Topik Bahasan:
- Definisi Invers Matriks;
- Teknik Menentukan Invers;
- Metode Subtitusi;
- Metode Partisi Matriks;
- Metode Matriks Adjoint;
- Metode Eliminasi Gauss-Jordan;
- Metode Perkalian Matriks Invers Elementer
Slide: Invers Matriks selengkapnya bisa Anda pelajari pada konten di bawah ini.
Slide: Invers Matriks
Dr. Ruminta
Transcript
Definisi Invers Matriks
Jika A adalah matriks ukuran n*n. Jika ada matriks B ukuran n*n sedemikian rupa sehingga :
AB = BA = I
di mana I adalah matriks identitas ukuran n*n, maka matriks A disebut non singular atau invertibeidan matriks B disebut invers dari A.
Jika matriks A tidak mempunyai invers, maka A disebut matriks singular atau non invertibei.
Notasi matriks invers : A-
1
AB = BA = I« AA= A"1 A = I
A
a,, a
11 12
a21 a22
a«1 a« 2
B=A
-1
a
1n
a
2 n
a
nn
A
-1
a11 a12
a21 a22
an1 an 2
a
1n
a
2n
a
nn
1 0
0 1
• •
• • • •
00
0 0
1
A
a11 a12 a21 a22
an1 an2
-1
a
1n
a
2n
a
nn
A
aa
11 12
a21 a22
an1 an2
a
1n
a
2n
a
nn
10 01
0 0
0 0 ••• 1
Teknik Menentukan Invers
Ada lima metode :
1. Metode Subtitusi
2. Metode Partisi Matriks
3. Metode Matriks Adjoint
4. Metode Eliminasi Gauss-Jordan
5. Metode Perkalian Matriks Elementer
Metode Subtitusi
A
A
a
11
a
12
a
1n
a21 a22
an1 an2
a
2n
a
nn
a11 a12
a21 a22
an1 an 2
a
1n
a
2n
a
nn
1 0 0 1
0 0
0 0 l 1
Dari persamaan matriks tersebut diperoleh sebaiyak n2 persamaai simultan :
a11a11 + a12a21 + ••• + a1nan1 = 1
a11a12 + a12a22 + ••• + a1nan 2 = 0
a21a11 + a22a21 + ••• + a2 nan1 = 0 a21a12 + a22a22 + ••• + a2 nan 2 = 1
+
+ ... +
+
+ ... +
an1a11 + an 2a21 + ... + annan1 = 0 an1a12 + an 2a22 + + annan 2 = 0
a11a1n + a12a2 n + ••• + a1n«nn = 0
a21a1n + a22a2 n + ••• + a2 n®nn = 0 • • • •
• + * + + * = *
• ? • I • • • I • •
a .a + a 2a2 +... + a a = 1 1 1 2 2
Dari n2 persamaan simultan tersebut dapat diselesaikan secara subtitusi sehingga diperoleh elemen matriks invers.
A-1 =
a11 a12
a21 a22
a
1n
a
2n
an1 an2
a
nn
Contoh 1.
Tentukan invers dari matriks berikut:
"2 3 2 "2 3 2" a11 a12 a13 "1 0 0
A = 2 2 1 2 2 1 a21 a22 a23 — 0 1 0
1 2 2 1 2 2 _a31 a32 a33 _ 0 0 1
A A-1 =
2a11 + 3a21 + 2a31 = 1 2a11 + 2a21 + a31 = 0 a11 + 2a21 + 2a31 = 0
2a12 + 3a22 + 2a32 = 0
2a12 I 2a22 + ^^32 1 a12 + 2a 22 + 2a 32 = 0
2a13 + 3a23 + 2a33 = 0
I 2a23 I a33 0 a13 I 2a 23 I 2a 33 = 1
a21 I a31 1 a21 + a31 = 1 2a11 + 3a21 + 2a31 — 1
a21 2a31 1 a21 + (-2) — 1 2a11 + 3(3) + 2(-2) — 1
a31 2 / a31 2 a21 — 3 2a11 — 1 - 5 — -4 ^a11 —-2
cc 22 + — 1 + 1 + + 2a^2 — 0
- a22 - 2a32 — 0 a22 + (1) — -1 2a12 + 3(-2) + 2(1) — 0
- a32 — -1 ^ a32 — 1 a22 — -2 2a12 — 0 + 4 — 4 ^ a12 — 2
a23 + a33 0
cc^ 2a33 2
a23 + a33 0
2a13 + 3a23 + 2a33 — 0
a23 + (2) — 0 2a13 + 3(-2) + 2(2) — 0
a 33 — 2 / a 33 — 2 ^^23 2
2a13 — 0 + 2 — 2 ^ a13 — 1
2 3 2 — 2 2 1
Jadi A — 2 2 1 A"1 — 3 -2 - 2
1 2 2 — 2 1 2
"2 3 2" "- 2 2 1 " "1 0 0"
Bukti 2 2 1 3 -2 - 2 — 0 1 0
1 2 2 - 2 1 2 0 0 1
Contoh 2.
Tentukan invers dari matriks berikut:
A —
1 4
2 5
3
4
1 - 3 - 2
1 4
2 5
3
4
1 - 3 - 2 A
a11 a12 a13 "1 0 0
a 21 a 22 a23 — 0 1 0
a31 a32 a33 _ 0 0 1
A-1 = 1
a11 + 4a21 + 3a31 — 1 2a11 + 5a21 + 4a31 — 0 aacn 3 a21 ^^31 0
^^12 I 4a22 I 3a32
2a12 I 5a22 I 4 1
^^12 3a22 ^^32
a 13 I 4a23 I 3a33 0 2a1315a2314a33 — 0
a13 - 3a23 - 2a33 — 1
3a21 I 21 3a21 I 21 a11 14a2113a31 — 1
7a2115a31 — 1 3(8) 12a31 — 2 a11 14(8) 13(—11) — 1
a21 — 8 a21 — 8 2a31 — -22 ^ a31 — -11 a11 — 111 — 2 ^ a11 — 2
3a22 ^^ 2a32 — 1 3^^22 ^^ 2^^32 1 ^^12 ^^ 4^^22 ^^ 3^^32 — 0 1
7a22 + 5a32 — 0 3(-5) + 2a32 — -1 a12 + 4(-5) + 3(7) — 0 j
a22 — -5 ^ a22 — -5 2a32 —14 ^ a32 — 7 a12 — 0 -1 — -1 ^ a12 — -1!
3a23 + 2a33 — 0 3a23 + 2a33 — 0 a13 + 4a23 + 3a33 — 0
7a23 + 5a33 — -1 3(2) + 2a33 — 0
a23 — 2 ^ a23 — 2 2a33 — -6 ^ a33 — -3 a13 — 0 +1 — 1 ^ a13 — 1
1 4 3 "2 -1 1
Jadi A — 2 5 4 A"1 — 8 -5 2
1 -3 - 2 -11 7 - 3
"1 4 3 " " 2 -1 1 " "1 00
Bukti 2 5 4 8 - 5 2 — 0 10
1 -3 - 2 -11 7 - 3 0 01
Contoh 3.
Tentukan invers dari matriks berikut:
1 2 1
1 3 4
2 4 1
A
A —
1 2 1
1 3 4
2 4 1
a11 a12 a13 1 0 0
a21 a22 a23 — 0 1 0
a31 a32 a33 _ 0 0 1
A-1 =
0^11 I 2a21 I a31 1
an I 3 a21 I 4 ^^31 —0
2an I 4a21 I ^^31 —0
6^12 I 2^22 I 00
6^12 I 3^22 I 4 1
2a12 + 4a22 + a32 = 0
a^ I ^^23 I a^^ 00 a^ I 3a23 I 4 ^^33 0 I 4a23 I 1
^^21 3a31 1 -a21 - 3a31 = 1 a11 12a21 Ia31 — 1
a31 — 2 -a21 - 3(2) — 1 a11 12(-7) 12 — 1
a31 21 ^ a31 21 -a21 — 7 ^ a21 — -7 a11 — 1112 —13 —13
cc22 3a32 — 1 aa^22 3a32 1 a12 i 2^^22 I a32 — 0
a32 — 0 -a22 - 3(0) —-1 a12 + 2(1) + 0 — 0
a32 — 0 ^ a32 — 0 - a22 — -1 ^ a22 — 1 a12 — 0 - 2 — -2 ^ a12 — -2
a23 3 a33 — 0 a23 3 ^^33 0 ^^13 + 2^^23 + ^^33 — 0
a33 —-1 -a23 - 3(-1) — 0 a13 + 2(3) -1 — 0
a33 — 1 / ^^33 — 1 a23 3 / a23 3 ^^13 — 0 5 — 5 / ^^13 — 5
"1 2 1 "13 -2 - 5
Jadi A— 1 3 4 A"1 — - 7 1 3
2 4 1 2 0 -1
"1 2 1" "13 -2 - 5" "1 0 0"
Bukti 1 3 4 - 7 1 3 — 0 1 0
2 4 1 2 0 - 1 0 0 1
Metoda Partisi Matriks
Mencari invers matriks dengan cara mempartisi matriks menjadi beberapa sub matriks.
A =
a11 a12 a13 a14
a 21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
_ a41 a42 a43 a44
^ A =
r An A12
_ A21 A22 _
Ajj, AJ2, A21, dan A22 adalah sub matriks A.
Di mana : An =
22
A21 =
a11 a12 , A12 = a13 a14
_ a21 a22 _ _a23 a24 _
a31 a32 , A22 = a33 a34
a41 a42 a43 a44
Invers dari matriks partisi A adalah B, (B=A-1)
A =
nxm
q ' An A12
n - q A21 A22
B =
mxk
P
m - p
' B11 B12
_ B21 B22 _
P
m - p
k-l
AB = I
" An A12 * B11 B12 'Ip 0 "
_ A21 A22 _ _ B21 B22 _ _ 0 In-p _
AB =
A11B11 + A12 B 21 A11B12 + A12 B 22 A21B11 + A22 B 21 A21B12 + A22 B 22
P p x(n - p )
(n - p )x p n p
Perkalian matriks tersebut menghasilkan persamaan sub matriks simultan :
An Bu + A12 B21 = I (1)
A11B12 + A12 B22 = 0 (2)
A21 Bn + A22 B21 = 0 (3) A21B12 + A22 B22 = 1 ( 4)
Penyelesaian ke-4 persamaan sub matriks simultan : Dari pers. (1) An + A12 B1X B- = B-
Dari pers. (3) A221 A21 + B21B- = 0 atau B21B- = - A-1A
21 11
21 11
22 21
Karena
maka
A11 A12 A22A21 = B11
B22 =
A - A A~l A
22 ^21^11 ^12
atau
A- AA B
22 22 21 12
-1
Dari A2 jB11 + A22 B2 j = 0 ( 3 ) dan A- A21B11 + B21 = 0
Maka B12 = - A111 A12B22 atau
B = - B A A_1
12
B = - A_1 A B
21 22 21 11
Jadi A-!= B —
p
n - p
B B
11
12
B^ B
21
p
di mana B11 =
A - A A~l A
^11 12 22 21
22
n - p
-1
B22 A22 A22 A21B12
-1
B„ =
12
- BAA_1
B — - A_1 A B
21 22 21 11
atau
A-1 —
A11 A12 A221 A21 ) ( B11A12 A221 ) ( A22 A21B11 )
A~X - A- A B
22 22 21 12
-1
Contoh 1.
Tentukan invers matriks berikut:
"2 3 2"
A = 2 2 1
1 2 2
" An A12
_ A21 A22 _
An =[2j A12 =[3 2]
"2" "2 1"
A21 = 1 , A22 = 2 2
A- =
(A11 A12 A2>21 A21) ( B11A12 A2>21) (- A22A21B11 ) ((A22 - A22 A21B12 ).
A22 =
2 1 2 2
det A22 = 4-2 = 2, kofaktor matriks A22 : K11 = 2, K12 = -2,
K21 =-1, K22 = 2
22
K =
" Kn K12 " 2 - 2" ^ Kt = " 2 -1"
_K21 K22 _ -1 2 - 2 2
= Adj (A22)
A- =
22 _
AdAi) 0 A-1
det (A12 ) 22
A12 A22 A21 — [3 2]
1. B„ —
11
1 - 1
A - A A"1 A
^11 12 22 21
—1 2
— 2 - 2 2
-1 * 2"
2 —
1 1
-1
1
-1 1
/
[2]
V
l!
2
21
2
\
J
-1 f p-1
r
2. B10 —
12
- B A A — -
^11 ^12 ^22 _
[- 2l3 2]
V
1 -1/2 -1
1
v 2 j
—[2
—[- 2]
1]
3 B21 — -A22A21B11 —
-1
1
-1 1
2 1
[- 2] —
J
3 - 2
4 B22 — A22 A22A21B12 —
1
- 1
1
-1
1
1 -1
-1 1
" 3 3/'
3 / 2
- 2 -1
2 1
[2 1]
- 2 - 2" 1 2
Jadi
A- —
1 = B12
B21 B22
- 2 2 1 - 2 2 1
3 - 2 - 2 — 3 - 2 - 2
- 2 1 2 - 2 1 2
Contoh 2.
Tentukan invers matriks berikut:
An = [1], A12 =[4 3]
"1 4 3 1
A — 2 5 4
1 -3 - 2
" A11 A12
_ A21 A22 _
A21 =
2 1
" 5 4 1
, A22 = _- 3 - 2_
1
A- -
(A11 A12 A22 A21) ( B11A12 A22 ) (- A22A21B11 ) (aA22 - A22 A21B12 )
A. =
22
5 4 -3 -2
det A22 = -10 +12 = 2, kofaktor matriks A22 : Kn
= -2, K„ -
12
K21 = -4, K22
3, 5
K =
" K11 K12 "- 2 3" ^ Kt - "- 2 - 4"
K21 K22 _ - 4 5 _ 3 5 _
= Adj (A22)
A- -
Adj(A22 ) det (A22)
^ A-1 - —
22
1 "- 2 - 4" "-1 - 2"
2 3 5 3/2 5/2
A12A22A21 - [ 3]
-1 - 2 3/2 5/2
[2" " 1"
[1 _ 2 _
A11 A12 A2>2> A21 - [1]
" 1" " 1"
_ 2 _ _ 2 _
(A11 A12 A22 A21 ) -
1 2
-1
-[2]
1. Bn = (au AuA22 a21 ) - [2]
2. B12 =- B11A12 A- --[2][4 3]
-1 - 2
= [-1 1]
3. B21 = a- AH B11 =
1 - 2" "2"
3/ 5/ _/2 /2 _ 1
[2] =
8 -11
4. B22 AH A22 A21B12
(-1
Jadi
A-1 =
" B" B11
_B21 B22 _
"-1 - 2" "-1 - 2" "2"
V 5/ _/2 /2 _ V V _/2 /2 _ 1
-1 - 2
[-1 1]
4
-4
- 'X %
- 5 7
" 2 -1 1 " " 2 -1 1
8 - 5 2 — 8 -5 2
-11 7 - 3 -11 7 -3
2
-3
Contoh 3.
Tentukan invers matriks berikut:
A —
0 1 2 2
1 1 2 3
2 2 2 3
2 3 3 3
r An A12
_ A21 A22 _
A11 =
Ai —
21
A"1 —
(A11 A12 A2 A21) ( B11A12 A22 ) (- A22A21B11 ) (A22 - A22A21B12 ).
A22 =
2 3 33
0 1 2 2
1 1 A12 — 2 3
2 2" "2 3
2 3 , A22 — 3 3
det A22 — 6-3 — -3, kofaktor matriks An : Kn — 3, K12 —-3
11
11
-12
K21 — -3, K22 — 2
K— " Kn K12 " 3 - 3" ^ Kt — " 3 - 3"
K21 K22 _- 3 2 _ _- 3 2 _
— Adj (A22)
A-1 =
22
Adj(A22 ) det (A22)
A-1 =
1
22
- 3
3 - 3 - 3 2
A A- A = 12 22 21 _
"2 2" 1 "3 - 3" "2 2" 1 "4 6"
2 3_ - 3 - 3 2 2 3_ =3 6 6_
A - A a"1 A =
^11 12 22 21
"0 1" -1 -3 "4 6" 1 "- 4 - 3" 4 - 1l 3
1 1 6 6_ = 3 _-3 - 3_ - 1 - 1
det (at A12 A221 A21) = |-1 = 3 kofaktor matriks A221 A21):
K11 =-1, K12 = 1 K21 = 1, K22 =
12
21
22
-4
K =
-1 1
1 -4/3
» Kt =
-1 1 1 -4 3
= Adj ( A11-A12 A22 A21)
(-A11-A12 A22 A21 ) =
1 -1 1 -1 1 -3 3
_ 1 - 4/3_ = 3 _ 1 -4/3_ =
13 _ 3 -4_
1. B„ =
(A11 - A12A22A21 )
2. B12 = -B11A12 A22 =
-3
3
1
3. B21 = -A22A21B11 = 3
22
-1 _ A -1A B
22 22 21 21
"- 3 3 "
_ 3 -4
3 " "2 2 1 " -3 3" -3 2"
- 4 2 3 3 _ 3 - 2 4 - 2
- 3 3 " "2 2" "- 3 3" "- 3 4"
3 - 2 2 3_ _ 3 - 4 2 - 2
1 "- 3 3 " -1 "- 3 3" "2 2" "-3 2
3 3 -2 -3 3 - 2 2 3 4 -2
-1 1
1
-2
-1 1
1 - 4
- 5 3
3
-2
Jadi
A- =
- 3 3 -3 2 - 3 3 -3 2
B12 3 - 4 4 - 2 3 -4 4 -2
B21 B22 _ - 3 4 - 5 3 - 3 4 -5 3
2 -2 3 - 2 2 -2 3 -2
Metode Matriks Adjoint
Jika A adalah matriks ukuran n*n. Kofaktor (K) dari matriks A :
' K11 K12 • • • K ^
K = K 21 • • • K 22 •K JV2 n • • • di mana, Kj = (-1)1+J M„ V V
v Kn1 Kn 2 • Knn y
Transpose dari matriks kofaktor (K) disebut matriks Adjoint A dinyatakan : Adj A
r Ku K12 • • • K T r k„ K 21 • • • K ^
Adj A = Kt = K 21 • • • K22 •K JV2 n • • • = K12 • • • K22 •K Jvn 2 • • •
v Kn1 Kn 2 • " Knn y v K1n K 2 n • " Knn y
Invers matriks dapat ditentukan dari matriks Adjoint (Ajd). Jika A adalah matriks ukuran n*n
dan det A^Q, maka :
r
A"1 =
r 1
\
V
det A
Adj A =
r 1
\
j
V
det A
j
K„ K
11
?12
V K1n
21
KK
22
K
2n
K
\
n1
K
2n
K
nn j
A"1 =
r Ku K 21 Knl >
det A K12 det A K 22 det A K 2 n
det A • • det A det A • •
• K1n K 2 n • Knn
V det A det A det A j
Contoh 1.
Tentukan inverse matriks berikut,
A =
2 3 2 2 2 1 1 2 2
Kn = (-1)
Kn = (-1)
Ku = (-1)
K 2! = (-1)3
K 22 = (-1)
2 1 2 2
21 12
22 12
3 2 22
22 12
= 4 - 2 = 2
K 23 = (-1)
= -(4 -1) = -3 K31 = (-1)
= (4 - 2) = 2 K32 = (-1)
= -(6 - 4) = -2 K33 = (-1)
= 4 - 2 = 2
23 12
32 21
22 21
23 22
= -(4 - 3) = -1
= 3 - 4 = -1
= -(2 - 4) = 2
= 4 - 6 = -2
det A = a11 K11 + a12 k12 + a13 k13 = 2(2) + 3(-3) + 2(2) = -1
4
5
6
K =
2-3 2 -2 2 -1 -1 2 -2
AdjA = K
T
( 1 ^ l-u
Adj A = -
2 -2 -1 -3 2 2 2 -1 -2
Jadi /T1 =
-2 2 1 3 -2 -2 -2 1 2
Buk+i : AAX=I
2 3 2 2 2 1 1 2 2
-2
-2
2 -2 -1 -3 2 2 2 -1 -2
2 2 1 * 3 -2 -2 2 1 2
2 1 1 0 0
-2 -2 — 0 1 0
1 2 0 0 1
Contoh 2.
Tentukan inverse matriks berikut,
1 4
A =
2 5 4
K,, = (-1)
K12 = ("I)3
K13 = ("1)
*21 = ("1):
K22 = ("1)'
3
4
- 2
5 4
-3 - 2
2 4
1 -2
2 5
1 -3
4 3
-3 - 2
1 3
1 2
= -10 +12 = 2
= -(-4 - 4) = 8
= (-6 - 5) = -11
= -(-8 + 9) = -1
= -2 - 3 = -5
K 23 = (-1)
K 3! = (-1)
K 32 = (-1)
K33 = (-1)
14
1- 3
43
54
13
24
14
25
= -(-3 - 4) = 7
= 16 -15 = 1
= -(4 - 6) = 2
= 5 - 8 = -3
det A — an K11 + a12 K12 + a13 K13 — 1(2) + 4(8) + 3(-11) = 1
2 8 -11 2 -1 1
K — -1 - 5 7 Adj A = Kt — 8 - 5 2
1 2 - 3 -11 7 -3
A- —
1 >| v 1,
Adj A =
2 8 -11
-1 -5 7
1
2
-3
Jadi A"1 =
2 -1 1 8 - 5 2 -11 7 -3
1 4 3 2 -1 1 1 0 0
Bukti : AA- = I 2 5 4 8 -5 2 — 0 1 0
1 -3 - 2 -11 7 - 3 0 0 1
Contoh 3.
Tentukan inverse matriks berikut,
A =
0 1 2 2 1 2 3
1 1 2 3 K,1 = (-1)2 2 2 3 = (6 +18 +18) - (18 + 9 +12) = 3
3 3 3
2 2 2 3 1 2 3
2 3 3 3 k12 = (-1)3 2 2 3 = -((6 +12 +18) - (12 + 9 +12)) = -3
K13 = (-1)
K14 = (-1)5
2 3 3 1 1 3 223 233 1 1 2 222
= (6 + 6 +18) - (12 + 9 + 6) = 3
K 21 = (-1)
2 1
2 3
33 22 23 33
= -((6 + 4 +12) - (8 + 6 + 6)) = -2
= -((6 +18 +12) - (12 + 9 +12)) = -3
0 2 2
K 22 = (- 1)4 2 2 3 = (0 +12 +12) - (8 + 0 +12) = 4
2 3 3 0 2 2
K 32 = (- 1)5 1 2 3 = -((0 +12 + 6) - (8 + 0 + 6))
2 3 3
0 1 2
K 23 = (- -1)5 2 2 3 = -((0 + 6 +12) - (8 + 0 + 6)) = - -4
2 3 3 0 1 2
K 33 = (- 1)6 1 1 3 = (0 + 6 + 6) - (4 + 0 + 3) = 5
0 1 2 2 3 3
K 24 = (- -1)6 2 2 2 = (0 + 4 +12) - (8 + 0 + 6) = 2
2 3 3 0 1 2
K 34 = (- 1)7 1 1 2 = -((0 + 4 + 6) - (4 + 0 + 3)) =
2 3 3
= -4
K 3! = (-1)
1 2 2 1 2 3 3 3 3
= -3
(6 +18 + 6) - (12 + 9 + 6) = 3
K 41 = (-1)
1 2 2 1 2 3 223
-((6 +12 + 4) - (8 + 6 + 6)) = -2
4
5
K 42 = ("I)
0 2 2
1 2 3
2 2 3
K 43 = (-1)
= (0 +12 + 4) - (8 + 0 + 6) = 2
0 1 2 1 1 3 223
0 1 2
K 44 = (-1)8 1 1 2
2 2 2
(4 + 0 + 3)) -3
= (0 + 4 + 4) - (4 + 0 + 2) = 2
det A = an Kn + an Kn + au K^ + a^ K^ = 0(3) +1(-3) + 2(3) + 2(-2) = -1
K =
3 -3 3 -2
- 3 4 -4 2
3 -4 5 -3
- 2 2 -3 2
Adj A = Kt =
3 -3 3 -2
-3 4 -4 2
3 -4 5 -3
-2 2 -3 2
a"1 =
1
(
y det A
A
)
Adj A =
1
y-1)
Jadi
3 - 3 3
-3 4 -4
3 - 4 5
-2 2 -3
A4 =
- 3 3 - 3 2 3 - 4 4 - 2
- 3 4 - 5 3 2 -2 3 -2
Bukti :
-2 2
-3 2
-3 3
-3 2
3
-4
4 -2
-3 4
-5 3
0 1 2 2 - 3 3 -3 2 1 0 0 0
1 1 2 3 3 -4 4 - 2 0 1 0 0
2 2 2 3 - 3 4 -5 3 0 0 1 0
2 3 3 3 2 -2 3 - 2 0 0 0 1
2 -2 3 -2
Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Jika A adalah matriks ukuran n*n. Eliminasi Gauss-Jordan terhadap matriks ekstensi A akan menghasilkan invers matriks A.
Matriks ekstensi (augmented matrix) A adalah matriks yang dibentuk dengan meletakan matriks identitas (I) di sebelah kanan matriks A :
r
a11 a12
a21 a22
Van1 an2
a
1n
a
2n
AI v 1 0 0 1
0 ^ 0
ann A 0 0 ••• 1 y
a11 a12
a21 a22
an1 an2
AI
a
1n
a
2n
a
10 01
nn
0 0
0 0 ••• 1
Eliminasi Gauss-Jordan terhadap matriks ekstensi A
AI
I
A
-1
a11 a12 a21 a22
an1 an 2
a
1n
a
2 n
a
1 0
0 1
nn
00
0 0
1
10 01
Eliminasi Gauss-Jordan
0 0
0 0 l 1
l11 i12 i21 a22
in1 in2
1n
2n
nn
A-1 =
*11 Z12
*21 l22
in1 in2
l1n
v2 n
nn
Di mana idj adalah enrti matriks invers yang berasal dari aijd setelah mengalami beberapa kali operasi baris elementer.
Contoh 1.
Tentukan inverse matriks berikut,
2 3 2 2 3 2 1 0 0
A = 2 2 1 AI= 2 2 1 0 1 0
1 2 2 1 2 2 0 0 1
"2 3 2 1 0 0" 2 2 10 10 1 2 2 0 0 1
b21(-1) b,i(-1/2)
2 3 2 1 0 0 0 -1 -1 -1 10 0 0.5 1 - 0.5 0 1
2 0 -1 -2 3 0 b13(2) 2 0 0 - 4 4 2
0 -1 -1 -1 1 0 0 -1 0 -3 2 2
0 0 0.5 -1 0.5 1 b23(2) 0 0 0.5 -1 0.5 1
b12(3)
b32(1/2)
bi(1/2) b2(-1)
b3(2)
2 0 0 -4 4 2 0-10-322 0 0 0.5 -1 0.5 1
M1/2) b2(-i)
b3(2)
Jadi A~' =
-2 2 1 3 -2 -2
-2 1
2 3 2
-2
Bukti : AAT1 = /
2 2 1
1 2 2
-2
1 0 0 j-2 2 1 0 1 0 | 3 -2-2 0 0 11-21 2
2 1 " "1 0 0"
-2 -2 — 0 1 0
1 2 0 0 1
Contoh 2.
Tentukan inverse matriks berikut,
A =
1 4 3
2 5 4 1 - 3 - 2
l"1 4
2 5
0 - 3 0 0
AI=
14 3 10 0 2 5 4 0 1 0 1 -3 - 2 0 0 1
3 10 0
4 0 10
1 - 3 - 2 0 0 1
1 0
M-2)
1
- 7
bsi(-l)
0 0 1
bi3(l)
b2,(-6)
1 0 0
14 3 10 0 0 - 3 - 2 - 2 10
0 - 7 - 5 -10 1
bi2(4/3) b32(-7/3)
2 -1
1
0 -3 0 -24 15 -6
00
1/ - 7/ 3 3 3
1
1 0
0 - 3 00
0
2
0 - 24
-1 15
1/ iy -7/
3 3 3
1 b2(-1/3) 1 0 0 2 -1 1
- 6 0 1 0 8 -5 2
1 b3(-3) 0 0 1 -11 7 -3
Jadi A"1 =
2 -1 1 8 - 5 2 -11 7 -3
"1 4 3 " " 2 -1 1 " "1 0 0"
Bukti : AA- = I o 2 5 4 8 -5 2 — 0 1 0
1 -3 - 2 -11 7 - 3 0 0 1
Contoh 3.
Tentukan invers dari matriks berikut:
A =
2 1 2 1
4 1 2 2
12 2 2
2 1 1 2
^ AI=
2 1 2 1 1 0 0 0
4 1 2 2 0 1 0 0
1 2 2 2 0 0 1 0
2 1 1 2 0 0 0 1
2 12 110 0 0
4 1 2 2 0 1 0 0
1 2 2 2 0 0 1 0
2 1 1 2 0 0 0 1
b2i(-2)
b3i(-i/2) b4i(-l)
2 1 2 1
1 0 0 0
0 -1 - 2 0 - 2 10 0 0 1.5 1 1.5 - 0.5 0 1 0 0 0 -1 1 -1 0 0 1
1.
1.
2 12 1 1 0 0 0 0 -1 - 2 0 - 2 10 0 0 1.5 1 1.5 - 0.5 0 1 0
0 0 -11 2 0 0 1
b12(1)
—
b32(1.5)
-1 0 0 1 -1 10 0
0 -1 - 2 0 - 2 10 0
0 0 -2 1.5 -3.5 1.5 1 0 0 0 -1 1 -1 0 0 1
b23(-1) —
M-0.5)
2 0 0 1 -1 1 0 0 b14(-4)
0 -1 0 -1.5 1.5 -0.5 -1 0 b24(6)
0 0 -2 1.5 -3.5 1.5 1 0 -^ b34(-6)
0 0 0 0.25 0.75 -0.75 -0.5 1
4.
5.
2 0 0 0 -4 4 2 - 4 b1(0.5)
0 -1 0 0 6 -5 -4 6 b2(-1)
0 0 -2 0 - 8 6 4 - 6 -^ bs(-0.5)
0 0 0 0.25 0.75 - 0.75 -0.5 1 b4(4)
"1 0 00 -2 2 1 - 2"
0 1 00 - 6 5 4 - 6
0 0 1 0 4 -3 -2 3
0 0 01 3 "- 2 -3 2 -2 1 4 - 2"
Jadi A- = - 6 4 3 5 -3 -3 4 -2 -2 - 6 3 4
Contoh 4.
r
Hitung invers dari matriks : A =
O 0
0 3
0 5
5
17/
0
11 0
0\ X b2
0 1 >5b3
0 1
y
V
V
1 0 1 0 1 5 0 0 1
30
0 01
>3 >3 0
1/ _ 1/ 1/ .
/6 /3 /5 y
30 b3
10 01 0 1 %
f 0 12 0 1 V0 0 1
0
13 13
\
2 0 1 _ 2 3 4
V-5 5 6y
f 2 0 1 1 0 0 > >2 b f 1 0 1 2 12 0 0^
_ 2 3 4 0 1 0 _ 2 3 4 0 1 0
V_ 5 5 6 0 0 1y V_ 5 5 6 0 0 1y
2bl + b2 5b, + b3
01 0
b2 +b3
1 2 0 1 5y
12 0 01 _ Xbs + b _ 53 b3 +b2
13 1 3 0
5 _ 10 6y
r 1 0 0 - 2 5 - 31 r- 2 5 - 3!
0 1 0 - 8 17 -10 Jadi A-1 = - 8 17 -10
v 0 0 1 5 -10 6 , v 5 -10 6 ,
Contoh 5. Hitung invers dari matriks :
A =
0 1 4
1 2 0 3 3 8
[ A I ] =
Jadi A"1 =
0 1 2 10 0
1 0 3 0 1 0
4 - 3 8 0 0 1
1 0 3 0 1 0
0 12 10 0
0 - 3 - 4 0 - 4 1
1 0 3 0 1 0 0 1 2 1 0 0
0 0 1 3/2 - 2 1/2
- 9/2 7 - 3/2
- 2 4 -1 3/2 -2 1/2
3 0 1 0 2 1 0 0
10 01
4 -3 8 0 0 1
1 0 3 0 1 0
0 1 2 1 0 0
0 0 2 3 - 4 1
1 0 0 - 9/2 7 - 3/2"
0 10 - 2 4 -1
0 0 13/2 - 2 1/2
Metode Perkalian Matriks Invers Elementer
Jika A adalah matriks ukuran n*n. Perkalian matriks invers elementer (E) dapat menghasilkan invers matriks A.
(EnEn-1 En_2 E3E2E, )A = I
Di mana :
I = matriks identitas
A-1 = EnEn_1 En_2 l E3E2E1 ^ Invers Matriks A Et = matriks invers elementer
Et diperoleh dari transformasi matriks identitas :
E =
1 0 • 0 1 •
N, N ,
0 0 ... Nu
0 0 L Nu
Misalnya : nilai E untuk matriks ukuran 4*4.
0 0
0
^ matriks identitas (I) di mana kolom ke - i diganti oleh Nk t
E =
E =
N11 0 0 0
N21 1 0 0
N31 0 1 0
N4, 0 0 1
1 0 N,3 0
0 1 N23 0
0 0 N33 0
0 0 N43 1
E =
E =
'4
1 n12 0 0
0 N22 0 0
0 N32 1 0
0 N42 0 1
1 0 0 N,4
0 1 0 N24
0 0 1 N34
0 0 0 N44
1
N
k .i
a
1.i
a
— a
2.i
a
a
a
i.i
Nki = Normalitas vektor kolom ke-i
Misalnya : nilai Nki untuk matriks ukuran 4*4
" 1 " a1.2 a1.3
a(i —1).i ai.i a1.1 a2.2 a33
1 — a2.1 > — a2.3
a ? i.i a1.1 a2.2 a33
a(i+1).i Nk.1 = Nk.2 = ^-- Nk.3 =
ai.i i.i — a3.1 — a3.2 1
; a1.1 a2.2 a3.3
a( «—1).i ai.i i.i — a4.1 a1.1 — a4.2 a2.2 — a4.3 a3.3
N, =
k .4
- a
1.4
a
4.4
-a
2.4
a
4.4
-a
3.4
a
4.4
Nilai au diperoleh dari :
ak i = (Fi-1 )-1 A = Et-1 Et -2 " • E2 E1 IAi, untuk i > 2 dan I = matriks identitas
ak.i = [a1.i' a2.i' " '' ai.i' " ' ' a(n-1).i' an.i ]
Untuk i = 1 ^ ak1 = A1 atau aki = (a11 , 21, a31, , an1
) ^ elemen pada kolom 1
di mana Ai = elemen kolom ke - i pada matriks A
Nilai At adalah elemen kolom ke-i pada matriks A. Misalnya At untuk matriks ukuran 4*4.
a11 a12 a13 a14 a11 a12 a13 a14
A = a21 a21 a23 a24 , A, = a21 , A2 = a22 , A3 = a23 , A4 = a24
a31 a32 a33 a34 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44 _a41 _ _a42 _ _ a 43 _ _ a44 _
A = [[1 A2 A3 A4]
Matriks Ft adalah identitas (I) di mana elemen kolom ke-1 ^ i diganti elemen kolom ke-1^i dari matriks A atau A. Misalnya Ft untuk matriks ukuran 4*4.
an 0 0 0 a11 a12 0 0 a11 a12 a13 0 a11 a12 a13 a14
F = a21 a31 1 0 0 1 0 0 , F2 = a21 a31 a22 a32 0 1 0 0 , F3= a21 a31 a22 a32 a23 a33 0 0 , F4= a21 a31 a22 a32 a23 a33 a24 a34
_a41 0 0 1 _a41 a42 0 1 _a41 a42 a43 1 _a41 a42 a43 a44
Langkah-langkah menghitung matriks invers :
1. Tentukan matriks Fj yaitu mengganti kolom pertama matriks identitas (In) dengan Aj. Invers dari Fj adalah (Fj)~j.
(F )-1 = E1 I = e
2. Tentukan matriks F2 yaitu mengganti kolom kedua matriks Fj dengan A2. Invers dari F2 adalah (F2)-J.
(f2 )—1 = e2 (f )—1 = e2 E1
3. Tentukan matriks F3 yaitu mengganti kolom ketiga matriks F2 dengan A3. Invers dari F3 adalah (F3)-J.
(f3 ) = E3 (F2 ) = E3 E2 E1
4. Prosedur ini terus dilakukan hingga semua vektor kolom A dimasukan ke matriks Fi atau hingga Fi =A, maka akan diperoleh matriks invers :
A"1 =(F )—1 = E, L E3E2E1
Contoh 1.
Tentukan inverse matriks berikut,
A =
2 3 2 2 2 1 1 2 2
A = [[1 A2 A3 1 A
2 2 1
, A2
3 2 2
A3 =
2 1 2
"2 0 0"
F = 2 1 0 ak.1 = H =
1 0 1 —
V an 12 0.5
Nk.1 = — an = - 2/2 = -1
— a31/ an -12 - 0.5
1 0 0 0 1 0 0 0 1
E =
2 2 1
N
11
N
21
N
31
2 2 1
00 10 01
0.5 0 0 -1 1 0 - 0.5 0 1
(F )-1 = El —
0.5 0 0 -1 1 0 - 0.5 0 1
F2 =
2 3 0 2 2 0 1 2 1
" 0.5 0 0" 3 1.5"
ak2 =(F1)_14 = E14 = -1 1 0 2 — -1
- 0.5 0 1 2 0.5
^12/ a22 1.5/ -1" "1.5" "1 N12 0" "1 1.5 0
N .2 — 1 a22 — 1/ -1 — -1 E2 — 0 N22 0 — 0 -1 0
^32/a22 _ - 0.5/ -1 0.5 0 N32 1 0 0.5 1
"1 1.5 0" 0.5 0 0" -1 1.5 0
(F2 )—E2 E1 — 0 -1 0 -1 1 0 — 1 -1 0
0 0.5 1 - 0.5 0 1_ -1 0.5 1
^3 =
2 3 2 2 2 1 1 2 2
a
k3
=(f2TA =
^13/^33 -(-0,5)/0.5 1
— ^3 ! a33 — -1/0.5 — -2
l/a33 1/0.5 2
{F3y=Ep2y=
1 0 1 0 1 -2 0 0 2
-1 1.5 1 -1 -1 0.5
Jadi A~l =
-2 2 1 3 -2 -2 -2 1 2
-1 1.5 0 2 -0.5
1 -1 0 1 — 1
-1 0.5 1 2 0.5
e3 =
1 0 M
13
0 1 N.
23
0 0 iV.
0 0 1
33
1
-2 2 3 -2 -2 -2 1 2
1 0 1 0 1 -2 0 0 2
Contoh 2.
Tentukan inverse matriks berikut,
~1 4 3 " 1 4 3
A — 2 5 4 A = IA A2 A3 J, A = 2 , A2 = 5 , A3 = 4
1 - 3 - 2 1 - 3 - 2
"1 0 0" "1 0 0" "1" "1"
F = 2 1 0 akA: —A — 0 1 0 2 — 2
1 0 1 0 0 1 1 1
V an 11 1 " N11 0 0" "1 0 0
NkA = a21l a11 — - 2/1 — - 2 E — N21 1 0 — - 2 1 0
- a31 /a11 -1/1 -1 N31 0 1 -1 0 1
" 1 0 0" "1 4 0"
(F )-1 = E — - 2 1 0 F — 2 5 0
-1 0 1 1 - 3 1
1 0 0" " 4" "4"
°k.2 =(F1))1 A2 = E1A = - 2 1 0 5 = - 3
-1 0 1 - 3 - 7
^12/ a22 " - 4/- 3 " " 4/3 " "1 Nu 0" "1 4/3 0
Nk .2 = V a22 = 1 - 3 = -13 E2 = 0 N22 0 — 0 -13 0
- ^32/a22 - (-7)/- 3 - 7/3 0 N32 1 0 - 7/3 1
"1 4/3 0" " 1 0 0" "- v3 4/3 0
(F2 )-1 — E2 e — 0 -1/3 0 - 2 1 0 — 2/3 -1 3 0
0 - 7/3 1 -1 0 1 11/3 - 7/3 1
"14 3" "- 53 43 0" " 3 " " 13 "
F= 2 5 4 ak .3 = (F )-1 A3 = 23 -1 3 0 4 — 2/3
1 - 3 - 2 113 -7 3 1 - 2 -13
N, =
k .3
ai3l a33 — a23l a33 V a33
-13
-13
- 213
-13
F )-1 = £3 F )-1 =
Jadi A- —
-13
1 0 1T- 53 0 12 23 0 0 - 3JL113 2 -11" 8 - 5 2 -11 7 -3
1 "1 0 N13" "1 0 1
2 E3 — 0 1 N23 — 0 1 2
- 3 0 0 N33 _ 0 0 -3
4/3 0" " 2 -1 1 "
-1 3 0 — 8 - 5 2
- 7/3 1 -11 7 -3
Contoh 3.
Tentukan inverse matriks berikut,
A —
2 1 4 1 12 21
21 22 22 12
2 1 2 1 "2 0 0 0
4 1 2 2 4 1 0 0
^ A, — 1 , a2 — 2 , A3 — 2 , A4 — 2 F1 — 1 0 1 0
2 1 1 2 2 0 0 1
ak.1 —
E —
"1 0 0 0 2 2
0 1 0 0 4 4
IA1 — —
1 0 0 1 0 1 1
_0 0 0 1 _2 2
Nn 0 0 0" 12 0 0 0
N21 1 0 0 - 2 1 0 0
N31 0 1 0 -1 2 0 1 0
N41 0 0 1 -1 0 0 1
NkA —
V an 1/2 12
- #21/°11 - 4/2 - 2
- 031/ au -1/2 -12
- °41 / °11 - 2/2 -1
(F )-1 — E1 —
12 - 2
-12 -1
0 0 1 0 01 00
0 0 0 1
F =
Nk2 =
2 10 0 4 10 0 12 10 2 10 1
- a12 / a22 1 a22
- a32 / a22
- a42 a22
ak .2 =(F1 )—1 A2 = E1A2 =
F )—1 = e2 Ex =
1
—1
1 -1
—1
— 0/ — 1
1 2 0 0
0 — 1 0 3/2 00
00 10 01
-1/2 —1
3/2 0 12
F =
21 41 12 21
20 20 20 11
12
—2 1
—1 2 0
—1 0
000 00 10 01
[1" "1/2"
1 — 1
2 3/2
[1 _ 0 _
E2 =
1 N12 0 0" "1 12 0 0
0 N22 0 0 0 —1 0 0
0 N32 1 0 0 32 1 0
0 N42 0 1 _0 0 0 1
000
—2 1 —1 2 0 —1 0
00 10 01
—1 2 1 2 0 0
0 0
0 0 1
2 —1 0 — 7/2 3/2 1
—1
ak3 ={F2 )—1 A3 =
"—1 2 12 0 0" "2" "0"
1 2 —1 0 0 2 2
1A3 = — 7/2 32 =
3 1 0 2 — 2
—12 0 0 1 1 — 1
Nk.3 =
" - 0/- 2 " " 0
a23 / a33 - 2/ - 2 1
V a33 1 - 2 -12
a43 1 a33 _ _- (-1)/- 2_ _-12
E =
10 N13 0
0 1 N23 0
0 0 N33 0
0 0 N43 1
F )-1 = E3 (F2 )-1 =
1 0 0 1 00 00
00 10 1/2 0 1/2 1
F =
2 12 1 4 12 2 12 2 2 2 112
ak.4 =(F3 )-1 A
4
-12 12 0 0"
2 -110
-7/2 3/2 0 0
-1 0 0 1
-1 2 -3 2 7/4 3/4
-1 2 -3 2 7/4 34
12 12 -3 4 -3 4
0 1
-1 2 -1 2
0 0 0 1
12 12 -3 4 -3 4
10 01 00 00
00 10 -1 2 0 -1 2 1
00 10 -12 0 -12 1
[1" " 12 " " 0.5 "
2 3/2 1.5
2 - 3/4 - 0.75
l_2 _ 14 _ _ 0.25 _
NkA =
^14 /^44
— $24 /^44
— /$44
1/ ^44
E4 =
1 0 0 N,
14
0 1 0 TV,
24
0 0 1 TV
34
0 0 0 TV
44
(F4y=E4(F3y =
Jadi
A~l =
-0.5/0.25 -1.5/0.25 -(-0.75)/0.25 1/0.25 10 0-2 0 10-6 0 0 1 0 0 0
10 0-2 0 10-6
0 0 1 0 0 0
-2 2 -6 5
4 -3 -2 3 -3 -2
3
4
1 -2 4 -6
3
4
3
4
-1/2 -3/2 7/4 3/4
-2 -6
3
4
1/2 0 0] [-2 2 1 -2
1/2 1 0 _ -6 5 4 -6
-3/4 -1/2 0 ~ 4 -3-2 3
-3/4 -1/2 1J |_ 3 -3-2 4
Sifat Invers Matriks
Jika A matriks invertibel hanya akan mempunyai satu matriks invers ( invers A adalah unik) dan dinyatakan oleh A-1.
AA- — I ^ A"1 A — I
Jika determinan A adalah nol (det A=0), A-1 tidak ada dan matriks A disebut matriks non invertibel atau singular.
Jika matriks A dan B adalah matriks non singular atau invertibel, maka :
(AB)"1 — A"1B"1
Jika invers dari matriks invertibei adalah invertibei maka :
(A-')-' = A
Perkalian skalar k (k^0) dengan matriks invertibei adalah invertibei, maka :
(kA)-1 = 1 A"'
Jika matriks A adalah matriks non singular atau invertibel, maka :
A )-1 =A )T
Slide Matematika dan slide-slide lainnya yang ada di Site SmartStat dapat dipelajari pada tautan di bawah ini:
Daftar Slide Matematika II
Daftar Seluruh Slide
Slide lainnya bisa Anda download :di sini
