Slide: Limit dan Kontinuitas

Definisi Limit

Limit adalah suatu nilai (L) dari sebuah deret atau fungsi (f(x)) untuk nilai x yang mendekati suatu nilai tertentu (c). Limit dari deret atau fungsi f(x) untuk x mendekati c adalah sebesar L dapat ditulis sebagai:

lim(x) = L

x ^ c

Limit sebuah deret atau fungsi f(x) untuk nilai x mendekati bilangan c dapat diperoleh dengan mensubtitusikan c ke dalam deret atau fungsi tersebut.

Contoh :

1

2

r

lim

n ^x

111

c

1, — ,—,—,... I o lim V 2 4 8

n

1

\

V

2n — 1

r

1

\

V

2

x — 1

1

J

= 0

VxJ

lim(x2 + 4x + 4)o (22 + 4(2) + 4)= 16

n ^ 2

Limit Infinitas

Limit infinitas adalah suatu nilai (L) dari sebuah deret atau fungsi (f(x)) untuk nilai x yang mendekati + ~ atau - Limit infinitas dinyatakan sebagai:

lim(x) = L

x

Contoh

1

sin(x) sin(x) sin( &) 1

lim--—- « lim--—- =--—- = — = 0

x

X

x

x

&

&

2

lim

X

2 x 3 + 5 x 2 - x +1

x 3 +1

r

^ lim

x

* 5 11 2 +---^ + —

\

x x

x

1+

1

V

x

r

5 1

2 +--

+

1

\

& &

1+

1

V

x

r

2 + 0 - 0 + 0

\

V

1+0

= 2

J

J

Limit Deret

Bilangan L adalah limit dari deret (x1, x2, xn, ...) jika bilangan xn mendekati L ketika indeks n naik.

lim xn = L

n —x

Jika deret mempunyai limit, maka deret tersebut adalah konvergen sebaliknya jika deret tidak mempunyai limit, maka deret tersebut adalah divergen.

Notasi

Contoh :

1

2

lim

n —^ x

r

V

i1-1-1-± • 9 9 t • • •

2 4 8

^ r

o lim

n— x

r

Sehingga deret

J

111

1 \ ( 1 ^ o

2

\

n — 1

V2 J

V

2

x—1

1

J

= 0

Vx J

V

1 , , , ,• •• 2 4 8 J

adalah konvergen

lim ((—2,3,—4,... )o tidak ada sehingga deret (1,-2,3,-4,

adalah divergen

n — x

Limit Fungsi

Bilangan L adalah limit dari funfsi f(x) jika fungsi f(c) mendekati L ketika x mendekati nilai c.

Notasi

lim f(x) = f(c) = L

x ^ c

Limit sebuah fungsi f(x) untuk nilai x mendekati bilangan c dapat diperoleh dengan mensubtitusikan c ke dalam fungsi tersebut.

Contoh

1

f(x) = x2 - 2x lim f(x) o f(2) = (22 - 2(2)) = 0

n^ 2 v 7

2

, 2x2 + 3x + 1

f(x) =-:-

x +1

/• > 2(1)2 + 3(1) +1 6 lmf(x) o f(1) = " ' \ '-= - = 3

n ^ 1 1 + 1 2

Teknik Menentukan Limit

Ada 4 teknik pendekatan untuk menentukan/ menghitung limit fungsi:

a. Cara Numerik

b. Cara Geometrik

c. Cara Aljabar

d. Cara Diferensial (I'Hopital)

Alternatif cara menghitung limit tersebut digunakan untuk menghindari hasil limit dalam bentuk tak tentu seperti f(c) = 0/0 atau f (c) = .

1. Cara Numerik

Cara ini menggunakan tabel dua baris untuk menentukan nilai fungsi f(x) di sekitar x yang mendekati nilai tertentu.

Contoh

x — 2

1

Jika f (x) =

tentukan : lim f(x)

x — 2

Solusi :

x 1.9 1.99 1.999 1.9999 2 2.0001 2.001 2.01 2.1

f(x) 11.41 11.9401 11.994 11.9994 ? 12.0006 12.006 12.060 12.61

-?

x mendekati 2 dari kiri x mendekati 2 dari kanan

Perhatikan pada tabel bahwa makin x dekat ke 2 dari kiri dan kanan nilai f(x) makin mendekati 12. Jadi dapat disimpulkan bahwa :

lim f (x) = 12

x ^ 2

x2 + x - 12 x - 3

2

Jika f (x) =

tentukan : lim f(x)

x ^ 3

Solusi

x 2.9 2.99 2.999 2.9999 3 3.0001 3.001 3.01 3.1

f(x) 6.9 6.99 6.999 6.9999 ? 7.0001 7.001 7.01 7.1

-?

x mendekati 3 dari kiri x mendekati 3 dari kanan

Perhatikan pada tabel bahwa makin x dekat ke 3 dari kiri dan kanan nilai f(x) makin mendekati 7. Jadi dapat disimpulkan bahwa :

Dari dua contoh menghitung limit dengan cara numerik dikenal istilah pende-katan limit dari arah kiri dan arah kanan, maka :

1. Nilai x mendekati c dari arah kiri disebut limit kiri : lim f(x) = L

x — c -

2. Nilai x mendekati c dari arah kanan disebut limit kanan : lim f (x) = R

Jika limit kiri dan limit kanan ada dan sama nilainya, maka dikatakan bahwa limit tersebut ada dan besarnya adalah L atau R.

lim f (x) = lim f (x) = L = R lim f (x) = L = R

x — c

x — c

x—c

2. Cara Geometrik

Cara ini menggunakan tabel dua baris untuk menentukan nilai fungsi f(x) di sekitar x mendekati nilai c kemudian menggambarkannya secara geometrik.

Contoh :

x3 - 8

- tentukan : lim f (x)

x - 2 x ^ 2

1

Jika f ( x) =

Solusi :

x 1.9 1.99 1.999 1.9999 2 2.0001 2.001 2.01 2.1

f(x) 11.41 11.9401 11.994 11.9994 ? 12.0006 12.006 12.060 12.61

x2 + x — 12

Jika f(x) =- tentukan : lim f(x)

x — 3 x—3

2

Solusi :

x 2.9 2.99 2.999 2.9999 3 3.0001 3.001 3.01 3.1

f(x) 6.9 6.99 6.999 6.9999 ? 7.0001 7.001 7.01 7.1

Dari gambar terlihat untuk x = 3 maka f(x) = 7. Jadi :

lim f (x) = 7

3. Cara Aljabar

Cara aljabar adalah menggunakan penyederhanaan/ penulisan ulang/ merubah bentuk dari fungsi f(x) sebelum nilai x disubtitusikan.

Contoh :

x 3 - 8

- tentukan : lim f (x)

x - 2 x ^ 2

1

Jika f ( x) =

Solusi :

x 3 - 8

x-2

f(x) =

(x - 2)(x2 + 2x + 4) x-2

O f(x)=

= x2 + 2x + 4

lim f(x) o f (2) = x2 + 2x + 4 = 12

x ^ 2

Jadi : lim f (x) = 12

x ^ 2

x2 + x — 12 x—3

2

Jika f (x) =

tentukan : lim f( x )

x — 3

Solusi

,, V x2 + x — 12 (x — 3)(x + 4) f(x) =---o f(x) =y--^-'- = x + 4

x — 3

x—3

lim f (x) o f (3) = x + 4 = 7

x — 3

Jadi :

3

lim , x .

x—0 V1 + x — v1 — x

x

x

Xm (Cx — x )(?(+x + 71—

x

x ((1 + x w 1 — x) x (V1 + x W1 — x )

= lim—--=-4r = lim v '

x—0

1 + x ) -((1 — x

x—0 (1 + x ) — (1 — x)

lim

x—0

x (1 + x + V1 — x 2x

= lim

x—0

1 + x +

2

vrx)

—'-=1

X3 + X2 + X + 1

4

Tentukan : lim

Solusi

X X3 + 3 X2 + 5 X + 2

x 3 + x 2 + x +1

X3 + 3 X + 5 X + 2

1 1 1

— + +

X X X

3 5 2

+ +

X X X

5

Tentukan: lim V x2 + x +1 - v x2 - x -1

X

Solusi :

X

1

yjx2 + x +1 - vx2 - x - 1 =

vx 2 + x +1 wx 2 - x -1

Xt+X+1 -VX2^ +x+1+v;

, Wx2 + x +1 +V

(X2 + X + 1)-(X2 -X-1) = 2X + 2

vX2 + x +1wX 2 - x -1 vX2 + x +1wX 2 - x -1 2

^2

X 2 - X -1

4. Cara Diferensial (I'Hopital)

Cara diferensial (I'Hopital) adalah menggunakan teknik diferensial untuk penye-derhanaan/ penulisan ulang/ merubah bentuk dari fungsi f(x) sebelum nilai x di-subtitusikan.

g'(x )

lim f ( x ) = lim-

- h' (x)

x—c

x — c

Contoh :

x3 — 8

- tentukan : lim f (x)

x — 2 x—2

1

Jika f ( x) =

Solusi

^ , x3 — 8 , g'(x) 3x2

f(x) =--o f(x) = s*

x — 2

h'(x)

1

= 3x

2

lim f(x) o f (2) = 3x2 = 12

x — 2

Jadi : lim f (x) = 12

x — 2

2

x2 + x — 12 x—3

JiKa f(x) =

tentukan : lim f( x )

x — 3

Solusi

„, v x2 + x —12 v g'(x) f(x) = ---o f(x) = f/ y

x — 3

h'(x)

2x +1 1

= 2x +1

lim f(x) o f (3) = 2x + 1 = 7 Jadi

x — 3

3

3x2 + x — 10 x + 2

Jika f(x) =

tentukan : lim f ( x )

x —— 2

Solusi

3x2 + x — 10 x + 2

f(x) =

o f(x)=

g' (x ) 6x + 1

h'(x)

1

= 6x +1

limf(x) o f(2) = 6x + 1 = —11 Jadi

x — 2

lim f (x) = —11

x——2

Sifat-sifat Limit

Jika

2

3

4

dan

= b. serta c adalah konstanta, maka

jirn (f (X) + g(X)) = a + b

lim (cf (x)) = ca

XiXr ^ V

lim (f (X)g(X)) = ab

lim

X —- r.

f(x) ff(*)

untuk b ^ 0

???

1

Teorema

Jika di sekitar bilangan x0 berlaku

5

Jika a = b sehingga

ada

dan limh(x)= limf(x) = limg(x),

x-tx*

Contoh

1

Tentukan : lim (3 x2 — 2x)

x — 2

Solusi

lim (3x2 — 2x)= lim (3x2)— lim (2x)= 3(2)2 — 2(2) = 8

x — 2

Jadi

x — 2

x — 2

lim (3x2 — 2x )= 8

2

Tentukan : lim (50 x2 + 100 )

x — 1

Solusi

lim (50 x2 + 100 )= lim 50 (x2 + 2)= 50.lim (x2 + 2)

x — 1 x—1 x — 1

lim (50x2 +100) = 150

= 50.(12 + 2) = 150 Jadi:

Contoh

3

Tentukan : lim (x2 — 2x + 1)(4x2 + 16 )

x — 2

Solusi :

x — 2

lim (x2 — 2x + 1 \4x2 + 16)o lim (x2 — 2x + 1 ).lim (4x2 + 16)

x — 2 x — 2 " " ^

= ((2)2 — 2(2) + 1 )(2)2 + 16 )= (1 ).(32 )= 32 Jadi: lim(x2 — 2x + 1)(4x2 +16) = 32

x—2

(x3 + 3x2 + 3x + 1)

2

4

Tentukan

lim

x — 0

(2x2 +1)

Solusi :

2

3

2

(x3 + 3x2 + 3x + 1) li™(x + 3x + 3x +1)

lim --;-- o --;-

x—0 (2x + 1) lim(2x2 + 1)

=1

1

(x3 + 3x2 + 3x + 1) lim---= 1

2

x — 0

Jadi

x — 0

(2x2 + 1)

Limit Sepihak

Definisi

Notasi

Fungsi mempunyai limit kiri L ketika x mendekai x0 jika nilai f(x) mendekati L pada waktu x mendekai x0 dari sebelah kiri dimana x < x

iimf ( x ) = L

X i X,

Definisi

Notasi

Fungsi mempunyai limit kanan R ketika x mendekai x0 jika nilai f(x) mendekati R pada waktu x mendekai x0 dari sebelah kanan dimana x > x

iimf ( x ) = R

X i Xn +

Definisi limit berdasarkan limit sepihak :

Jika dan hanya jika lim f (x) = L dan lim f (x) = R

x i a

x i a

adalah ada dan nilainya sama. Jadi lim f (x) = lim f (x)

xia

xia

+

Contoh

1

Tentukan limit fungsi bilangan terbesar di x = 1 : lim [[x]]

x — 1

a

Limit kiri lim [[x]]= 0

f(x) 1

x — 1'

b

Limit kanan lim [[x]]= 1

x — 1+

x

1

Limit kiri ^ limit kanan, maka fungsi f(x) pada x = 1 tidak mempunyai limit

2

f (x) =

x

x

jika x ^ 0

0 jika x = 0 lim f (x ) = —1 dan lim f (x ) = 1

, vn V / x—0 + V 7

x—0—

*i 1 f(x)

 A

x

Fungsi f(x) hanya mempunyai limit sepihak pada x = 0 tetapi tidak mempunyai limit pada x = 0.

3

a

Telntukan limit kiri lim etan(x)

n

x i— 2

b

Tentukan limit kanan lim e u

n

X i—+ 2

Solusi

b

n

Untuk — > x > n ,tan( x) > 0 dan lim tan( x) = Maka 2

lim etan(x) = «

n

x i--

2

n

x i—-2

dan

Maka

Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan, maka f (x) pada x = n/2 tidak mempunyai limit.

Limit Fungsi Piecewise

Contoh

f (x) =

• f1 ^ x sin —

V x )

1

jika x ^ 0 jika x = 0

Mempunyai limit 0 pada x=0 walaupun f(x)=1

Contoh

f (x) =

• f 1 ^ x sin —

V x )

0

jika x ^ 0 jika x = 0

Fungsi f(x) tidak mempunyai limit pada x=0 karena ketika x mendekati x=0 fungsi f(x) mempunyai nilai antara -1 dan 1.

Limit Trigonometri

Limit trigonometri yang khas

„ sinx lim-= 1

1 — cosx lim-= 0

x—0 x

Contoh

sin 3 x lim-= 3

x—0 x

2

1 — cos 2 x lim-= 0

x—0 2x

3

.. x — 1 1 — 1 lim--2 = —-2 = 0

x—11 + x 2 1 + 12

4

f

sin

1

V

x

lim—-

x—+ cos2 (x)

sin (1)

+ cos2 (1)

1

5

Tentukan: lim

sin (X2)

Solusi

xi0 x sin (x) sin (x2 ) sin (x2 ) X

X

sin (x )

X'

sin (x )

x i0

>1

6

Tentukan: lim

sin (sin ( x ))

X i0

x

Solusi

sin (sin (x)) sin (sin (x)) sin (x)

x

sin (x )

x

X i0

?>1

7

Tentukan: lim

sin (3 x )

Xi 6x

Solusi

karena

maka

Kontinuitas Fungsi

Definisi

Fungsi f (x) adalah kontinu jika fungsi tersebut mempunyai limit untuk semua titik x atau daerah asalnya. Secara grafis fingsi f(x) dikatakan kontinu apabila Grafik fungsi tersebut berkesinambungan atau tidak patah-patah (terpisah).

Fungsi kontinu

f(x)

f(x) = x3

 / I

 / / J

f

-0.25

f(x) = sin(50x) 0.25

x

Fungsi diskontinu

X

J j 5 4 3 2 1 n J J

7 -5 -3 -1 -1 -2 -3 -4 -5 1 3 57

Kontinuitas fungsi f(x) pada suatu titik x = c mempunyai 3 syarat yang harus dipenuhi:

1

2

3

lim f(x) = L (mempunyai limit)

x ^ c

f (c) = L (mempunyai nilai fungsi) limf(x) = f(c) limit sama dengan nilai fungsi

x ^c

Jika salah satu dari ketiga syarat tersebut tidak terpenuhi maka fungsi f(x) adalah tidak kontinu atau diskontinu.

Jika lim f(x) ^ f(c) maka f(x) adalah diskontinu

x—c

Contoh

1

Evaluasi kontinuitas fungsi f (x) = x + 2 di titik x = 2.

Solusi

Syarat

lim f(x) = lim(x + 2) = 2 + 2 = 4 (mempunyai limit)

x—2

x—2

2

3

f (2) = 2 + 2 = 4 (mempunyai nilai fungsi) lim f(x) = f(2) limit sama dengan nilai fungsi

x—2

Jadi fungsi tersebut adalah kontinu karena memenuhi ketiga syarat kontinuitas.

1

x2 - 4 x - 2

2

Evaluasi kontinuitas fungsi f (x) =

Solusi

Syarat

2

3

di titik x = 2.

(x + 2)(x - 2)

lim f(x) = lim-—-- = x + 2 = 2 + 2 = 4 (mempunyai limit)

x ^2 x ^2 ( x — 2 )

22 — 4 0

f(2) =-= — (tidak terdefinisi/ tidak mempunyai nilai fungsi)

x - 2 0

lim f(x) ^ f(2) limit tidak sama dengan nilai fungsi

x ^ 2

Jadi fungsi tersebut adalah diskontinu di titik x = 2 karena syarat kontinuitas ke 2 dan ke 3 tidak terpenuhi.

3

Evaluasi kontinuitas fungsi f(x)

x2 -1 x +1

2

untuk x ^ -1

untuk x = -1

1

Solusi

Fungsi dievaluasi di titik x = -1

Syarat

lim f (x) = lim x-1 = lim (x + 1^(x—^

xxx +1 x(x +1)

(mempunyai limit, yaitu -2)

= x — 1 = —1 — 1 = —2

2

f (x) = 2 (untuk x = -1 jadi mempunyai nilai fungsi, yaitu 2) f(—1) = 2

3

lim f(x) ^ f(—1) ^—2 ^ 2 limit tidak sama dengan nilai fungsi

x——1

Jadi fungsi tersebut adalah diskontinu di titik x = -1 karena syarat kontinuitas ke 3 tidak terpenuhi.

1

Kontinu Sepihak

Definisi

Fungsi f(x) pada titik x = c adalah kontinu kiri jika dan hanya jika :

lim f(x) = f(c)

x—c

Fungsi f(x) pada titik x = c adalah kontinu kanan jika dan hanya jika :

lim f(x) = f(c)

x—c

Fungsi f(x) pada titik x = c adalah kontinu jika dan hanya jika :

lim f(x) = lint f(x) = f(c)

x—^c x—^c

 Contoh

Evaluasi kontinuitas fungsi f(x) = Vx2 — 16 di titik x = -4 dan 4.

Solusi

Untuk x = -4

Untuk x -4 limf (x) = lim ^x2 —16 = tidak _ terdefinisi

a

x^—4 x^—4

Untuk x -4 f () = tidak _terdefinisi

b

Untuk x > -4 lim f (x) = lim Vx2 —16 = terdefinisi

x^—4+ x^—4+

- ada

Untuk x > -4 f(x) = terdefinisi Jadi fungsi tersebut adalah kontinu kanan di titik x = -4

Untuk x = 4

a

Untuk x 4 lim (x) = lim ^x2 -16 = terdefinisi "

x ^ 4"

x ^ 4"

Untuk x 4 f(x)= terdefinisi

ada

b

Untuk x > 4 lim f (x) = lim -fx2^^ = tidak _ terdefinisi

x^ 4+ x^ 4+

Untuk x > 4 f (x) = tidak _terdefinisi

Jadi fungsi tersebut adalah kontinu kiri di titik x = -4

f(x) = 4xr-16

> x

kontinu kanan

kontinu kiri