (y - k)2 (x - h)2 1
- ax2 + cy2 + dx + ey + f = 0 o ——---= 1
2 2 x y = 1
22 a b
Transverse sejajar sumbu x,
mempunyai focus : (±c, 0), puncak (vertex) : (±a, 0), dan
b
asimtot: y = ±—x
a
dimana :
2 2 , » 2 c = a + b
2 2
—— - x— = 1 Transverse sejajar sumbu y, mempunyai focus : a b a
(0, ±c), puncak (vertex) : (0, ±a), dan asimtot: y = ±—x
dimana : c2 = a2 + b2
Contoh 1
Tentukan focus dan asimtot dari hiperbola : 9x2 -16y2 = 144
2
Solusi
9x2 -16y2 9x2 16y2
144 144
144 144 144
22 x2 y 2
16 9
= 1
Jadi: a = 4 b = 3
c2 = a2 + b2 = 16 + 9 = 25
c = ±5 Focus = (±5, 0)
3
Asimtot: y = — x
4
dan y = - — x 4
3
y = — x
4
(-4, 0)
y
3
y =—x
4
0
(4, 0)
Contoh 2
Tentukan focus dan persamaan hiperbola dengan vertex (0, ±1) dan asimtot: y = 2x
Solusi
d
a = 1 Jadi: c2 = a2 + b2
a=2 b
b=1 2
2 r 1 5
c =1+—=— 4 4
= ± ±45 2
Focus = (0,± ^S)
2
c
Persamaan hiperbola
2 2 y x
22 a b
= 1
y
2
x
2
12 (1/ 2 )2
y2 - 4x2 = 1
= 1
Fungsi parabola, direktriks sejajar sumbu x dengan vortex (pusaran) (h, k):
cy2 + dx + ey + f = 0 o (y - k)2 = 4p(x - h)
2
Fungsi parabola, direktriks sejajar sumbu y dengan vortex (pusaran) (h, k):
ax2 + dx + ey + f = 0 o (x - h)2 = 4p(y - k)
2
Fungsi parabola dengan focus (0, p) dan direktriks y = -p
x2 = 4 py
Fungsi parabola dengan focus (p, 0) dan direktriks x = -p y 2 = 4 px
Dimana p merupakan parameter parabola :
1. Jika p > 0, parabola terbuka ke atas atau ke kanan
2. Jika p 0, parabola terbuka ke bawah aau ke kiri
Contoh 1
Tentukan focus dan direktriks dari parabola : y2 +10x = 0
Solusi
y2 + 10x = 0 Jadi 4p = -10
5 2
y2 =-10x
p=
Focus : (- — ,0 ) 2
5
Direktriks : x = —
2
y F(-5/2, 0)^
0
x = 5/2
y2 + 10x = 0
Fungsi Polinomial
Fungsi polinomial dinyatakan dalam bentuk :
f (x) = a0 + a1x +... + anxn o y = a0 + a1x +... + anxn
Sifat/ bentuk fungsi polinomial (untuk nilai x positif atau negatif yang besar) ditentukan oleh derajat terbesar suku anxn .
Untuk an > 0 dan n ganjil :
a. Jika x^ ~ , maka f(x)^ ~
b. Jika x^ - maka f(x)^ - ~
Untuk an > 0 dan n genap
a. Jika x^ ~ , maka f(x)^ ~
b. Jika x^ - maka f(x)^ ~
Tipe grafik fungsi polinomial berderajat n
Contoh 1
Buat grafik fungai polinomial: f (x) = x4 dan f (x) = x4 -15x2 -15x
Contoh 2
Buat grafik fungai polinomial: f(x) = x3 dan f(x) = -x
3
f(x) = x3
I
/
/ y
f
j'
f(x) =
= - x
Fungsi Polinomial Khas
a
y
f(x) =[[x ]]
Fungsi bilangan bulat terbesar f(x) = [x]]
a
b
Fungsi nilai mutlak f(x)= x
\—i—i—?x
y
b
f(x) =
x
•-•
•-•
m-m
1-1-1-- .-1-1—?x
Fungsi Rasional
Fungsi rasional (pecah) dinyatakan dalam bentuk :
f ( X ) =
axn + bxn 1 +... + cx + d pxm + qxm-1 +... + rx + s
Untuk kasus dimana m = n bentuk fungsi rasional dapat dinyatakan sebagai
x/ x ax + b ax + b f (x) =-o y =
px + q
px + q
Ciri grafik fungsi rasional mempunyai titik-titik potong dengan sumbu koordinat dan asimtot.
1. Titik potong dengan sumbu koordinat a. Sumbu x, maka f(x) atau y = 0
b
ax + b = 0 o x = —
a
b. Sumbu y, maka x = 0
ax + b b
y =-o y = -
px + q q
koordinat titik potongnya
koordinat titik potongnya
(- a ,0) a
(0, ^) q
2. Asimtot:
a. Asimtot datar, maka x ^ ~
b
ax + b a + x a
y =-^ y = —q ^ y = -
px + q n+ q P
P +
x
b. Asimtot tegak, maka y ^ ~
ax + b ax + b y =-^ x =-^ px + q
px + q
px + q
y
x=- q p
= 0«x = -q p
a
y = -
? x p
Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial dinyatakan dalam bentuk : f(x) = bx o y = bx dimana : b > 0, 0 < y dan x £ R
Ciri grafik fungsi eksponensial :
1. Titik potong dengan sumbu koordinat:
a. Sumbu x, maka f(x) atau y = 0
y = bx o 0 = bx
Untuk b ^ 0 tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan tersebut, jadi tidak ada titik potong dengan sumbu x.
b. Sumbu y, maka x = 0
y = bx o y = b0 = 1
Untuk b ^ 0 nilai b0 = 1, jadi titik potong dengan sumbu y adalah (0, 1).
2. Asimtot:
a. Asimtot datar, maka x ^ ± ~
y = b o y = b
Untuk 0 b 1maka : y = b= 0 ^
y = b = <
Untuk b > 1, maka : y = b = <
y = b = 0
y Jadi asimtot datarnya
y = 0
±~
b. Asimtot tegak, maka y ^ ±
y = bx o± = bx Untk 0 b 1 maka: + = bx o x= -< ^
-= bx o x = ttd
Untuk b > 1, maka : + < = bx o x = +
-= bx o x = ttd
y Jadi asimtot tegaknya tidak ada
3. Titik-titik pada grafik fungsi eksponensial :
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
y ... 1/b3 1/b2 1/b 1 b b2 b3 .
3. Grafik fungsi eksponensial :
Grafik y = bx Grafik y = -bx
Contoh
Buat grafik fungsi eksponensial
r r v
1) y =
j
, grafik merah
2) y = lx, grafik hitam
3) y =
\2j
, grafik biru
4) y =
\2j
,grafik hijau
b=1/2
b=3/2
b=5/2
b=1
Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponensial, dinyatakan dalam bentuk:
f(x) =b log x o y =b log x o x = by Ciri grafik fungsi logaritma :
1. Titik potong dengan sumbu koordinat:
a. Sumbu x, maka f(x) atau y = 0
y =b log x o 0 =b log x o x = 1
Nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah 1, jadi titik potong dengan sumbu x adalah (1, 0).
b. Sumbu y, maka x = 0
y =b logx o y =b log0 o y = ttd
Nilai y yang memenuhi persamaan tersebut tidak ada, jadi titik potong dengan sumbu y tidak ada.
2. Asimtot:
a. Asimtot datar, maka x ^ ± ~
y =b log x o y =b log±<
Untuk x = +«, maka :y =b log+< o y
b
= <
Untuk x = maka : y =b log- o y = ttd b. Asimtot tega, maka y ^ ± ~
y =b log x o ±< =b log x
Untuk y = +«, maka : +< =b logx o x =
Untuk y = -«, maka : -< =b logx o x = 0
Jadi asimtot datarnya tidak ada :
Jadi asimtot tegaknya adalah x = 0
3. Titik-titik pada grafik fungsi logaritmal
x . . . 1/b3 1/b2 1/b 1 b b2 b3 ...
y ... -3 -2 -1 0 1 2 3 .
4. Grafik fungsi logaritma y
Grafik fungsi y =b logx
Grafik fungsi y = -(blogx)
Contoh
Buat grafik fungsi logaritma : y =2 logx dan y =1/2 logx
y =2 logx
y =12 logx
Fungsi Trigonometri
Fungsi trigonometri adalah fungsi yang didasarkan pada ukuran sudut (x) dan dinyatakan :
a. f(x) = sin(x) ^ y = sin(x) d. f(x) = sec(x) ^ y = sec(x)
b. f(x) = cos(x) ^ y = cos(x) e. f(x) = csc(x) ^ y = csc(x)
c. f(x) = tan(x) ^ y = tan(x) f. f(x) = cot(x) ^ y = cot(x)
Nilai-nilai fungsi trigonometri berulang setiap kelipatan sudut 2n karena itu fungsi trigonometri disebut fungsi periodik
Grafik fungsi trigonometri :
f (x) = sin( x) f(x) = cos( x)
y
y
x
-0. -1 -1.5
f (x) = sin(x) ^ y = sin(x)
x
f (x) = cos(x) ^ y = cos(x)
5 4 3 2 1 0 0 y ? X
7 -5 -3 -1 -1 -2 -3 -4 -5 1 3 57
y
x
7 -7
-5
0 -1 -1 -2 -3 -4 -5
x
57
f (x) = tan(x) ^ y = tan(x)
f (x) = sec(x) ^ y = sec(x)
1
f (x) = csc(x) ^ y = csc(x) f (x) = cot(x) ^ y = cot(x)
Contoh 1
Contoh 2
Buat grafik fungsi trigonometri: f(x) = xx sin dan interval -0.01 < x 0.01
v x J
untuk interval -0.1 < x 0.1
f (x) = xx sin
r L ^
vx
f (x) = xx sin
v x J
-0.1 x 0.
-0.01 x .1
Contoh 3 Buat grafik fungsi trigonometri
y =6 sin t
y = o + suit
V = sin(i -+- y)
Contoh 4
Buat grafik fungsi trigonometri : f(x) = A sin(x)
Slide Matematika dan slide-slide lainnya yang ada di Site SmartStat dapat dipelajari pada tautan di bawah ini:
Daftar Slide Matematika
Daftar Seluruh Slide
Slide lainnya bisa Anda download :di sini