Definisi Pemrograman Linier

Pemrograman linier adalah metode optimasi untuk menemukan nilai optimum dari fungsi tujuan linier pada kondisi pembatasan-pembatasan (constraints) tertentu. Pembatasan-pembatasan tersebut misalnya keterbatasan sumberdaya :

1. Bahanmentah

2. Uang

3. Waktu

4. Tenaga kerja dll.

Persoalan Pemrograman linier dapat ditemukan pada berbagai bidang dan dapat digunakan untuk membantu membuat keputusan untuk memilih suatu alternatif yang paling tepat dan pemecahan yang paling baik (the best solution).

Aplikasi Pemrograman linier misalnya untuk keperluan :

1. Realokasi sumberdaya,

2. Produksi campuran,

3. Penjadwalan,

4. Keputusan investasi,

5. Perencanaan produksi,

6. Masalah transportasi, logistik, dll.

Elemen Pemrograman linier :

1. Variabel keputusan (decision variables) :

adalah variabel yang nilai-nilainya dipilih untuk dibuat keputusan.

2. Fungsi tujuan (objective function) : Z= f(xJ, x^, • .., xn) adalah fungsi yang akan dioptimasi (dimaksimumkan atau diminimumkan).

3. Pembatasan (constraints) : gi(xJ, x^, •.., xn ) < bi adalah pemtasan-pembatasan yang harus dipenuhi.

Pola umum Pemrograman linier

Menentukan variabel keputusan (decision variables) xp x2, xn sedemikian rupa untuk mengoptimalkan fungsi tujuan (objective function) f(x1, x2, .xn) yang memenuhi pem-batasan-pembatasan (constraints) g(x1f

) i

(i=1, 2, ..., m).

Variabel keputusan x1? x2, xn merupakan nilai non-negatif atau xj > 0 untuk semua j=1, 2, n :

1. Nilai variabel keputusan x1? x2, xn yang memenuhi semua pembatasan-pembatasan model disebut solusi feasible.

2. Nilai variabel keputusan x1, x2, xn yang memberikan nilai fungsi tujuan optimum (maksimum atau minimum) dan memenuhi pembatsan-pembatasan disebut solusi optimum.

Model Pemrograman Linier Maksimum: Tentukan variabel keputusan :

x 1, x2, xn

sedemikian rupa sehingga (s.r.s) :

z = c1 x1 + c2 x2+ ...+ cn xn fungsi tujuan maksimum dengan pembatasan-pembatasan (d.p):

a 11 xx + a 12 x2 + • • • + a1n xn — b1

a21 x1 + a22 X2 + • • • + a2n xn — b2

a i x + a 0x0 + ... + a x — b

m1 1 m2 2 mn n m

Di mana x1? x2, ..xn > 0

Model Pemrograman Linier Minimum : Tentukan variabel keputusan :

xJ, x2, xn

sedemikian rupa sehingga (s.r.s) :

z = c1 x1 + c2 x2+ cn xn fungsi tujuan minimum dengan pembatasan-pembatasan (d.p):

a 11 xi + a 12 x2 + • • • + ^in xn ^ bi

a21 x1 + a22 X2 + • • • + a2n xn — b2

a i x + a 0x0 + •.. + a x — b

m1 1 m2 2 mn n m

Di mana x1? x2, •.xn > 0

Penggunaan Pemrograman linier untuk mendekati dan merepresentasikan situasi kehidupan nyata menggunakan beberapa asumsi :

1. Proporsionalitas. Kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap fungsi tujuan dan pembatasan-pembatasan adalah proporsional langsung terhadap nilai variabel keputusan.

2. Aditivitas. Kontribusi terhadap fungsi tujuan dan pembatasan-pembatasan untuk beberapa variabel adalah independen (bebas) dari variabel keputusan yang lain sehingga kontribusi masing-masing variabel keputusan dapat digabungkan/ditambahkan menjadi kontribusi total.

3. Divisibilitas. Variabel keputusan adalah kontinue sehingga dapat diambil nilai fraksionalnya.

4. Deterministik. Semua parameter (fungsi tujuan, pembatasan-pembatasan, seluruh koefisien) diketahui dengan pasti dan tetap tidak berubah selama dilakukan kajian atau analisis.

Persoalan Pemrograman Linier

Persoalan Pemrograman linier adalah persoalan optimasi di mana :

1. Fungsi tujuan merupakan fungsi linier dari variabel keputusan.

2. Nilai variabel keputusan harus memenuhi pembatasan-pembatasan. Setiap pembatasan harus berbentuk persamaan atau ketidaksamaan linier.

3. Setiap variabel keputusan harus dibatasi yaitu non negatif.

Syarat dari Persoalan Pemrograman Linier

1. Ada beberapa kuantitas yang memungkinkan dioptimasi untuk digunakan sebagai tujuan.

2. Ada variabel-variabel yang dapat dibuat variabel keputusan

3. Ada pembatasan kemampuan dalam mencapai tujuan.

4. Ada langkah-langkah alternatif pemecahan yang dapat dipilih.

5. Tujuan dan pembatasan-pembatasan harus dapat diekspresikan dalam persamaan atau ketidaksamaan linier.

Tahapan Dalam Memformulasikan Persoalan Pemrograman Linier

1. Memahami permasalahan secara keseluruhan apakah persoalan tersebut adalah persoalan maksimum atau minimum.

2. Mengidentifikasi variabel keputusan.

3. Mendeskripsikan fungsi tujuan sebagai kombinasi linier dari variabel keputusan.

4. Mendeskripsikan pembatasan-pembatasan sebagai kombinasi linier dari variabel keputusan.

5. Mengidentifikasi batas bawah atau batas atas variabel keputusan.

6. Mengekspersikan semua hasil identifikasi tersebut dalam formula matematika.

Contoh 1.

Formulasikan persoalan Pemrograman linier berikut.

Suatu perusahaan makanan akan memproduksi dua jenis makanan yaitu brownie kukus dan eskrim coklat. Satu satuan brownie kukus diperlukan bahan 4 ons coklat dan 2 ons gula. Sedangkan satu satuan eskrim coklat diperlukan bahan 2 ons coklat dan 2 ons gula. Perusahaan tersebut mempunyai dua buah bahan mentah yaitu coklat murni dan gula yaitu masing-masing 60 kg dan 48 kg. Harga satuan brownie kukus Rp. 40 ribu dan eskrim coklat Rp. 20 ribu. Berapa banyak brownie kukus dan eskrim coklat yang harus diproduksi supaya diperoleh hasil penjualan yang maksimum dengan memanfaatkan semua bahan mentah tersebut.

Solusi

1. Persoalan Pemrograman tersebut adalah persoalan maksimum.

2. Variabel keputusan :

Xj = brownie kukus x2 = eskrim coklat

3. Fungsi tujuan sebagai kombinasi linier variabel keputusan

z = 40xJ + 20x2 (Maksimum)

4. Pembatasan sebagai kombinasi linier variabel keputusan :

4xJ + 2x2 60 (coklt)

2xJ + 2x2 48 (gula

5. Batas bawah dan atas variabel keputusan :

xJ > 0 dan x2 ^ 0

6. Formulasi matematika persoalaan Pemrograman tersebut:

Cari xJ dan x2

s.r.s : z = 40xJ + 20x2 (maksimum) d.p. : 4xJ + 2x2 < 60

2xJ + 2x2 48 xJ, x ^ 0

Contoh 2.

Formulasikan persoalan Pemrograman linier berikut.

Suatu perusahaan Garmen akan memproduksi dua jenis pakaian yaitu baju dan celana panjang. Proses produksi meliputi memotong, menjahit, dan packaging. Perusahaan tersebut mempekerjakan 25 orang pada bagian memotong, 40 orang pada bagian menjahit, dan 5 orang pada bagian packaging. Semua tenaga kerja tersebut bekerja 8 jam per hari selama 5 hari kerja dalam seminggu.

Tabel berikut menunjukkan waktu yang diperlukan dan keuntungan (profit) per satuan untuk pakaian tersebut.

Garmen Memotong Menjahit Packaging Profit (Rp)

Baju 1 2 0.2 80

Celana Pjng 2 2 0.1 120

Berapa produksi pakaian optimum mingguan pada perusahaan tersebut.

Solusi

1. Persoalan Pemrograman tersebut adalah persoalan maksimum.

2. Variabel keputusan :

xJ = baju

x2 = celana panjang

3. Fungsi tujuan sebagai kombinasi linier variabel keputusan :

z = 80xJ + J20x2 (Maksimum)

4. Pembatasan sebagai kombinasi linier variabel keputusan :

xJ + 2x2 25*8*5 memotong) 2xJ + 2x2 40*8*5 (menjahit) 0.2xJ + .Jx2 < 5*8*5 (packaging)

5. Batas bawah dan atas variabel keputusan :

xJ > 0 dan x2 > 0

6. Formulasi matematika persoalaan Pemrograman tersebut:

Cari x1 dan x2

s.r.s : z = 80x1 + 120x2 (maksimum) d.p. : x1 + 2x2 < 1000

2x1 + 2x2 1600 0.21 + 0.1x2 < 200

x1, x2 > 0

Contoh 3.

Formulasikan persoalan Pemrograman linier berikut.

Suatu perusahaan mobil akan memasang iklan di media cetak dan televisi. Perusahaan tersebut bertujuan memlilih cara beriklan yang paling efektif sehingga biayanya minimum dan sasaran iklan mencapai lebih dari 40 juta orang yang diantaranya 25 juta orang berpendapatan lebih dari Rp. 5 juta/bulan. Biaya memasang iklan di media cetak sebesar Rp. 2 M dan di televisi sebesar Rp. 8 M.

Pembaca media cetak sebanyak 4 juta orang dan penonton televisi sebanyak 10 juta orang. Di antara pembaca media cetak terdapat 2 juta orang berpendapatan lebih dari Rp. 5 juta/bulan dan di antara penonton televisi terdapat 1 juta orang berpendapatan lebih dari Rp. 5 juta/bulan.

Solusi

1. Persoalan Pemrograman tersebut adalah persoalan minimum.

2. Variabel keputusan :

x1 = media cetak x2 = televisi

3. Fungsi tujuan sebagai kombinasi linier variabel keputusan :

z = 2x1 + 8x2 (Minimum)

4. Pembatasan sebagai kombinasi linier variabel keputusan :

4x1 + 10x2 > 40 (pembaca media cetak& penonton televisi) 2x1 + x2 > 25 (pendapatan lebih dari Rp 5 juta/bulan)

5. Batas bawah dan atas variabel keputusan :

xJ > 0 dan x2 > 0

6. Formulasi matematika persoalaan Pemrograman tersebut:

Cari xJ dan x2

s.r.s : z = 2xJ + 8x2 (minimum) d.p. : 4xJ + J0x2 > 40

2xJ + x2 > 25 xJ, x2 > 0

Contoh 4.

Formulasikan persoalan Pemrograman linier berikut.

Sesorang berusaha agar dari bahan makanan yang dikonsumsinya mendapatkan zat-zat makanan sesuai dengan kebutuhan tubuhnya. Seorang dewasa membutuhkan zat-zat makanan untuk keperluan tubuh setiap harinya sebagai berikut.

Zat Makanan Kebutuhan Minimum (gr)

Protein 1000

Karbohidrat 4000

Lemak 2000

Mineral 100

Jenis makanan yang tersedia, harga, dan kandungan zat-zat makanannya disajikan pada tabel berikut.

Jenis Harga (Rp.) Protein Karbohidrat Lemak Mineral

Makanan (gr) (gr) (gr) (gr)

Nasi 2000 100 600 100 10

Daging 4000 300 100 400 20

Pisang 1000 100 200 100 20

Susu 2000 200 300 200 30

Berapa biaya minimum yang harus dikeluarkan seorang dewasa yang setiap harinya mengkonsumsi 4 jenis makanan tersebut agar mendapatkan zat-zat makanan sesuai dengan kebutuhan tubuhnya.

Solusi

1. Persoalan Pemrograman tersebut adalah persoalan minimum.

2. Variabel keputusan :

xJ = Nasi x3 = Pisang

x2 = Daging x4 = Susu

3. Fungsi tujuan sebagai kombinasi linier variabel keputusan :

z = 2000xJ + 4000x2 + J000x3 + 2000x4 (Minimum)

4. Pembatasan sebagai kombinasi linier variabel keputusan :

J00xJ + 300x2 + J00x3 + 200x4 > J000 (protein)

600xJ + J00x2 + 200x3 + 300x4 > 4000 (karbohidrat)

J00xJ + 400x2 + J00x3 + 200x4 > 2000 (lemak)

J0xJ + 20x2 + 20x3 + 30x4 > J00 (mineral)

5. Batas bawah dan atas variabel keputusan :

xJ > 0, x2 > 0, x3 > 0, dan x4 > 0

6. Formulasi matematika persoalaan Pemrograman tersebut: Cari x2, x3, dan x4

s.r.s : z = 2000x1 + 4000x2 + 1000x3 + 2000x4 (Minimum) d.p. : 100xj + 300x2 + 100x3 + 200x4 > 1000 600x1 + 100x2 + 200x3 + 300x4 > 4000 100x1 + 400x2 + 100x3 + 200x4 > 2000 10x1 + 20x2 + 20x3 + 30x4 > 100 x1 > 0, x2 > 0, x3> 0, x4 > 0

Penyelesaian Pemrograman Linier Dengan Metode Grafik

Metode grafik dipergunakan untuk menyelesaikan

Pemrograman linier yang mempunyai dua (atau kadang-

kadang 3) variabel keputusan.

Metode grafik terdiri dari dua fase :

1. Menentukan ruang/daerah penyelesaian (solusi) yang feasible (menemukan nilai variabel keputusan di mana semua pembatasan bertemu).

2. Menentukan solusi optimal dari semua titik di ruang/ daerah feasible.

Tahapan menentukan ruang/daerah feasible :

1. Gambarlah sumbu vertikal dan sumbu horizontal (sumbu 2 dimensi) yang mewakili nilai variabel keputusan.

2. Semua variabel keputusan adalah non-negatif menunjukkan bahwa daerah feasible hanya berada pada kuadran pertama.

3. Gambarlah semua pembatasan sebagai garis (setiap ke-tidaksamaan pembatasan dirubah menjadi persamaan). Untuk menggambar garis tersebut gunakan (x1, 0) dan (0, x2)

4. Pada setiap ketidaksamaan pembatasan, tentukan daerah feasible-nya.

5. Tentukan interseksi dari semua daerah feasible yang di-definisikan semua pembatasan. Langkah ini akan menghasilkan daerah feasible.

Tahapan menentukan solusi optimum (metode isoline):

1. Tentukan kemiringan garis fungsi tujuan (merupakan himpunan infinitif dari isoline).

- Pilihlah dua titik tertentu di daerah feasible.

- Gambarlah garis fungsi tujuan yang mengenai titik-titik tersebut.

2. Tentukan arah peningkatan (penurunan) dari fungsi tujuan persoalan maksimum (minimum). Pilihlah dua garis (isoline) fungsi tujuan di daerah feasible dan evaluasi nilai fungsi tujuan pada kedua garis isoline tersebut.

3. Ikuti arah peningkatan atau penurunan sampai mencapai titik batas (sudut) dimana peningkatan atau penurunan dari fungsi tujuan keluar dari daerah feasible.

4. Solusi optimum diperoleh dari titik batas di mana peningkatan atau penurunan dari fungsi tujuan (z) akan meninggalkan daerah feasible.

Tahapan menentukan solusi optimum (metode titik ekstrim):

1. Tentukan interseksi dari semua daerah feasible yang didefinisikan semua pembatasan sehingga diperoleh daerah feasible.

2. Tentukan titik ekstrim (sudut) dari daerah feasible. Setiap titik ekstrim merupakan titik interseksi dari dua pembatasan linier.

3. Tentukan nilai fungsi tujuan pada setiap titik ekstrim daerah feasible. Solusi optimum terletak pada salah satu titik ekstrim daerah feasible.

Menentukan Daerah Feasible

Pembatasan 2

X

ffililii

wBsBBum

Fea w$B

Pembatasan 3

Pembatasan 4

Pembatasan 1

3 4

Xi

5

Solusi Optimum Metode Isoline

Pembatasan 2:

Solusi Optimum Metode Titik

Ekstrim

Contoh 1.

Tentukan solusi dari persoalan Pemrograman linier berikut.

Cari x1 dan x2

s.r.s : z = 350x1 + 300x2 (maksimum) d.p. : x1+ x2 < 200

9x1 + 6x2 1566 12x + 16x2 0

Solusi

Gambarlah semua garis pembatasan pada bidang datar (sumbu vetikal dan horizontal) untuk mencari daerah feasible,

x1+ x2 200 ?? x1 + x2 = 200

9x1 + 6x2 1566 9x1+ 6x2 = 1566

12x1 + 16x2 2880 — 1x1 + 16x2 = 2880

Grafik Pembatasan Pertama

X

2

250

200

150

100

50

0

0

Garis pembatasan pertama

X1 + X2 = 200

50 100 150 200 250

Xi

Grafik Pembatasan Kedua

X2 250

(0, 261)

200

150

100

50

0

0

50

Garis pembatasan kedua 9X1 + 6X2 = 1566

(174, 0)

100 150

200

250

X1

X2 250

200

150

100

50

0

0

Grafik Pembatasan Ketiga

'(0, 180)

50

Garis pembatasan ketiga 12X1 + 16X2 = 2880

^ (240, 0)

100 150 200 250

X1

Solusi optimum dengan Metode Isoline

Grafik Isoiine 2 dari Fungsi Tujuan

Solusi optimum diperoleh x1=122 dan x2 =78 dengan nilai Z=66100

X2 250

200

150

100

50

0

0

Solusi optumum dengan metode titik ekstrim

Solusi Optimum pada (122, 78)

50

Z2 = 60,900 (174, 0)

100

150

200

250

X1

Solusi optimum diperoleh x1=122 dan x2 =78 dengan nilai Z=66100

Contoh 2.

Tentukan solusi dari persoalan Pemrograman linier berikut.

Cari x1 dan x2

s.r.s : z = 3x1 + 2x2 (maksimum) d.p. : x1 + 2x2 < 6

2x1 + x2 8 -x1 +x2 < 1

x2 < 2

x1, x2 > 0

Solusi

1. Gambarlah semua garis pembatasan pada bidang datar (sumbu vetikal dan horizontal) untuk mencari daerah feasible,

x1 + 2x2 6 x1 + x2 6

2x1 + x2 8 2x1 +x2 8

-x1 + x2 1 -x1 +x2 1

x2 2x2 = 2

Daerah feasible

Pembtasan 2: 2X1 + X2

Xi

Pembtasan 3: -X1 + X2

Daerah Feasible

(0, 0)

Pembtasan 4: X2< 2

Pembtasan 1: X1 + 2X2

2 3 4 5 6 7

Xi

2. Menentukan solusi optimum dari fungsi tujuan : a. Metode Isoline

Z = 3X1 + 2X2 : maksimum

X2

z = 9

z = 12

Titik 2: X1 =4/3, X2= 1 Z= 6

Z = 12.66

r

Titik: X1 =3.33, X2 = 1.33, Z = 12.66 (Solusi optimum)

I '2 3

Zi

Titik 1: X1 =2, X2 = 0: Z = 6

Solusi optimum diperoleh x1=3.33 dan x2 =1.33 dengan nilai Z=12.66

a. Metode TitikEkstrim (sudut)

Z = 3X1 + 2X2 : maksimum

Solusi optimum diperoleh x1=3.33 dan x2 =1.33 dengan nilai Z=12.66

Contoh 3.

Tentukan solusi dari persoalan Pemrograman linier berikut.

Cari x1 dan x2

s.r.s : z = 3x1 + 2x2 (maksimum) d.p. : 2x1+ x2 < 100

x1+ x2 80 x1 0

Solusi

Gambarlah semua garis pembatasan pada bidang datar (sumbu vetikal dan horizontal) untuk mencari daerah feasible,

2x1+ x2 100 ?? 2x1+ x2 = 100

x1+ x2 x1+ x2 = 80

x1 4 — x1 = 40

Solusi optimum dengan Metode Isoline

X2

o o

Z=3x1 +2x2: maksimum

)atasan 1

Daerah Feasible

Daerah DGFEH

00 o

Pembatasan 3

o o

J* o

ro o

H

batasan 2

10 20 40 50 60 80 X1

Solusi optimum diperoleh x1=20 dan x2 =20 dengan nilai Z=180

Solusi optimum dengan Metode Titik Ekstrim

X2

H

Z=3x1 +2x2: maksimum

Pembatasan 1

Daerah Feasible

Daerah DGFEH

Pembatasan 3

Pembatasan 2

Titik H : (0, 0) : Z1 =0 Titik E : (40, 0) : Z2=120 Titik D : (0, 80) : Z3=160 Titik F : (40, 20) : Z4=160

Titik G : (20, 60) : Z5=180

(Solusi optimum)

10 20 40 50 60 80 X1

Solusi optimum diperoleh x1=20 dan x2 =20 dengan nilai Z=180

Contoh 4.

Tentukan solusi dari persoalan Pemrograman linier berikut.

Cari x1 dan x2

s.r.s : z = x1+ x2 (minimum) d.p. : 2x1 + x2> 6

3x1 + 5x2 > 15 x1, x2 > 0

Solusi

Gambarlah semua garis pembatasan pada bidang datar (sumbu vetikal dan horizontal) untuk mencari daerah feasible,

2x1 + x2 > 6 — 2x1 + x2 — 6

3x1 + 5x2 > 15 —

3 x1

+ 5x2 — 15

Grafik Pembatasan

A. Solusi optimum dengan Metode Isoline

Z = X1 + X2 : minimum

X

Solusi optimum

1 2 3 4 5 6 X1

Solusi optimum diperoleh x1=2 dan x2 =2 dengan nilai Z=4

B. Solusi optumum dengan metode titik ekstrim

X

Solusi optimum

Z = X1 + X2 : minimum

Titik 3 (0, 6): Z3= 6

Titik 2 (2, 2): Z2= 4

Titik 1 (5, 0): Z1= 5

1 2 3 4 5 6 Xi

Solusi optimum diperoleh x1=2 dan x2 =2 dengan nilai Z=4

Contoh 5.

Tentukan solusi dari persoalan Pemrograman linier berikut.

Cari x1 dan x2

s.r.s : z = 6x1 + 5x2 (minimum)

d.p. : x1+ 2x2> 40 2x1 + x2 > 40 x1, x2 > 0

Solusi

Gambarlah semua garis pembatasan pada bidang datar (sumbu vetikal dan horizontal) untuk mencari daerah feasible,

x1+ 2x2 > 40 — x1+ 2x2 — 40 2x1 + x2 > 40 — 2x1 + x2 — 40

Grafik Pembatasan

A. Solusi optimum dengan Metode Isoline

X2

F 10 20 30 40 50 X1

Solusi optimum diperoleh x1=13.3 dan x2 =13.3 dengan nilai Z=146.6

B. Solusi optumum dengan metode titik ekstrim

X2

Solusi optimum

F 10 20 30 40 50 X1

Solusi optimum diperoleh x1=13.3 dan x2 =13.3 dengan nilai Z=146.6

Penyelesaian Pemrograman Linier Dengan Metode Subtitusi

Penyelesaian Pemrograman linier dapat dilakukan dengan metode subtitusi.

Tahapan metode subtitusi:

1. Merubah ketidaksamaan pembatasan menjadi persamaan pembatasan dengan cara menambahkan variabel slack (surplus) untuk persoalan maksimum (minimum). Variabel slack (surplus) adalah variabel yang ditambahkan (dikurangkan) di sebelah kiri tanda ketidaksamaan pembatasan, agar ketidaksamaan pembatasan berubah menjadi kesamaan pembatasan. Persoalan Pemrograman linier, di mana ketidaksamaan pembatasan sudah berubah menjadi kesamaan pembatasan disebut persoalan Pemrograman linier standar.

2. Tentukan seluruh pemecahan dasar dari persamaan pembatasan dan tentukan pemecahan yang memenuhi semua syarat pembatasan (solusi feasible).

3. Tentukan salah satu dari solusi feasible tersebut yang memenuhi syarat fungsi tujuan atau solusi optimum.

Persoalan Pemrograman linier :

Tentukan :

s.r.s : z = c1 x1 + c2 x2+ ...+ cn xn (optimum) d.p: a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn ) b1

a2i x1 + a22x2+ a2n xn ) b2

a

m1

x + a 0x0 + .. + a x ) b

1 m2 2 mn n m

~x 1, x2, . • xn — 0

Persoalan Pemrograman linier standar:

Tentukan : s.r.s : z =

Xj, X2> '"> sj) S2> '"> s

n

d.p:

: c1 X1 + c2 x2+ •..+ cn xn + 0 sx + 0 s2 + (optimum)

a a Xj + a 12 X2 + • ^ + aln Xn ±

a21 X1 + a22 X2 + • " + a2n Xn ± S2_ b2

. + 0 s

n

a 1X1 + a 0X0 + •..+ a X ± s = b

m1 1 m2 2 mn n n m

X1' X2? • * Xn> SP S2> '"> Sn ~ 0

Variabel tambahan pada persoalan Pemrograman linier,

• Pada persoalan maksimum, variabel s (slack) selalu ditambahkan ke sisi sebelah kiri pada pembatasan

• Pada persoalan minimum, variabel s (surplus) selalu dikurangkan ke sisi sebelah kiri pada pembatasan

Contoh 1.

Tentukan solusi dari persoalan Pemrograman linier berikut.

Cari x1 dan x2

s.r.s : z = 8x1 + 6x2 (maksimum) d.p. : 4x1 + 2x2 < 60

2x1 + 4x2 0

Solusi

1. Persoalan Pemrograman linier standar : Cari x1, x2, sp dan s2

s.r.s : z = 8x1 + 6x2 + 0s1 + 0s2 (maksimum) d.p. : 4x1 + 2x2 +s1 = 60

2x1 + 4x2 + s2 = 48

x1 , x2, s1, s2 > 0

2. Solusi feasible :

a. xj=0 danx2=0,

4 x1 + 2 x2 + s1 = 60 ^ s1 = 60

2x1 + 4x2 + s2 = 48 ^ s2 = 48 ^ Z = 8x1 + 6x2 + 0s1 + 0s2 = 0

b. xj=0 dan sj=0,

4x1 + 2x2 + s1 = 60 ^ 2x2 = 60 ^ x2 = 30

2x1 + 4x2 + s2 = 48 ^ 4 x2 + s2 = 48 ^ s2 = -72 (tidak feasible) ^ Z = tidak dihitung

c. xj=0 dan s2=0,

4 x1 + 2 x2 + s1 = 60 ^ 2 x2 + s1 = 60 ^ s1 = 36

2 x1 + 4 x2 + s2 = 48 ^ 4 x2 = 48 ^ x2 = 12 ^ Z = 8 x1 + 6 x2 + 0s1 + 0s2 = 0

Z = 8(0) + 6(12) + 0(36) + 0(0) = 72

d. x2=0 dan s}=0,

4x1 + 2x2 + s1 = 60 ^ 4x1 = 60 ^ x1 = 15

2x1 + 4x2 + s2 = 48 ^ 2x1 + s2 = 48 ^ s2 = 18 ^ Z = 8x1 + 6 x2 + 0s1 + 0s2 = 0

Z = 8(15) + 6(0) + 0(0) + 0(18) = 120

e. x2=0 dan s2=0,

4 x1 + 2 x2 + s1 = 60 ^ 4 x1 + s1 = 60 ^ s1 = -36 (tidak feasible) 2 x1 + 4 x2 + s2 = 48 ^ 2 x1 = 48 ^ x1 = 24 ^ Z = tidak ada

f. sj=0 dan s2=0,

4 x1 + 2 x2 + s1 = 60 ^ 4 x1 + 2 x2 = 60 ^ x2 = 30 - 2 x1 2 x1 + 4 x2 + s2 = 48 ^ 2 x1 + 4 x2 = 48 ^ 2 x1 + 4(30 - 2 x1) = 48

2x1 +120 - 8x1 = 48 ^ -6 x1 = -72 ^ x1 = 12 2 x1 + 4 x2 = 48 ^ 2(12) + 4x2 = 48 ^ x2 = 6 ^ Z = 8 x1 + 6 x2 + 0s1 + 0s2 = 0

Z = 8(12) + 6(6) + 0(0) + 0(0) = 132

Jadi solusi optimum terjadi pada Z=132 dengan x2=12 dan x2=6.

Contoh 2.

Tentukan solusi dari persoalan Pemrograman linier berikut.

Cari x1 dan x2

s.r.s : z = 2.5x1 + 2x2 (maksimum) d.p. : x1 + 2x2 < 800

3x1 + 2x2 0

Solusi

1. Persoalan Pemrograman linier standar : Cari x1, x2, sp dan s2

s.r.s : z 2.5x1 + 2x2 + 0s1 + 0s2 (maksimum) d.p. : x1 + 2x2 = 800

3x1 + 2x2 = 900

x, x2, s2 > 0

2. Solusi feasible :

a. x}=0 danx2=0,

x1 + 2 x2 + s1 = 800 ^ s1 = 800

3x1 + 2 x2 + s2 = 900 ^ s2 = 900 ^ Z = 2.5 x1 + 2 x2 + 0s1 + 0s2

Z = 2.5(0) + 2(0) + 0(800) + 0(90) = 0

b. xj=0 dan sj=0,

x1 + 2 x2 + s1 = 800 ^ 2x2 = 800 ^ x2 = 400

3x1 + 2 x2 + s2 = 900 ^ 2 x2 + s2 = 900 ^ s2 = 100 ^ Z = 2.5 x1 + 2 x2 + 0s1 + 0s2

Z = 2.5(0) + 2(400) + 0(0) + 0(100) = 800

c. xj=0 dan s2=0,

x1 + 2 x2 + s1 = 800 ^ 2 x2 + s1 = 800 ^ s1 =-100 (tidak feasible) 3x1 + 2 x2 + s2 = 900 ^ 2x2 = 900 ^ x2 = 450 ^ Z = tidak dihitung

d. x2=0 dan sj=0,

x1 + 2x2 + s1 = 800 ^ x1 = 800

2 x1 + 2 x2 + s2 = 900 ^ 2 x1 + s2 = 900 ^ s2 = 900 - 2(800) = -700 (tidak feasible)

^ Z = tidak dihitung

e. x2=0 dan s2=0,

x1 + 2 x2 + s1 = 800 ^ x1 + s1 = 800 ^ s1 = 500

3x1 + 2 x2 + s2 = 900 ^ 3x1 = 900 ^ x1 = 300 ^ Z = 2.5 x1 + 2x2 + 0s1 + 0s2

Z = 2.5(300) + 2(0) + 0(500) + 0(0) = 750

f. sj=0 dan s2=0,

x1 + 2x2 + s1 = 800 ^ x1 + 2x2 = 800 ^ 2x2 = 800 - x1 3x1 + 2 x2 + s2 = 900 ^ 3x1 + 2x2 = 900 ^ 3x1 + (800 - x1) = 900

3x1 + 800 - x1 = 900 ^ 2 x1 = 100 ^ x1 = 50 3x1 + 2x2 = 900 ^ 3(50) + 2x2 = 900 ^ 2x2 = 750 ^ x2 = 375 ^ Z = 2.5x1 + 2x2 + 0s1 + 0s2

Z = 2.5(50) + 2(375) + 0(0) + 0(0) = 875

Jadi solusi optimum terjadi pada Z=875 dengan x}=50 dan x2 375.

Contoh 3.

Tentukan solusi dari persoalan Pemrograman linier berikut.

Cari x1 dan x2

s.r.s : z = 5x1 + 3x2 (minimum) d.p. : 2x1+ x2 > 3

x1 + x2 > 2 x1, x2 > 0

Solusi

1. Persoalan Pemrograman linier standar : Cari x1, x2, sp dan s2

s.r.s : z = 5x1 + 3x2 +0s1 +0s2 (minimum) d.p. : 2x1 + x2-s1 = 3 x1 + x2 - s2 3

x, x2, s 1, s2 > 0

2. Solusi feasible :

a. x}=0 danx2=0,

2x1 + x2 - s1 = 3 ^ s1 = -3 (tidak feasible)

x1 + x2 s 2 = 2 ^ s2 = -2 (tidak feasible) ^ Z — tidak dihitung

b. xj=0 dan sj=0,

2 x1 + x2 s1 — 3 ^ x2 — 3

x1 + x2 - s2 = 2 ^ x2 - s2 = 2 ^ s2 = 1 ^ Z — 5x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 = 0

c. x=0 dan s2=0, Z = 5(0)+3(3)+0(0)+0(i) = 9

2x1 + x2 - s1 = 3 ^ x2 - s1 = 3 ^ s1 = x2 - 3 = -1 (tidak feasible) x1 + x2 - s2 = 2 ^ x2 = 2 ^ Z = tidak dihitung

d. x2=0 dan sj=0,

2x1 + x2 s1 — 3 ^ 2x1 — 3 ^ x1 —1.5

x1 + x2 - s2 — 2 ^ x1 - s2 — 2 ^ s2 — x1 - 2 — -0.5 (tidak feasible)

^ Z — tidak dihitung @

e. x2=0 dan s2=0,

2x1 + x2 - s1 = 3 ^ 2x1 - s1 = 3 ^ s1 = 2x1 - 3 = 2(2) - 3 = 1 x1 + x2 - s2 = 2 ^ x1 = 2 ^ Z — 5x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 = 0

Z = 5(2) + 3(0) + 0(1) + 0(0) = 10

f. sj=0 dan s2=0,

2 x1 + x2 s1 — 3 ^ 2 x1 + x2 — 3 ^ x2 — 3 - 2 x1 x1 x2 s 2 — 2 ^ x1 x2 — 2 ^ x1 + (3 - 2 x1) — 2 ^ x1 — 1

x1 + x2 — 2 ^ 1 + x2 — 2 ^ x2 — 1

^ Z — 5 x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 — 0 Z — 5(1) + 3(1) + 0(0) + 0(0) — 8

Jadi solusi optimum terjadi pada Z=8 dengan x=1 dan x2=1

Contoh 4.

Tentukan solusi dari persoalan Pemrograman linier berikut.

Cari x1 dan x2

s.r.s : z = 2x1 + 3x2 (minimum) d.p. : x1 + 2x2 > 6

2x1 + x2 > 9 x1, x2 > 0

Solusi

1. Persoalan Pemrograman linier standar : Cari x1, x2, sp dan s2

s.r.s : z = 2x1 + 3x2 + 0s1 +0s2 (minimum) d.p. : x1 + 2x2 -s1 = 6

2x1 + x2 - s2 9

x, x2, s 1, s2 > 0

2. Solusi feasible :

a. x}=0 danx2=0,

x1 + 2x2 - s1 — 6 ^ s1 — -6 (tidak feasible)

2 x + x2 s 2 — 9 ^ s2 — -9 (tidak feasible) ^ Z — tidak dihitung

b. xj=0 dan sj=0,

x1 + 2 x2 - s1 — 6 ^ 2 x2 — 6 ^ x2 — 3

2x1 + x2 - s2 — 9 ^ x2 - s2 — 9 ^ s2 — x2 - 9 ^ s2 — -6 (tidak feasible)

^ Z — tidak dihitung

c. xj=0 dan s2=0,

x1 + 2x2 - s1 — 6 ^ 2x2 - s1 — 6 ^ s1 — 2x2 - 6 ^ s1 — 2(9) - 6 —12 2x1 + x2 - s2 — 9 ^ x2 — 9 ^ x2 — 9 ^ Z — 2x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 — 0

Z — 2(0) + 3(9) + 0(12) + 0(0) — 27

d. x2=0 dan s}=0,

x1 + 2 x2 - s1 — 6 ^ x1 — 6

2x1 + x2 - s2 — 9 ^ 2x1 - s2 — 9 ^ s2 — 2x1 - 9 — 2(6) - 9 — 3 ^ Z — 2 x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 — 0 ^ Z — 2(6) + 3(0) + 0(0) + 0(3) —12

@

e. x2=0 dan s2=0,

x1 + 2x2 - s1 — 6 ^ x1 - s1 — 6 ^ s1 — x1 - 6 — 9/2 - 6 = - 3/2 (tidak feasible) 2 x + x2 s 2 — 9 ^ 2 x1 — 9 ^ x1 — 9/2 ^ Z — tidak dihitung

f. sj=0 dan s2=0,

x1 + 2 x2 - s1 — 6 ^ x1 + 2 x2 — 6 ^ x1 — 6 - 2 x2 2x1 + x2 -s2 — 9 ^ 2x1 + x2 — 9 ^ 2(6 -2x2) + x2 — 9

^ 12 - 4 x2 + x2 — 9 ^-3x2 =-3 ^ x2 — 1

2 x1 + x2 — 9 ^ 2 x1 + (1) — 9 ^ 2 x1 — 8 ^ x1 — 4

^ Z — 2 x1 + 3x2 + 0s1 + 0s2 — 0 Z — 2(4) + 3(1) + 0(0) + 0(0) —11

Jadi solusi optimum terjadi pada Z=11 dengan x1=4 dan x2 = 1'