Slide: Operasi Fungsi

Operasi Fungsi

Operasi terhadap fungsi adalah penjumlahan, pengurang-an (selisih), perkalian (faktorisasi), dan pembagian.

Jika f(x) dan g(x) adalah fungsi maka :

Penjumlahan f(x) dan g(x) : ^ (f + g)(x) = f(x) + g(x)

2

3

4

Pengurangan f(x) dan g(x) : ^ (f - g)(x) = f(x)- g(x)

Perkalian f(x) dan g(x) : ^ (f.g)(x) = f(x).g(x)

f f(x)

Pembagian f(x) dan g(x) : ^ (—)(x) = 7

g g(x)

Contoh 1

Jika f(x) = 3x + 2 dan g(x) = 4 -5x, tentukan :

a. (f + g)(x) b. (f- g)(x)

c. (fxg)(x) d. (f/ g)(x)

Solusi

b

d

a

c

(f + g)(x) = fx) + g(x) = [3x + 2] + [4 - 5x] = 3x -5x + 2 + 4

= -2x + 6

(f- g)(x) = fx) - g(x) = [3x + 2] - [4 - 5x] = 3x + 5x + 2 - 4

= 8x-2

(fxg)(x) = [f(x)][g(x)] = (3x + 2)(4 - 5x) = 12x + 8 - 15x2 - 10x

= -15x2 + 2x + 8

(//)(x) = f (x)/ =

/g(x) 4 - 5 x

Contoh 1

Jikafx) = 2x, g(x) = x + 4, dan h(x) = 5 -x3, tentukan f + g)(2), (h - g)(2), (fx h)(2), dan (h / g)(2).

Solusi

Nilai fungsi untuk x = 2 adalah :

f(2) = 2(2) = 4 g(2) = (2) + 4 = 6

h(2) = 5 -(2)3 = 5 -8 = -3 Jadi

(f + g)(2) = f2) + g(2) = 4 + 6 = 10 (h - g)(2) = h(2) - g(2) = -3 -6 = -9 (f x h)(2) = f2) x h(2) = (4X-3) = -12 (h / g)(2) = h(2) / g(2) = -3 / 6 = -0.5

Contoh 1

Jika f(x) = 3x2-x + 4, tentukan bentuk sederhana dari eks-presi berikut dan tentukan untuk h = 0: f (x+h) - f (x)

h

Solusi

fx + h) = 3(x + h)2-(x + h) + 4

= 3(x2 + 2xh + h2) - x - h + 4 = 3x2 + 6xh + 3h2- x - h + 4 fx) = 3x2 - x + 4

f(x + h)-f(x) = [3x2 + 6xh + 3h22- x - h + 4] -[3x2- x + 4]

= 3x2-3x2 + 6xh + 3h2 - x + x - h + 4 -4 = 6xh + 3h2 - h

f (x + h) - f (x) = 6xh + 3h2 - h = 6x + 3h _ 1

h h Untuk h = 0, maka 6x + 3(0) -1 = 6x -1 Jadi bentuk sederhananya untuk h = 0 adalah 6x - 1

Fungsi Komposit

Jika f g: x, y — w adalah dua buah fungsi. Fungsi komposit fog didefinisikan : f og(x) = f(g(x))

Fungsi komposit f o g dapat didefinisikan dengan rumus tersebut jika range dari fungsi g terdapat dalam domain dari fungsi f.

Contoh

y = x 2 + 1

w

= 47

jx2 + 1 = f o g(x)

'J

y = g(x) = x +1

w = f(y) = 4y

w = Jy = y[x2+l = f o g(x)

x-axis y-axis w-axis

Jika fungsi f dan g adalah fungsi komposit yang dinyatakan dengan h = f o g.

1.Jika f dan g adalah naik, maka h juga naik.

2.Jika f naik dan g turun, maka h adalah tutun.

3.Jika f turun dan g naik, maka h adalah turun.

4.Jika f dan g adalah turun , maka h adalah naik.

Contoh 1

Jikaf(x) = 2x + 3 dan g(x) = -x2 + 5, tentukan (f of)(1) dan (

gog)(1).

( f of)(1) = f ( f (1))

=f (2( ) + 3) =f (2(1) + 3) =f (2 + 3) =f (5)

2( ) + 3 2(5) + 3

10 + 3 13

(g o g)(1) = g(g(1))

= g« )2 + 5) = g(-(1)2 + 5) = g(-1 + 5) = g(4)

-( )2 + 5 -(4)2 + 5

-16 + 5 -11

Contoh 2

Tentukan apakah f (x) = 3x -2 dan g(x) = (x + 2)/3 adalah saling invers.

Masukan g(x) ke dalam f (x):

( f o g)(x) = f (g(x)) / x + 2^

= f

= 3

V

3

x + 2

A

3

- 2

- (x + 2)-2 = x

Masukan f (x) ke dalam g(x): (go f )(x) = g(f (x))

= g (3x - 2)

3x - 2

\

3

+ 2

J

3x 3

= x

Ke dua cara menghasilkan x, jadi f (x) dan g(x) saling invers.

Contoh 1

JIka f (x) = 2x -1 dan g(x) = (1/2)x + 4, tentukan f ?1(x), g-1(x), (f o g)-1(x), dan g o f)(x).

Langkah pertama tentukan /-1(x), g -1(x), dan (f o g)-1(x):

f (x) = 2x - 1 y = 2x -1 y + 1 = 2x (y + 1)/2 = x (x + 1)/2 = y (x + 1)/2 = f(x)

g(x) = (1/2)x + 4 y = (1/2)x + 4 y -4 = (1/2)x 2(y-4) = x

2y -8 =x 2x - 8 = y 2x -8= g-1(x)

( f o g)(x) = f (g(x)) ( f o g)(x) = x + 7

=f ((1/2)x + 4) y = x + 7

= 2((1/2)x + 4) -1 y-7 = x

= x + 8-1 x-7 =y

= x + 7 x-7 = (fog)-'(x)

Invers ini digunakan untuk menentukan (g-1 of-1)(x):

(g-1 o f)(x) = g-1( f(x)) = g-1( (x + 1)/2 )

= 2( (x + 1)/2 ) - 8 = (x + 1) -8

= x -1 = (g-1 of)(x)

Jadi ((f o g)'1(x)) = (g o f)(x)).

Sehingga : (f o g-1(x) = (g-1 of)(x)

Contoh 1

Tentukan apakah f (x) = 3x -2 dan g(x) = (l/3)x + 2 adalah saling invers.

Masukan g(x) ke dalam f (x): (f o g)(x) = f (g(x))

f '3+2'

= 3

f x 0 - + 2

V 3 j

- 2

= (x + 6)-2 = x + 4

Masukan fx) ke dalam g (x): (g o f)(x) = g(f(x))

g (3 x - 2 ) = 3 (3 x - 2)+ 2

f

2

x — V 3 j

A o 4

+2 =x+—

3

Hasilnya bukan x, sehingga f (x) dan g(x) tidak saling invers.

Deformasi Fungsi

Translasi horizontal: g(x) = f (x + c)

Grafik ditranslasi c unit kekirijika c > 0 dan c unit kekananjika c < 0.

Translasi vertikal:

g(x) = f (x) + k

Grafik ditranslasi k unit ke arah atas (upward) jika k > 0 dan k unit ke arah bawah (downward) jika k < 0.

Perubahan amplitudo : g(x) = Af (x)

Amplitudo grafik meningkat A kali jika \A\ > 1 dan menurun A kali jika \A\ < 1. Jika A 0 grafik terbalik.

Perubahan skala : g(x) = f (ax)

Grafik di perkecil (compressed) jika out) jika \a \ < 1. Jika a 0 maka grafi

a\ > 1 dan diperbesar (stretched k dicerminkan terhadap sumbu y.

Contoh 1

Translasi horizontal dan vertikal dari fungsi fix) = x4

f(x)

f(x-2) + 1

Contoh 3 Perubahan amplitudo dari fungsi f(x)

y

x

Contoh 4 Translasi vertikal dan perubahan amplitudo f(x)

y

1.5 f(x)

f(x)+1.7

f(x)-1.7

0.5f(x)

x

Perubahan Skala dari fungsi f(x)

= x

2

f(x)=(2x)2

f(x)=x2

f(x)=( 1/2x)2

Fungsi Invers

Jika fungsi f: A — B adalah injektif, maka nilai x dapat ditentukan dari rumus y melalui persamaan y = f(x) dengan asumsi y berada pada range dari fungsi f Ini adalah definisi fungsi invers dari fungsif

Jika f: A —B adalah suatu fungsi dan fungsi g: B—A sehingga f og adalah identitas B dan g of adalah identitas A, maka fungsi f disebut invertible, dan fungsi g adalah invers dari fungsi f

Vb e B: f (g(b)) = b dan Va g A: f (g(a)) = a

Notasi

Notasi fungsi invers g(x) dari fungsi f(x) dinyatakan : f 1(x)

1

Jangan keliru dengan notasi f 1(x) dengan f(x) 1 =

f(x)

Secara geometrik fungsi invers (balikan) adalah fungsi cerminan dari suatu fungsi terhadap sumbu y = x. Jika f suatu fungsi satu-satu, maka fungsi balikan (f-1) didefinisikan oleh x = f-1(y), jika dan hanya jika y=f(x). Daerah domain f-1 adalah daerah range fungsif dan daerah range f-1 adalah daerah domain f.

f(x)

y P-1(b, a)

' o.

y = x

H-h

y = x

o P(a, b)

x

H-h

H-1-

f ~1(x)

x

Menentukan invers dari grafik

Invers adalah refleksi terhadap garis y = x. Untuk menentukan invers maka gambarlah garis y = x, gunakan sebagai cermin dua sisi pada garis tersebut, invers dapat ditentukan dengan me-refleksikan terhadap garis cermin tersebut.

Tahapan cara membuat grafik fungsi invers.

Menentukan Fungsi Invers

Untuk menemukan fungsi invers dari fungsi f(x) diperoleh dengan memecahkan variabel x dalam bentuk y dari persamaan y=f(x). Jika penyelesaiannya ada dan solusinya 'uniquemaka fungsi f(x) mempunyai fungsi invers, dan penyelesaian nya disebut fungsi invers.

Contoh 1

Tentukan invers dari fungsi : f(x) =

x +1 x - 2

Pecahkan variabel x dalam bentuk y : y =

x +1 x - 2

V =

x +1

^ x =

x - 2

1 + 2y V -1

^ v(x - 2) = x +1» (v - 1)x = 1 + 2y

Jadi invers dari f(x) adalah f(x) : f 1(x) =

1 + 2x x -1

Contoh 1

Tentukan invers dari y = x2 + 1, untuk x >0.

y-l = xJ

Jadi inversnya adalah y = -Jx-\? atau f-L(x) = Vx-1

y = x2 +1