Off Canvas

 

Topik Bahasan:

  • Penjumlahan dan Pengurangan Matriks;
  • Perkalian Skalar Matriks;
  • Perkalian Perkalian Matriks Identitas;
  • Aplikasi Perkalian Matriks;
  • Pembagian Matriks;
  • Perkalian Lansung (Direct Product);

Slide: Operasi Matriks selengkapnya bisa Anda pelajari pada konten di bawah ini.

Slide: Operasi Matriks

Author: Dr. Ruminta

Transcript

Operasi Matriks

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

•             Matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika mempunyai ukuran atau dimensi sama.

•             Matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

•             Matriks hasil penjumlahan atau pengurangan mempunyai ukuran yang sama dengan matriks asal.

•             Penjumlahan matriks adalah menambahkan elemen pada posisi yang sama pada matriks.

•             Pengurangan matriks adalah mengurangi elemen pada posisi yang sama pada matriks.

Jumlah dua matriks A=(aij) dan B=(bij) yang berukuran mxn :

A + B = (aij+bij)m x n

untuk i = 1, 2, m; j 1, 2, • • n*

Selisih dua matriks A=(aj dan B=(bij) yang berukuran mxn :

A - B = (arbij)m x n

untuk i = 1, 2, m; j 1, 2, • • n*

Contoh

f

A =

V

3^ 6

- 6 10 - 5 J

2 -1 0 4

B =

4 9

v1 -1

7 -35

2

J

                f              2 + 4       -1 + 7     3 + (-8) ^                                              f              66           - 5 1       

A + B =                  0 + 9       4 + 3       6 + 5                       —                           97           11          

                V-           ?6 +1     10 + (-1)               - 5 + 2 ,                                  V-           59           - 3 j        

                                2 - 4        -1 - 7      3 - (-8)1                                                2              -8            11 ^       

A - B =                   0 - 9        4-3          6 - 5        =             -              9              1              1             

                V-           -6 -1       10 - (-1)                - 5 - 2 j                   V-           7              11           - 7 j        

Contoh 2

A =

" 4           8"                            "3            7 "

9              1              B=           5              0

5              0                              5              2

A + B =

A - B =

4              + 3          8 + 7 9 + 5            1 + 0

5              + 5          0 + 2

4-3          8-7

9-5          1-0

5 - 5        0 - 2

7 15 14 1 10 2

1 4

1 1

0 - 2

Contoh 3

" 1           4 "                           "1            2"                            "2            6 "                                                          

2              5              +             3              4              —           5              9                                                             

3              6                              5              6                              8              12                                                          

"1            2"                            "1            2"                            1              2"                                            "3            6

                                +                                             +                                                                                            

_ 3          4 _                          _ 3          4 _                          3              4 _                                          _ 9          12

4 0 5 -13 2

+

1 1 1

3 5 7

5 1 6 2 8 9

Contoh 4

-3 10 2 -10 8 -6 0 1 0

5 4 3 2 1 0 -8 -10 -4

-3-5 10-4 2-3 -10-2 8-1 -6-0 0-(-8) 1 -(-10) 0 -(-4)

-8 6 -1 -12 7 -6 8 114

-2 0 4 3 -10 12 3 -2 -2

+

-4 6 0

-15 2 -4

6 7 1

-2-4 0+6 4+0 3-15 -10+2 12-4 3+6 -2+7 -2+1

-6 6 4 -12 -8 8 9 -9 -1

Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

(a). A + B = B + A               Komutatif            \

(b). A + B + C = C + B + A                               

(c). (A + B) + C = A + (B + C)          Asosiatif              

(d). A + 0 = A                     

(e). A - 0 = A                      

                                J

Perkalian Skalar Matriks

Jika k adalah bilangan real (skalar), maka perkalian skalar dengan matriks A=(ai7)mXn :

                r ka11    ka12       " ka1n   \             

k A =      ka21 • • •            ka22       ?• ka2 n • • •                    (kaij )mxn

                V kam1 kam2 * " kamny                              

                ^ auk     a12 k l    • a1nk ^                              

Ak =       a 21k • • • V am1k           a22k L a 2 k l m2                ' a2 nk • • • • a k y mn J                                ( aijk ) mxn

Contoh 1

Jika A =

A 2 -1 0 4

V

3 6

- 6 10 - 5 j

dan k — 2 maka :

r

kA —

V

2 x 2 2 x (-1) 2 x 3a f 2 x 4 2 x 6 2x10 2x(-5)

2 x 0 2 x (-6)

v

V

4              -2            6

0              8              12

12           20           -10

\

j

                f 2 x 2    -1 x 2     3 x 2 ^                   f 4           -2            6 1

Ak =       0 x 2       4 x 2       6 x 2       —           0              8              12

                V - 6 x 2                10 x 2     - 5 x 2 y                 v- 12      20           -10 j

Contoh 2

Jika A —

4 0 5 -13 2

dan B —

111

3 5 7

2 A — 2

4 0 5 -13 2

8 0 10 - 2 6 4

2 A - B — 2

                4 0          5                              1              1              1                              7              -1 9

2                                              -                                                              —                          

                -1 3         2                              3              5              7                              - 5           13

Jika A —

5 A — 5

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

maka 5 A

maka

5 x1 5 x 2 5 x 3 5 x 4 5 x 5 5 x 6

5 10 15 20 25 30

Sifat Perkalian Skalar Matriks

Jika A, B, C adalah matriks mxn, k1 dan k2 adalah

skalar maka :

(a)          klA = Ak1

(b)          (k^) A = kx(k2A)

(c)           1 A = A

(d)          (-1)A = -A

(e)          kj(A + B) = k1A + kxB

(f)           (k1 + k2) A = kjA + k2A

Perkalian Matriks

Jika A matriks ukuran mxp dan B matriks ukuranpxn. maka perkalian matriks :

r

AB =

a11 a12

a21 a22

V am1

a

m2

f

P

\

Z aikb

kj

V k=1

y

mxn

a

1P

\

a

2 P

a

r

mp y

b11 b

12

b21 b22

Vbp1 bp 2

untuk semua i = 1, 2,...., m; j = 1, 2, p.

b

b

2 n

b

pn

a11 a12

a

an

a 2

1 p

a

ip

aa

mi m 2

a

mp

bu b

21

b1, b2j

b

1n

b

2n

b • • • b • • • b

Up1        Upj         pn

c

11

ci1

c

m1

c1j

cij

cmj

c

1n

cin

c

mn

p

Dimana : cj — aA j + a2b2j + • + %bpj — Z akbj

k—1

Perkalian matriks : mengalikan elemen baris ke-i matriks A dengan elemen kolom ke-j matriks B dan menjumlahkannya.dimensi matriks hasil perkalian Dimensi:

AB

m*n

Contoh

1.

T2 -11

3 4 ^

x

2(3) + -1(5) 2(-9) + -1(7) 2(2) + -1 (-6) 3(3) + 4(5) 3(-9) + 4(7) 3(2) + 4(-6)

' 1 -25 10 29 1 -18

Contoh

                -2            3             

2. Jika A =            1              -4            dan

                6              0             

"-2          3

1              -4

6              0

-4 6 7 -13 -6 18

f

V

-1 3

-2 4

\

maka:

J

-2(-i;+3(-2) -2(3)+ 3(4) 1(-1 + -4 -2) 1(3)+-4(4)

6(-1)+0(-2) 6(3)+0(4)

r

3. A =

V

4 7 3 5

B

J

V

J

AB =

n ^9 - 2^ 6 8

r4 x 9 + 7 x 6 4 x (-2) + 7 x 8^ V 3 x 9 + 5 x 6 3 x (-2) + 5 x 6y

f

78 48

\

V57 34J

r

4. A =

V

5 8A 1 0 2 7

B

4 - 3 20

v

j

j

r

AB =

V

5 x (-4) + 8 x 2 5 x (-3) + 8 x 0

1              x (-4) + 0 x 2 1 x (-3) + 0 x 0

2              x (-4) + 7 x 2 2 x (-3) + 7 x 0

/

J

V

4              -15

4              -3

6              -6

J

5.

v0 2 y V

1 -1 02

v

yV

1 -1 02

\

y

/

6. A =

V

1 2 3

'1x1 + (-1) x 0 1 x (-1) + (-1) x 2a 0 x 1 + 2 x 0 0 x (-1) + 2 x 2

j

r1 - 3^ 0 4

v

j

r

V

r

3 2 1

\

B =

V

1              0              -2

0              2              1

-1            3              2

\

AB=

V

1x1+2 x 0+3x (-1) 1x 0+2 x 2+3x 3 3x1+2x0+1x(-1) 3x0+2x2+1x3

1x (-2)+2 x 1+3x 2 ^ 3x (-2) + 2 x 1 + 1x 2

y

V

- 2 13 6 2 7 - 2

A

y

Perkalian matriks adalah non-komutatif.

/

A =

V

0 0 0 1

\

j

/

, B =

V

00 10

A

J

AB =

(0 x 0 + 0 x 1 0 x 0 + 0 x

V

0 x 0 +1 x 1 0 x 0 +1 x 0

J

r

BA =

(0 x 0 + 0 x 0 0 x 0 + 0 x

V

1 x 0 + 0 x 0 1 x 0 + 0 x 1

J

V

r

V

00 10

00 00

\

J

\

J

Perkalian AB tidak sama dengan BA

Sifat Perkalian Matriks

Jika A adalah matriks ukuran mxn, matriks B dan C mempunyai ukuran yang memungkinkan untuk operasi pejumlahan dan perkalian maka :

(a). A(BC) = A(BC)

Asosiatif

(b).         A(B + C) = AB + AC Distributif Kiri

(c).         (B + C)A = BA + CA           Distributif Kanan

(d).         r(AB) = (rA)B      radalah skalar

(e).         ImA = A = AIn    Asosiatif

mn

Perkalian Matriks Identitas

Matriks identitas atau matriks satuan :

-Matriks bujur sangkar.

-Elemen pada diagonal utama bernilai 1.

-Elemen di luar diagonal utama bernilai 0.

Matriks identitas dinyatakan oleh I atau In di mana n adalah orde matriks.

Perkalian suatu matriks dengan matriks identitas :

AI = A

IA = A

AI = I A = A

1              2              3              1              0              0"                            "4            5              6

4              5              6              0              1              0              =             3              6              9

7              8              9              0              0              1                              7              8              9

1              0              0"            "1            2              3"                            "4            5              6

0              1              0              4              5              6              =             3              6              9

0              0              1              7              8              9                              7              8              9

1              0              0"            "1            0              0"                            "1            0              0

0              1              0              0              1              0              =             0              1              0

0              0              1              0              0              1                              0              0              1

Aplikasi Perkalian Matriks

1. Menghitung jumlah baris elemen Matriks. Perkalian matriks baris 1 dengan suatu matriks.

R = [1 1 1]

A =

1              4 7

2              5 8

3              6 9

Perkalian matriks baris 1 dengan matriks A menghasil-kan jumlah total baris matriks A

RA = [1 1 1]]

1              4 7

2              5 8

3              6 9

= [6 15 24]

2. Menghitung jumlah kolom elemen Matriks. Perkalian suatu matriks dengan matriks kolom 1

A=

1              4 7

2              5 8

3              6 9

C =

1 1 1

Perkalian matriks A dengan matriks kolom 1 mengha-silkan jumlah total kolom matriks A

                "1            4              7 "           1                              "12"

AC =       2              5              8              1              =             15

                3              6              9              1                              18

3. Menghitungperkalian skalar (Dot /inner product) dua vektor.

Perkalian matriks baris (vektor baris) dengan matriks kolom (vektor kolom) :

a

= [3 4 6]

b =

5 2 8

Perkalian matriks a dan b menghasilkan :

'5" 2 8

ab = [3 4 6]

= (3 x 5 4 x 2 6 x 8)= 71

Merupakan jumlah perkalian elemen-elemen pada posisi yang sama dalam kedua vektor.

4. Menghitungperkalian luar (outer product) dua vektor.

Perkalian matriks kolom (vektor kolom) dengan matriks baris (vektor baris) :

a

= [3 4 6]

b=

5 2 8

Perkalian matriks b dan a menghasilkan :

ba =

"5"                                          "15         20           30"

2              [3            4 6] =     6              8              12

8                                              24           32           48

Merupakan matriks hasil perkalian setiap pasangan elemen dari kedua matriks.

5. Menghitungjumlah kuadrat elemen matriks baris.

Perkalian matriks baris (vektor baris) dengan transpose-nya :

3

= [3 4 6]

a

a =

4

6

Perkalian matriks a dan a' menghasilkan :

3

(2 + 42 + 62 )= (9 +16 + 36) = 61

aa

'=[3 4 6]

4 6

Merupakan jumlah kuadrat dari elemen-elemen matriks baris.

6. Menghitungjumlah kuadrat elemen matriks kolom.

Perkalian matriks kolom (vektor kolom) dengan transpose-nya :

5

= [5 2 8]

a=

2 8

a

Perkalian matriks a' dan a menghasilkan :

5

(52 + 22 + 82) = (25 + 4 + 64) = 93

a a

= [5 2 8]

2 8

Merupakan jumlah kuadrat dari elemen-elemen matriks kolom.

7. Mengdeskripsikan sistem persamaan simultan. Jika ada sistem persamaan simultan seperti berikut:

px1 + qx2 + rx3 = M ax1 + bx2 + cx3 = N dx1 + ex2 + fx3 = O

Sistem persamaan simultan tersebut dapat dinyata-kan dengan perkalian matriks :

AX = B

di nama :

                p             q             r                              x1                           " M "

A =         a              b             c              X =          x2           B =          N

                d             e             f _                           _ x3 _                    O

Pembagian Matriks

Pembagian matriks biasanya dilakukan pada matriks bujur sangkar.

Jika A dan B matriks ukuran m*n (m=n), maka pembagian matriks A dengan matriks B :

A

Cmxn = ^             ^ C = AB

mxn

Dmxn = AnxL     ^ D = B.A-1

mxn

A-1 dan B-1 masing-masing invers matriks A dan B.

A.A-1=I dan        B.B-1=I

di mana I = matriks identitas

 

mc

A =

2 4 6 8

c=A=

B

2 4 6 8

1 2 3 4

C =

B =

1 2 3 4

^ C =

2              4                              1              2

                                2                             

6              8 _                          _3           4

2              4"                            1              2"

6              8                              3              4

= 2

"2            4"            "1            2"            -1            " 2           4"

_6           8 _          _3           4                              _6           8 J

1 0 0 1

= 21

- 2 3

1

-1

"2            0"                            "1            0"

                                = 2                         

_0           2                              _0           1_

Perkalian Lansung (Direct Product)

Perkalian langsung (direct) matriks disebut juga perkalian Kronecker matriks ):

Jika A matriks ukuran m*n dan B matriks ukuran pxq, maka perkalian langsung (direct/ Kronecker) A®B adalah matriks ukuran mp^nq yang digambarkan sebagai matriks partisi.

                a11 B     a12 B .   ?• ainB

A ® B = mxn pxq               a21B • • •           a22 B . • • • • 4 ?• a2 nB • • • •               

                a 1B m1                a 0B m2                .. a B mn              

                "1            2              2"                                                                            "1            1              2"           

A =         3              1              4__                                        B             =             2              2              1 __      

                0              2              1                                                                              _1           2              1             

                                                "1            1              2              2              2              4              2              2              4"

                                                2              2              1              4              4              2              4              4              2

                                                1              2              1              2              4              2              2              4              2

                                                3              3              6              1              1              2              4              4              8

A3x3 ® B3X3                                       6              6              3              2              2              1              8              8              4

                                                3              6              3              1              2              1              4              8              4

                                                0              0              0              2              2              4              1              1              2

                                                0              0              0              4              4              2              2              2              1

                                                0              0              0              2              4              2              1              2              1

Contoh 2

                                                1              -1            1              2

                " 1 2"                                                                    

A =         -1 3         B =          3              2              0              1

                — —                      -1            0              2              3

A2x2 ® Bix4

" 1           -1            1              2              2              -2            2              4"

3              2              0              1              6              4              0              2

-1            0              2              3              -2            0              4              6

-1            1              -1            -2            3              -3            3              6

- 3           -2            0              -1            9              6              0              3

1              0              -2            -3            -3            0              6              9 _

Operasi Baris Elementer

Definisi :

bjj = menukar baris ke-z dengan baris ke-y. bi(s)= mengalikan baris ke-z dengan s (s ^ 0) bij(s)=ganti baris ke-z dengan baru yang merupa-kan baris ke-z ditambah baris ke-y yang dikalikan dengan s. = bi + s.bj

Operasi baris elementer digunakan pada operasi eliminasi Gauss atau eliminasi Gauss Jordan.

onto

1.

2.

1              2              3

4              5              6

0              5              7

"4            5              6'

3              6              9

0              5              7

1              0              0" 0        1              0 0          0              1

b

12

b23(4)

b2=b2+4.b3

b32(4)

b3=b3+4.b2

1 0 0 0 1 0 0 4 1

b

4 5 6 1 2 3 0 5 7

4 5 6 3 26 37 0 5 7

2(3)

4 5 6 3 6 9 0 5 7

b32(-4) -?

b3=b3+(-4)b2

1 0 0 0 1 0 0 0 1


Slide Matematika dan slide-slide lainnya yang ada di Site SmartStat dapat dipelajari pada tautan di bawah ini:
Daftar Slide Matematika II
Daftar Seluruh Slide

Slide lainnya bisa Anda download :di sini

...