Slide: Relasi dan Fungsi

Relasi

Relasi adalah himpunan pasangan terurut. Diberi lambang dengan huruf kapital R.
Relasi dirumuskan sebagai :
R = {(,x,y)| x.Xdan y . Y }
Himpunan X merupakan anggota pertama pasangan ter­urut dalam relasi disebut wilayah, daerah asal, atau daerah definisi (domain) sedangkan himpunan Y merupakan ang­gota kedua pasangan terurut dalam relasi disebut jangkau­an, daerah nilai, atau daerah jelajah (range).

Notasi/Kaidah yang menunjukkan hubungan antara anggota pertama dan anggota kedua pasangan terurutnya. Notasi /kaidah disebut cara Aljabar.
Daftar Dua Baris di mana baris pertama dan kedua masing-masing menunjukkan anggota pertama dan anggota kedua pasangan terurutnya. Daftar dua baris disebut cara Numerik.
Grafik/Diagram di mana sumbu horizontal (x) dan sumbu vertikal (y) masing-masing menunjukkan anggota pertama dan anggota kedua pasangan terurutnya. Grafik/diagram disebut cara Geometrik.

Relasi yang menghubungkan anggota himpunan X (x.X) dan Y (y . Y) untuk x y dimana :  X = {1, 2, 3, 4, 5 } dan Y = {1, 2, 3, 4, 5 } dapat disajian sebagai berikut.

Notasi/Kaidah
R = {(x,y)| x . X dan y . Y, X dan Y himpunan bilangan bulat positif = 5, x < y }

Daftar Dua Baris

X  1  1  1  1  2  2  2  3  3  4  
Y  2  3  4  5  3  4  5  4  5  5  


Grafik/diagram


y
6 5 4 3 2 1 0
x
012345
XY

Fungsi

Fungsi adalah aturan (rumus) yang menugaskan setiap anggota daerah asal (domain) berhubungan dengan satu atau lebih anggota daerah hasil (range). Fungsi merupakan suatu relasi yang menghubungkan daerah asal dengan daerah hasil dimana pada pasangan terurutnya tidak memiliki anggota daerah asal yang sama. Fungsi diberi lambang dengan huruf non-kapital ‘f’.
Jika f: A .B adalah suatu fungsi. Himpunan A adalah domain dari fungsi f. Himpunan B adalah target domain dari fungsi f. Himpunan f(A) = { f(a) | a.A} .B adalah range dari fungsi f.

Aturan yang menghitung f(x), untuk nilai x yang diberikan
dapat dianggap suatu program yang menggunakan nilai x
sebagai input untuk memproduksi f(a) sebagai outputnya.

y = f(x) dimana f(x) : aturan/rumus
x : daerah asal (domain), variabel bebas

y : daerah hasil (range), variabel tak bebas


y = f (x) = x2
. x jika x > 0 .

f (x) =.sin (x) jika x < 0 .
4 jika x = 0
.
f(s) = s + 1
h2sin( )
x
4 ( x)=




Notasi/Kaidah yang menunjukkan hubungan antara anggota pertama dan anggota kedua pasangan terurutnya (disebut cara Aljabar).
Daftar Dua Baris di mana baris pertama dan kedua masing-masing menunjukkan anggota pertama dan anggota kedua pasangan terurutnya (disebut cara Numerik).
Grafik/Diagram di mana sumbu horizontal (x) dan sumbu vertikal (y) masing-masing menunjukkan anggota pertama dan anggota kedua pasangan terurutnya (disebut cara Geometrik).

Jika X = {1, 2, 3, 4, 5} dan Y = himpunan bilangan real, maka fungsi yang menunjukkan suatu hubungan y = x2 dengan x.R dan y.R, dapat disajikan dalam tiga bentuk :

Notasi/Kaidah
(a)     f :x . y ialah fungsi yang harganya diberikan oleh f(x) = x2
dimana x .{1,2,3,4,5} dan y . R
(b)     f :x . y ialah fungsi yang pasangan terurutnya (x, x2 )


dimana x .{1,2,3,4,5} dan y . R
(c)     
f :{(x,y)y = x2 ,x . X,y .Y} dimana X ={1,2,3,4,5} dan Y = R

(d)     
f(x) = x2 dimana x .{1,2,3,4,5} dan y . R


(e)     y = x2 dimana x .{1,2,3,4,5} dan y . R
Daftar Dua Baris di mana baris pertama dan kedua masing-masing menunjukkan anggota pertama dan anggota kedua pasangan terurutnya.
x  1  2  3  4  5  
f(x)  1  4  9  16  25  


Grafik/diagram di mana sumbu horizontal (x) dan sumbu

vertikal (y) masing-masing menunjukkan anggota pertama dan anggota kedua pasangan terurutnya.

x f(x)

Grafik Fungsi

Fungsi f : x.y dalam kalkulus didefinisikan dalam bentuk ekspresi eksplisit f(x). Produk x2 = {(x,y)|x,y.R}di sebut bidang yang digambarkan dalam sumbu x (hirizontal) dan y (vertikal). Gambar dari fungsi f : x.yadalah grafik dari himpunan {(x,f(x))|x.R} .

Kurva dan Grafik

Kurva adalah gambar yang menghubungkan nilai domain (variabel bebas/input) dengan range (variabel tidak bebas/output) pada bidang Cartesian. Jika kurva tersebut memotong garis vertikal (sumbu y) hanya pada satu titikmaka kurva itu disebut grafik fungsi.

Mana dari kurva berikut yang merupakan grafik fungsi ?



Kurva a dan b bukan merupakan fungsi dari grafik karena aturan korespondensinya tidak menghubungkan nilai y yang unik dengan nilai-nilai x yang diberikan.
Kurva c merupakan grafik suatu fungsi.  Karena kurva tersebut hanya memotong garis vertikal hanya pada satu titik.

Fungsi Injektif

Fungsi f : A .
B adalah injektif atau satu-satu jika :
f(x) = f(y) . x = y Fungsi satu satu (one-to-one function) menghubungkan setiap titik pada himpunan A dengan satu titik tertentu di dalam himpunan B.

Mana dari gambar berikut yang merupakan gambar dari fungsi satu-satu.

ab c


ab c
Gambar b merupakan grafik dari fungsi satu-satu. Gambar a dan c bukan merupakan grafik fungsi satu-satu. Karena grafik tersebut menghubungkan beberapa nilai x dangan beberapa nilai y. Garis horizontal memotong grafik pada lebih dari satu titik.

Fungsi Surjektif

Fungsi f :A . B adalah surjektif (satu-satu), jika f(A) = B untuk .y . B: .x . A maka f(x) = y

Mana dari gambar berikut yang merupakan

gambar dari fungsi surjektif.


a  b  c  
Gambar a  dan  c  merupakan gra fik dari fu ngsi surje ktif.  Gambar b  
bukan  merupakan  grafik  fungsi  surjektif.  Karena  grafik  tersebut  

menghubungkan satu nilai x dangan satu nilai y. Garis horizontal hanya memotong grafik pada satu titik.

Fungsi Simetris

Fungsi f(x) adalah genap (even) jika f(-x) = f(x) untuk
semua x, dan ganjil (odd) jika f(-x) = -f(x) untuk semua x.

Denifisi tersebut diasumsikan bahwa domain dari fungsi f(x) adalah simetris. Jika fungsi f(x) adalah terdefinisi pada titik x, maka fungsi tersebut juga terdefinisi pada titik -x. Dengan kata lain fungsi tersebut terdefinisi untuk semua bilangan real.
Sifat ganjil atau genap pada fungsi dapat diketahui dengan mudah dangan menganalisis fungsi tersebut. Suatu polinomial adalah genap atau ganjil jika notasi/bentuknya mempunyai pangkat genap atau ganjil. Setiap fungsi adalah jumlah dari fungsi genap atau fungsi ganjil dengan asumsi bahwa domain dari fungsi tersebut adalah simetris.

Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap

Pencerminan terhadap titik (0, 0)     Pencerminan terhadap sumbu y

Jika f (x) adalah fungsi dan f+(x) dan f-
(x) masing-masing adalah fungsi genap dan fungsi ganjil, maka
f(x)+     f( - x) f(x)- f( - x)
f (x) =     dan f (x) =
+     2 - 2
f( - x)+ f( -( - x)) f( - x)+ f(x)

f+ ( - x) =     == f+ (x) (Genap)
22
f( - x)- f( -( - x)) f( - x)- f(x)

f( - x) =     == f (x) (Ganjil)
- 2    2 -
Jadi     f (x) = f+ (x) + f- (x)


Fungsi
Piecewise

Fungsi yang didefinisikan oleh beberapa ekspresi, fungsi adalah valid untuk interval tertentu (spesifik). Fungsi demikian disebut fungsi piecewise (piecewise function). Fungsi piecewise disebut juga fungsi terbuka (opened-form function) karena fungsi tersebut diekspresikan oleh dua atau lebih rumus aljabar.
Nilai absolut |x| adalah contoh dari fungsi piecewise. Nilai |x| = x jika x = 0 dan nilai |x| = -x jika x < 0. Menghitung nilai absolut dapat dilakukan dengan menggunakan bentuk fungsi piecewise-nya.

Tentukan fungsi absolut : f(x) =[1-.x-2.]

dalam bentuk fungsi piecewise.


Pertama perhatikan berikut
3 - x jika x = 2.1- (x - 2) jika x = 2 .
atau f (x) =.
f (x) =.
x -1 jika x 21- (2 - x jika x < 2 .
.
Kemudian perhatikan bahwa
.x-1 jika x =1.x-3 jika x = 3
x -1 =. .3-x jika x < 3
3 -1 =. dan
.1-x jika x Jika digabungkan akhirnya diperoleh :
. x-3 jika x = 3
.

.3-1 jika 2 = x < 3
f (x) =.
x-1 jika 1 = x = 2
.
. 1-x jika x
.

Grafik : f (x) =[1-
x - 2 ]

Kecenderungan Fungsi

Fungsi f (x) adalah :
1. Naik (increasing) jika x > x . f(x )> f(x )
121 2
2. Turun (devreasing) jika x > x . f(x )< f(x )
121 2
3. Monoton (monotonous) jika tidak naik atau tidak turun.
Seperti pada kasus fungsi genap dan fungsi ganjil, fungsi yang sangat mulus (smooth) dapat diekspresikan sebagai jumlah dari fungsi naik dan fungsi turun.  
Fungsi monoton adalah injektif atau satu-satu tetapi ada fungsi injektif yang tidak monoton.

Fungsi Kontinue

Fungsi kontinue (continuous function) adalah suatu fungsi yang grafiknya tidak terputus untuk interval tertentu. Fungsi yang tidak kontinue pada suatu titik atau interval tertentu disebut fungsi diskontinue (discontinuous function).

Fungsi Kontinue Fungsi Diskontinue