Topik Bahasan:
- Integrasi Substitusi (Integration by Subtitution);
- Integrasi Bagian (Integration by Parts);
- Integrasi Fraksi Parsial (Integration by Partial Fraction);
- Integral Ganda (Double Integral)
Slide: Metode Integral selengkapnya bisa Anda pelajari pada konten di bawah ini.
Slide: Metode Integral
Dr. Ruminta
Transcript
Beberapa Metode Integral:
Integrasi Substitusi
Metode integrasi yang berhubungan diferensiasi aturan rantai (chain rule). adalah fungsi dari x, maka :
dengan Jika u
Perhatikan fg' (f(x))f' (x)dx
Jika u = f (x), maka fg'(u)du =g(u) + C
Tahapan Integrasi Substitusi
1. Gunakan u = f(x), sebagai "fungsida/am".
2. Tentukan du = f'(x)dx
3. Substitusikan terhadap integral dalam bentuk u.
4. Integrasikan menghasilkan integral.
5. Substitusikan lagi untuk memperoleh jawaban dalam bentuk x.
1
Contoh Subtitusi Integral Indefinit
Tentukan integral : 1*3x2 (x3 - 5) dx
J
Gunakan : u = x + 5 maka du = 3x2 dx
2
dx =
2/ \9
3x (u)
2
du
3x2
du
j
u du
u
10
10
+ C =
x3 + 5
10
10
+ C
Subtitusi Intagrasi Substitusi Kambali
2
Tentukan integral : jW5x2 - 7dx
Jika: u — 5x2 - 7 maka du — 10xdx ^ dx —
du 10x
Jx^[5
x 7 dx —
f-l ul J10
/2
du
10 1
u
3/2
(
10J (3/2)
2 \3/2
5 x - 7
+ C Integrasi
15
+ C Subtitusi
3
Tentukan Integral : J
dx
x (ln x )3
1
Jika t u = lnx maka du = — dx atau dx = xdu
x
C dx C xdu f dx f -3 r
I———3- = I-7 atau I-7 = lu du
]x(lnx)3 ]x(lnx)3 *x (ln x )3 J
-2
= ^ + C -2
(ln x3 2
= ^-'— + C
-2
4
Tentukan integral : I
e3tdt
3t
Jika u — e +2 maka
e3t + 2 du
3e
3t
— dt
I
e dt . . . 7 —-— — —du
e3 + 2 3 Ju
ln
u
3
+ C
ln (e3t + 2)
+ C
Contoh Subtitusi Integral Definit
Tentukan Integral : (2x + 3)(x2 + 3x)1/2 dx
Jikaa u = x2 + 3x maka du = ( 2 x + 3 ) dx
Parhatikan parubahan batas
J0 (2 x + 3) (x2 + 3 x 3 dx = J0 u1/2 du
Batas baru :
2
= — u
3
.3/2
4
0
x = 0 ^ u = 0
x = 1 ^ u = (1)2 + 3(1) = 4
16
3
1
2
Tentukan integral : J02x(x2 + 3) dx
2
Jika u — x + 3
. du maka — — dx
2 x
Perhatikan perubahan batas
J02x (x2 + 3 ) dx — J0 u1/2du
Batas baru :
x — 0 ^ u — 0 x — 1 ^ u — (1)2 + 3 — 4
2
—u
3
3/2
4
0
16
3
Integrasi Bagian
Integrasi bagian merupakan metode integrasi yang berkatian dengan diferensiasi aturan perkalian (Product Rule)
d du dv
— (uv) = — v + u —
dx dx dx
^ d (uv) = v du + u dv ^ u dv = d(uv) - v du
Atau integrasi bagian disebut Antiderivative dari "Product Rule" :
J udv = uv - J vdu
Rumus Integrasi Bagian
d
f(x)g'(x)dx — J--(f(x)g(x))dx - If'(x)g(x)dx
dx
j f( x)g'( x)dx —f( x)g( x) - ]f'( x)g( x)dx
atau
Dimana :
v — g(x) dv — g'(x )dx u — f(x) du — f'(x )dx
Contoh Integrasi Bagian
1
Tentukan integral : J lnxdx
Gunakan u = ln x v = x
du = 1 dx dv = dx
x
J udv — uv - I vdu J ln (x )dx — x In (x)-|XX
Jadi :
J ln xdx — x ln x - x + C
2
Tentukan integral : Jxsin(x)dx.
Gunakan : u = x
du = dx v = - cos( x) dv = sin( x )dx
| udv = uv - J vdu
Jadi
Jxsin(x)dx = -xcos(x) - J(-cos(x))dx = -xcos(x) + Jcos(x)dx
= - x cos( x) + sin( x) + C.
3
Tentukan integral : J(x2 + x)(2x)dx
Gunakan : u — x2 + x
du — (2x +1 )dx
2
v — x
dv — 2xdx
| udv — uv - J vdu
J(x2 + x)(2x)dx — (x2 + x)(x2)- Jx2(2x + 1)dx + C
4 3 \ 3 2
— x + x - J (2x + x )dx + C
— 4 + 3 -1 4 -1 3 . C
— x + x x x + ^^
2 3
4
Tentukan :
j
x•cos x dx
Gunakan faktor
u v
- Jv du
Ju dv = uv - Jv du
u = x dv = cos x dx du = dx v = sin x
x • sin x - Jsin x dx
x • sin x + cos x + C
Tentukan
In x dx j \
Gunakan faktor
u v
- Jv du
i-
lnx-x- lx-— dx
x
x ln x - x + C
Ju dv-uv- jv du
u- ln x dv-dx
du - —dx v-x x
6
Tentukan : Jx2ex dx Ju dv = uv - Jv du
u v
- Jv du
x2 ex - Jex • 2x dx
x2 ex - 2 Jxex dx
2 x oi
x e - 2 xe -
x
J exdx
x2ex - 2xex + 2ex + C
x , ^ _x
u = x
dv = exdx
du = 2 x dx v = ex
u = x dv = exdx
du = dx
v = e
x
Rumus Alternatif Integrasi Bagian
f(x)g(x)dx — f(x) x I(g(x)) - Jd( f(x))I(g(x))dx
Atau
fgdx — f x I (g ) - D ( f) I ( g ) dx
Dimana : D(f(x)) — df(x)
dx
I(g(x)) — g(x)dx
Kef. :
Notasi D=Diferensiasi
I= Integrasi
Contoh Integrasi Bagian
Tentukan integrai : Jxexdx
\f(x)g(x)dx = f(x) x I(g(x)) - \D(f(x))I(g(x))dx
Gunakan : f(x) = x
g(x) = e
x
Jxexdx = xI(ex ) - Jd(x)I(ex )dx
= xex - J7 x exdx = xex - ex + C
1
2
Tentukan integral : Jx2 sin(x)dx
Jf(x)g(x)dx = f(x) x I(g(x)) - \D(f(x))I(g(x))dx
Gunakan : f(x) = x2
g(x) = sin( x)
Jx2 sin(x)dx = x2I(sin(x)) - Jd(x2 )I(sin(x))dx
= - x2 cos( x) + J2x cos( x )dx = -x2 cos(x) + [2x sin(x) - J2 sin(x)dx]
2
= -x cos(x) + 2xsin(x) + 2cos(x) + C
Integrasi Bagian Tabular
Integrasi bagian menggunakan tabel lebih cepat dan lebih mudah dilakukan, terutama untuk integrasi bagian yang berulang-ulang.
Ket. D= Diferensiasi I = Integrasi
Jika Dn(f) = 0, proses diferensiasi dan integrasi dihentikan.
Jfgdx — f XI ( g) -J D( f) I (g )dx
Jfgdx — +f x I (g) - D( f) 12 (g) + D2 (f) 13 (g).... ...(-1) "-11" ( g )
Tanda D I
+ f g
- D(f) I(g)
+ D2(f) I2(g)
- D3(f) I3(g)
.. ? ? ? ?
(-1)n-1 ? ? ? ?
(-1)n Dn(f) In(g)
Contoh Integrasi Bagian Tabular
Tentukan integral : J3x2ex/2dx —? f(x)=3x2
g (x) = e/2
Tanda D(f) I(g)
+ 3x2 ex/2
- 6 x N- 2ex/2
+ 6 ^ 4ex/2
- 0 ^ 8ex/2
Jfgdx = f x I (g) -J D(f) I (g )dx
J3x2exdx = + 3x2 ^-6x*4e*+ ^+ C
= 6x2ex/2 - 24xex/2 + 48ex/2 + C = (6x2 - 6x + 48)ex/2 + C
2
Tentukan integral : [x2ex dx
f(x) dan D g(x) dan I
2 x
+ x e
- 2 x x e
+ 2 x e
0 x e
Jx2ex dx = x2ex -2xex +2ex +C
3
Tentukan integral : fx3 sin x dx
f(x) dan D
+ x
3
- 3x2 + 6 x
- 6 0
g(x) dan I
sin x
- cos x
- sin x cos x
sin x
-x cos x + 3x sin x + 6x cos x - 6sin x + C
Integrasi Fraksi Parsial
Metode integrasi yang berhubungan dengan diferensiasi aturan hasil bagi (Quotient Rule) :
ftxldx
g(x)
Atau disebut antiderivative dari "Quotient Rule":
Metode integrasi fraksi parsial menggunakan aturan dekomposisi fraksi parsial dari fungsi
rasional. f(x) P(x)
—^—
g(x) q(x)
Dekomposisi Fraksi Parsial
P(x)
Ada 4 tipe dekomposisi fraksi parsial dari fungsi : —-——
Q(x)
1. Dekomposisi Fraksi Parsial Penyebut Linier (ax+b) :
P(x) = A1 + + An
(a1x + b1)(a2x + b2)...(anx + bn) (a1x + b1) (a2x + b2) (anx + bn)
2. Dekomposisi Fraksi Parsial Penyebut Linier Berulang (ax+b)k :
P(x) = A1 + + A,
(ax + b)k (ax + b) (ax + b)2 (ax + b) 3. Dekomposisi Fraksi Parsial Penyebut Faktor Kuadrat (ax2+bx+c) :
P(x) Ax + £
2 2 (ax + bx + c) ax + bx + c
4. Dekomposisi Fraksi Parsial Penyebut Faktor Kuadrat Berulang (ax2+bx+c)k :
P(x) = A7x + Bj + A2x + B2 + Akx + Bk
(ax2 + bx + c)k (ax2 + bx + c) (ax2 + bx + c)2 (ax2 + bx + c)k
Aturan Integrasi Fraksi Parsial
1. [—A—dx — — ln ax + b\ + K J ax + b a 1
r A A (ax + b) 2. f-dx — -+ K, l * 1
J/^.kV a 1 _ i '
(ax + b )l
3.
J :
ax + bx + c
atau J
Ax + B
(ax2 + bx+c)
-dx, l > 1
f Ax + B . A . J—;—:-dx — — ln
(2B - Ab / a )arctan
f 2ax+b ^
ax2 + bx + c
2a
ax2 + bc + c +
v
\/4ac - b2
j
V4ac - b2
+ K
Contoh Integrasi Fraksi Parsial
r 2
Tentukan integral : J ——1dx
2_ x2 1
Dekomposisi fraksi parsial:: xh=(x-TJfx+T)= xh+xh
Hitung bilangan A dan B :
2 = A + ^ A(x +1) + B(x -1)
x2 -1 x-1 x +1 (x- 1)(x +1) (x + 1)(x-1)
0.x + 2 (A + B)x + (A - B) \A + B = 0 f A = 1
O—=-=-=-Os Os
x2 -1 x2 -1 1 A - B = 2 IB = -1
2 11
x2 -1 x -1 x + 1
Jadi : J—22—dx = J—1—dx - J—1—dx = ln\x -1\ - ln|x +1\ + ^
x 1 x 1 x +1
1
2
Tentukan integral : J
4x2 + 4x - 4
3 + ~ 1
x + x x 1
A
Dekomposisi Fraksi Parsial :
dx
+
B
x + 1 ( x + 1 )
ABC
+-- +-o
4 x + 4 x - 4
x3 + x2 - x -1 x +1 (x +1)2 x -1
,2
A(x + 1)(x -1) + B(x -1) + C(x +1)) — 4x2 + 4x - 4
(x - 1)(x +1)
x3 + x2 - x -1
o
(A + C)x2 +(B + 2C)x - A - B + C _ 4x2 + 4x - 4
(x - 1)(x +1)
x3 + x2 - x -1
+
C
x - 1
A + C — 4 o \ B + 2C — 4
- A - B + C — -4
A — 3
oB — 2 C — 1
2
Maka
4 x + 4 x - 4
x3 + x2 - x -1 x +1
3 2 1
+-^ +
(x +1)
x -1
J-
4x + 4x - 4 , c 3 7 r 2 r 1 1
-dx +--dx +-dx
r Ji\2 Jx-1
3 2 _ ;
x + x x 1
fx — 4 , f
-—dx —
-v- i J
x +1 (x +1)
— 3 lnx +1
2
(x+1;
2
+ lnx -1
Untuk
2
(x+1)
dx Gunakan f-——-7
J (ax + b )7
dx —
A (ax + b 1
1 -1
+ K, l * 1
J
2
(x+1)
-dx — —
2 (x +1)
1-2
+ ^ —-2(x +1)-1 + ^ —-
Jadi J-
1 1 - 2 4x2 + 4x - 4
x 3 + x 2 - x - 1
x + x - x -1
2
(x + 1)
+^
dx — 3ln|x +1
2
(x +1)
+ lnx -1 + ^
3
Tentukan integral : J 33- 1 dx
Jika x3-1 = (x-1)(x2 + x + 1) maka 3 A Bx + C
+
x3-1 x-1 x2 + x + 1
Untuk menentukan bilangan A, B, dan C gunakan :
3 A(x2 + x + 1) Bx + C(x -1)
+
x3-1 (x-1)(x2 + x + 1) (x2 + x + 1)(x-1)
3 (A + B) x2 + (A - B + C) x + A - C
^^-=-
x3 -1 x3 -1
A + b = 0 a - b + C = 0 o A - c = 3
A = 1 b = -1. c = -2
3 = 1 x + 2 Jadi ——- =-- 2-7
x -1 x -1 x + x + 1
J-33—dx = J—-—dx - J
1
x + 2
x3 -1
x -1 J x2 + x + 1
dx
= In |x -1 - - J
1 r 2 x +1 . 3 f 1
^ x2 + x +1 2J x2 + x +1
dx Substitusikan:
u=x2+x+1
1 3
In |x -1 — In (x2 + x +1) — J
1
2 (x +1/2)2 + 3/4
dx
1
In | x -1 — In (x2 + x +1)-V3arctan
^2 x +1A
v V3 y
+ K
4
cx3 — x + 2 Tentukan integral : J—2-dx
x 1
Fraksi Parsial: x - x + 2 = x +
x2 -1 x2 -1
x3 - x + 2 2 1 1
= x + —=— = x +
x -1 x -1 x -1 x +1
Jadi integral dari :
ex3 -1 + 2 ,
J ~ dx \ x2 -1 = \ x + x -1 x + 1 dx y x x' + ln | x -1| - ln | x +1| +K ^ —+ ln
x-1 x +1
+ K.
5
Tentukan integral : J-
3x2 + 2
x(x2+ 2)
-dx
3 x 2 + 2 1 2 x Hasil Fraksi Farsial : ——-r — — +
x (x2 + 2) x x2 + 2
Gunakan integral subtitusi : t — x (x2 + 2), dt — (3 x3 + 2) dx
Jadi
j
3 x2 + 2 . cdt x (x2 + 2
dx — fd. — t
— In t + K — In
x(x2+2
+ K.
Integral Ganda
Integral ganda dari f(x, y) merupakan daerah R di dalam bidang xy didefinisikan :
JJf(x,y)dxdy =
(volume di atas R dan di bawah grafik f)- (volume di bawah R dan di atas grafik f).
Menghitung Integral Ganda
1. Jik R adalah segi empat antara a
d JJf(x, y)dxdy — J Jf (x, y)dx (b \ c V a dy j b d \ J Jf(x,y)dy a V c dx j
2. Jika R adalah daerah antara axb dan c(x)yd(x) mka interasi daerah R :
b f d(x) JJf( x, y)dxdy = J Jf (x, y)dy a V c(x) \ dx y > *
3. Jika R adalah daerah antara cyd dan a(y) x (y) aka intgrasi daerah R :
d fb(y) >
\Jf(x, y)dxdy = J Jf (x, y)dx dy
c V a(y) y
Contoh
Tentukan daerah R yang dibatasi oleh 1 < x 2 dan 1 y 3.
y 3 2 3 2 1 JJxdxdy — J( Jxdx )dy 1 1 — W2 I dy — 3 12 x Tentukan daerah R yang dibatasi oleh 0 < x 2 dan 0 y x.
2 fx \ JJxdxdy = J Jxdy 0 2 dx V o y J(xy 1=odx 0 2 > J 0 — I x dx — J 3 Tentukan daerah R jika batasi oleh 0 < y 2, dan y x 2 .
2 v JJxdxdy — J Jxdx 0 2 r 2 \ dy V y J 2 !(x2 / 2)Jy 0 X — J 22 2 - 0 V 2 J dy — — 3
Slide Matematika dan slide-slide lainnya yang ada di Site SmartStat dapat dipelajari pada tautan di bawah ini:
Daftar Slide Matematika
Daftar Seluruh Slide
Slide lainnya bisa Anda download :di sini