Slide: Metode Integral

Beberapa Metode Integral:

Integrasi Substitusi

Metode integrasi yang berhubungan diferensiasi aturan rantai (chain rule). adalah fungsi dari x, maka :

dengan Jika u

Perhatikan fg' (f(x))f' (x)dx

Jika u = f (x), maka fg'(u)du =g(u) + C

Tahapan Integrasi Substitusi

1.            Gunakan u = f(x), sebagai "fungsida/am".

2.            Tentukan du = f'(x)dx

3.            Substitusikan terhadap integral dalam bentuk u.

4.            Integrasikan menghasilkan integral.

5.            Substitusikan lagi untuk memperoleh jawaban dalam bentuk x.

1

Contoh Subtitusi Integral Indefinit

Tentukan integral : 1*3x2 (x3 - 5) dx

J

Gunakan : u = x + 5 maka du = 3x2 dx

2

dx =

2/ \9

3x (u)

2

du

3x2

du

j

u du

u

10

10

+ C =

x3 + 5

10

10

+ C

Subtitusi                              Intagrasi                               Substitusi Kambali

2

Tentukan integral : jW5x2 - 7dx

Jika: u — 5x2 - 7 maka du — 10xdx ^ dx —

du 10x

Jx^[5

x 7 dx —

f-l ul J10

/2

du

10 1

u

3/2

(

10J (3/2)

2 \3/2

5 x - 7

+ C Integrasi

15

+ C Subtitusi

3

Tentukan Integral : J

dx

x (ln x )3

1

Jika t u = lnx maka du = — dx      atau dx = xdu

x

C dx C xdu           f dx f -3 r

I———3- = I-7 atau         I-7 = lu du

]x(lnx)3 ]x(lnx)3                *x (ln x )3 J

-2

= ^ + C -2

(ln x3 2

= ^-'— + C

-2

4

Tentukan integral : I

e3tdt

3t

Jika u — e +2 maka

e3t + 2 du

3e

3t

— dt

I

e dt . . . 7 —-— — —du

e3 + 2 3 Ju

ln

u

3

+ C

ln (e3t + 2)

+ C

Contoh Subtitusi Integral Definit

Tentukan Integral : (2x + 3)(x2 + 3x)1/2 dx

Jikaa u = x2 + 3x maka du = ( 2 x + 3 ) dx

Parhatikan parubahan batas

J0 (2 x + 3) (x2 + 3 x 3 dx = J0 u1/2 du

Batas baru :

2

= — u

3

.3/2

4

0

x = 0 ^ u = 0

x = 1 ^ u = (1)2 + 3(1) = 4

16

3

1

2

Tentukan integral : J02x(x2 + 3) dx

2

Jika u — x + 3

. du maka — — dx

2 x

Perhatikan perubahan batas

J02x (x2 + 3 ) dx — J0 u1/2du

Batas baru :

x — 0 ^ u — 0 x — 1 ^ u — (1)2 + 3 — 4

2

—u

3

3/2

4

0

16

3

Integrasi Bagian

Integrasi bagian merupakan metode integrasi yang berkatian dengan diferensiasi aturan perkalian (Product Rule)

d             du dv

— (uv) = — v + u —

dx           dx dx

^ d (uv) = v du + u dv ^ u dv = d(uv) - v du

Atau integrasi bagian disebut Antiderivative dari "Product Rule" :

J udv = uv - J vdu

Rumus Integrasi Bagian

d

f(x)g'(x)dx — J--(f(x)g(x))dx - If'(x)g(x)dx

dx

j f( x)g'( x)dx —f( x)g( x) - ]f'( x)g( x)dx

atau

Dimana :

v — g(x) dv — g'(x )dx u — f(x) du — f'(x )dx

Contoh Integrasi Bagian

1

Tentukan integral : J lnxdx

Gunakan u = ln x              v = x

du = 1 dx              dv = dx

x

J udv — uv - I vdu J ln (x )dx — x In (x)-|XX

Jadi :

J ln xdx — x ln x - x + C

2

Tentukan integral : Jxsin(x)dx.

Gunakan : u = x

du = dx v = - cos( x) dv = sin( x )dx

| udv = uv - J vdu

Jadi

Jxsin(x)dx = -xcos(x) - J(-cos(x))dx = -xcos(x) + Jcos(x)dx

= - x cos( x) + sin( x) + C.

3

Tentukan integral : J(x2 + x)(2x)dx

Gunakan : u — x2 + x

du — (2x +1 )dx

2

v — x

dv — 2xdx

| udv — uv - J vdu

J(x2 + x)(2x)dx — (x2 + x)(x2)- Jx2(2x + 1)dx + C

4 3 \ 3 2

—           x + x - J (2x + x )dx + C

—           4 + 3 -1 4 -1 3 . C

—           x + x x x + ^^

2 3

4

Tentukan :

j

x•cos x dx

Gunakan faktor

u v

- Jv du

Ju dv = uv - Jv du

u = x dv = cos x dx du = dx v = sin x

x • sin x - Jsin x dx

x • sin x + cos x + C

Tentukan

In x dx j \

Gunakan faktor

u v

- Jv du

i-

lnx-x- lx-— dx

x

x ln x - x + C

Ju dv-uv- jv du

u- ln x dv-dx

du - —dx v-x x

6

Tentukan : Jx2ex dx Ju dv = uv - Jv du

u v

- Jv du

x2 ex - Jex • 2x dx

x2 ex - 2 Jxex dx

2 x oi

x e - 2 xe -

x

J exdx

x2ex - 2xex + 2ex + C

x , ^ _x

u = x

dv = exdx

du = 2 x dx v = ex

u = x dv = exdx

du = dx

v = e

x

Rumus Alternatif Integrasi Bagian

f(x)g(x)dx — f(x) x I(g(x)) - Jd( f(x))I(g(x))dx

Atau

fgdx — f x I (g ) - D ( f) I ( g ) dx

Dimana : D(f(x)) — df(x)

dx

I(g(x)) — g(x)dx

Kef. :

Notasi D=Diferensiasi

I= Integrasi

Contoh Integrasi Bagian

Tentukan integrai : Jxexdx

\f(x)g(x)dx = f(x) x I(g(x)) - \D(f(x))I(g(x))dx

Gunakan : f(x) = x

g(x) = e

x

Jxexdx = xI(ex ) - Jd(x)I(ex )dx

= xex - J7 x exdx = xex - ex + C

1

2

Tentukan integral : Jx2 sin(x)dx

Jf(x)g(x)dx = f(x) x I(g(x)) - \D(f(x))I(g(x))dx

Gunakan : f(x) = x2

g(x) = sin( x)

Jx2 sin(x)dx = x2I(sin(x)) - Jd(x2 )I(sin(x))dx

= - x2 cos( x) + J2x cos( x )dx = -x2 cos(x) + [2x sin(x) - J2 sin(x)dx]

2

= -x cos(x) + 2xsin(x) + 2cos(x) + C

Integrasi Bagian Tabular

Integrasi bagian menggunakan tabel lebih cepat dan lebih mudah dilakukan, terutama untuk integrasi bagian yang berulang-ulang.

Ket. D= Diferensiasi I = Integrasi

Jika Dn(f) = 0, proses diferensiasi dan integrasi dihentikan.

Jfgdx — f XI ( g) -J D( f) I (g )dx

Jfgdx — +f x I (g) - D( f) 12 (g) + D2 (f) 13 (g).... ...(-1) "-11" ( g )

Tanda    D             I

+             f              g

-              D(f)        I(g)

+             D2(f)      I2(g)

-              D3(f)      I3(g)

..             ? ?         ? ?

(-1)n-1  ? ?         ? ?

(-1)n      Dn(f)     In(g)

Contoh Integrasi Bagian Tabular

Tentukan integral : J3x2ex/2dx —? f(x)=3x2

g (x) = e/2

Tanda    D(f)        I(g)

+             3x2         ex/2

-              6 x          N- 2ex/2

+             6              ^ 4ex/2

-              0              ^ 8ex/2

Jfgdx = f x I (g) -J D(f) I (g )dx

J3x2exdx = + 3x2 ^-6x*4e*+ ^+ C

= 6x2ex/2 - 24xex/2 + 48ex/2 + C = (6x2 - 6x + 48)ex/2 + C

2

Tentukan integral : [x2ex dx

f(x) dan D            g(x) dan I

2              x

+ x          e

- 2 x        x e

+ 2          x e

0              x e

Jx2ex dx = x2ex -2xex +2ex +C

3

Tentukan integral : fx3 sin x dx

f(x) dan D

+ x

3

-              3x2 + 6 x

-              6 0

g(x) dan I

sin x

-              cos x

-              sin x cos x

sin x

-x cos x + 3x sin x + 6x cos x - 6sin x + C

Integrasi Fraksi Parsial

Metode integrasi yang berhubungan dengan diferensiasi aturan hasil bagi (Quotient Rule) :

ftxldx

g(x)

Atau disebut antiderivative dari "Quotient Rule":

Metode integrasi fraksi parsial menggunakan aturan dekomposisi fraksi parsial dari fungsi

rasional.               f(x) P(x)

—^—

g(x) q(x)

Dekomposisi Fraksi Parsial

P(x)

Ada 4 tipe dekomposisi fraksi parsial dari fungsi : —-——

Q(x)

1. Dekomposisi Fraksi Parsial Penyebut Linier (ax+b) :

P(x)        = A1 +   + An

(a1x + b1)(a2x + b2)...(anx + bn) (a1x + b1) (a2x + b2) (anx + bn)

2. Dekomposisi Fraksi Parsial Penyebut Linier Berulang (ax+b)k :

P(x) = A1 +          + A,

(ax + b)k (ax + b) (ax + b)2 (ax + b) 3. Dekomposisi Fraksi Parsial Penyebut Faktor Kuadrat (ax2+bx+c) :

P(x)        Ax + £

2 2 (ax + bx + c) ax + bx + c

4. Dekomposisi Fraksi Parsial Penyebut Faktor Kuadrat Berulang (ax2+bx+c)k :

P(x) = A7x + Bj + A2x + B2 + Akx + Bk

(ax2 + bx + c)k (ax2 + bx + c) (ax2 + bx + c)2 (ax2 + bx + c)k

Aturan Integrasi Fraksi Parsial

1. [—A—dx — — ln ax + b\ + K J ax + b a               1

r A A (ax + b) 2. f-dx — -+ K, l * 1

J/^.kV a 1 _ i       '

(ax + b )l

3.

J :

ax + bx + c

atau J

Ax + B

(ax2 + bx+c)

-dx, l > 1

f Ax + B . A . J—;—:-dx — — ln

(2B - Ab / a )arctan

f 2ax+b ^

ax2 + bx + c

2a

ax2 + bc + c +

v

\/4ac - b2

j

V4ac - b2

+ K

Contoh Integrasi Fraksi Parsial

r 2

Tentukan integral : J ——1dx

2_ x2 1

Dekomposisi fraksi parsial:: xh=(x-TJfx+T)= xh+xh

Hitung bilangan A dan B :

2 = A + ^ A(x +1) + B(x -1)

x2 -1 x-1 x +1 (x- 1)(x +1) (x + 1)(x-1)

0.x + 2 (A + B)x + (A - B) \A + B = 0 f A = 1

O—=-=-=-Os      Os

x2 -1      x2 -1      1 A - B = 2 IB = -1

2 11

x2 -1 x -1 x + 1

Jadi : J—22—dx = J—1—dx - J—1—dx = ln\x -1\ - ln|x +1\ + ^

x 1 x 1 x +1

1

2

Tentukan integral : J

4x2 + 4x - 4

3 + ~ 1

x + x x 1

A

Dekomposisi Fraksi Parsial :

dx

+

B

x + 1 ( x + 1 )

ABC

+-- +-o

4 x + 4 x - 4

x3 + x2 - x -1 x +1 (x +1)2 x -1

,2

A(x + 1)(x -1) + B(x -1) + C(x +1)) — 4x2 + 4x - 4

(x - 1)(x +1)

x3 + x2 - x -1

o

(A + C)x2 +(B + 2C)x - A - B + C _ 4x2 + 4x - 4

(x - 1)(x +1)

x3 + x2 - x -1

+

C

x - 1

A + C — 4 o \ B + 2C — 4

- A - B + C — -4

A — 3

oB — 2 C — 1

2

Maka

4 x + 4 x - 4

x3 + x2 - x -1 x +1

3 2 1

+-^ +

(x +1)

x -1

J-

4x + 4x - 4 , c 3 7 r 2          r 1 1

-dx +--dx +-dx

r Ji\2 Jx-1

3 2 _ ;

x + x x 1

fx — 4 , f

-—dx —

-v- i J

x +1 (x +1)

— 3 lnx +1

2

(x+1;

2

+ lnx -1

Untuk

2

(x+1)

dx Gunakan f-——-7

J (ax + b )7

dx —

A (ax + b 1

1 -1

+ K, l * 1

J

2

(x+1)

-dx — —

2 (x +1)

1-2

+ ^ —-2(x +1)-1 + ^ —-

Jadi J-

1 1 - 2 4x2 + 4x - 4

x 3 + x 2 - x - 1

x + x - x -1

2

(x + 1)

+^

dx — 3ln|x +1

2

(x +1)

+ lnx -1 + ^

3

Tentukan integral : J 33- 1 dx

Jika x3-1 = (x-1)(x2 + x + 1) maka 3 A Bx + C

+

x3-1 x-1 x2 + x + 1

Untuk menentukan bilangan A, B, dan C gunakan :

3 A(x2 + x + 1) Bx + C(x -1)

+

x3-1 (x-1)(x2 + x + 1) (x2 + x + 1)(x-1)

3 (A + B) x2 + (A - B + C) x + A - C

^^-=-

x3 -1      x3 -1

A + b = 0 a - b + C = 0 o A - c = 3

A = 1 b = -1. c = -2

3 = 1 x + 2 Jadi ——- =-- 2-7

x -1 x -1 x + x + 1

J-33—dx = J—-—dx - J

1

x + 2

x3 -1

x -1 J x2 + x + 1

dx

= In |x -1 - - J

1 r 2 x +1 . 3 f 1

^ x2 + x +1 2J x2 + x +1

dx Substitusikan:

u=x2+x+1

1              3

In |x -1 — In (x2 + x +1) — J

1

2 (x +1/2)2 + 3/4

dx

1

In | x -1 — In (x2 + x +1)-V3arctan

^2 x +1A

v V3 y

+ K

4

cx3 — x + 2 Tentukan integral : J—2-dx

x 1

Fraksi Parsial: x - x + 2 = x +

x2 -1      x2 -1

x3 - x + 2              2              1 1

= x + —=— = x +

x -1         x -1 x -1 x +1

Jadi integral dari :

ex3 -1 + 2 ,

J ~ dx \ x2 -1 = \ x + x -1 x + 1 dx y x x' + ln | x -1| - ln | x +1| +K ^ —+ ln

x-1 x +1

+ K.

5

Tentukan integral : J-

3x2 + 2

x(x2+ 2)

-dx

3 x 2 + 2 1 2 x Hasil Fraksi Farsial : ——-r — — +

x (x2 + 2) x x2 + 2

Gunakan integral subtitusi : t — x (x2 + 2), dt — (3 x3 + 2) dx

Jadi

j

3 x2 + 2 . cdt x (x2 + 2

dx — fd. — t

— In t + K — In

x(x2+2

+ K.

Integral Ganda

Integral ganda dari f(x, y) merupakan daerah R di dalam bidang xy didefinisikan :

JJf(x,y)dxdy =

(volume di atas R dan di bawah grafik f)- (volume di bawah R dan di atas grafik f).

Menghitung Integral Ganda

1. Jik R adalah segi empat antara a

d JJf(x, y)dxdy — J Jf (x, y)dx (b \ c V a dy j b d \ J Jf(x,y)dy a V c dx j

2. Jika R adalah daerah antara axb dan c(x)yd(x) mka interasi daerah R :

b f d(x) JJf( x, y)dxdy = J Jf (x, y)dy a V c(x) \ dx y > *

3. Jika R adalah daerah antara cyd dan a(y) x (y) aka intgrasi daerah R :

d fb(y)  >

\Jf(x, y)dxdy = J Jf (x, y)dx dy

c V a(y) y

Contoh

Tentukan daerah R yang dibatasi oleh 1 < x 2 dan 1 y 3.

y 3 2 3 2 1 JJxdxdy — J( Jxdx )dy 1 1 — W2 I dy — 3 12 x Tentukan daerah R yang dibatasi oleh 0 < x 2 dan 0 y x.

2 fx         \ JJxdxdy = J Jxdy 0 2 dx V o y J(xy 1=odx 0 2 > J 0 — I x dx — J 3 Tentukan daerah R jika batasi oleh 0 < y 2, dan y x 2 .

2 v JJxdxdy — J Jxdx 0 2 r 2 \ dy V y J 2 !(x2 / 2)Jy 0 X — J 22 2 - 0 V 2 J dy — — 3