Persamaan Linier Simultan

Jika m adalah jumlah persamaan linier dan n adalah jumlah bilangan yang tidak diketahui, maka notasi dasar persamaan linier simultan :

Notasi matriks dari persamaan linier simultan tersebut :

A - matriks koefisien persamaan linier simultan A = {atj}, i =1,2, ...m dan j = 1,2, ...n X - matriks kolom bilangan yang tidak diketahui B - matriks kolom hasil persamaan linier simultan

Tipe persamaan linier simultan :

a. Homogen (jika B=0)

b. Non Homogen (jika B * 0 )

Persamaan Linier Simultan Homogen

Notasi dasar persamaan linier simultan homogen :

an X1 + a12 X2 + ••• + a1 jX j + ••• + a1nXn — 0 0^21 X1 + 0^22 X2 + ••• + 0^2 jX j + ••• + 0^2 nXn 0

a-i Xi + a-^X^ + ••• + a44X; + ••• + a^x — 0

i1 1 i 2 2 ij j in n

a,^,1X1 + ^oXo + ••• + a ,X, + •••+ ax — 0

m1 1 m2 2 mj j mn n

Notasi matriks dari persamaan linier simultan homogen tersebut :

A • X — 0

Atau :

a11 a12 • •• a1 j • • a1n "0"

a21 a22 • •• a2j • • a2n X2 • • 0 • •

• • • aii • • • • ai 2 • • • • • • • a • ij • • • • • a in • • • • 0 • •

• • • am1 • • • • am2 • • • • • • •• amj • mj • • • • • a mn • x n • 0

Di mana :

A - matriks koefisien persamaan linier simultan A = {o^}, i =1,2, ...m dan j = 1,2, •••n X - matriks kolom bilangan yang tidak diketahui

Persamaan Linier Simultan Non Homogen

Notasi dasar persamaan linier simultan non homogen :

an x I 0^12 X2 + ••• I a j^x j

+••

^^21X^1 + ^^22X2 + ••• I jXj + ••

+ a1nXn = b1 + a2 nXn = b2

ai 1X1 I ai 2 X2 I ••• I aj x j I

+ ax = b

in n i

ti 1 Ai "I" ti -1A ^ "I" • • • "I" ti • A • "I" • • • "I" ti A - LJ

m1 1 m 2 2 mj j mn n >

mn n m

Notasi matriks dari persamaan linier simultan non homogen tersebut:

A • X = B

Atau :

ai1 ai2

a21 a22

a

i1

i 2

am1 am2

au

a2 j

a

ij

a .

mj

a

1n

a

2n

a

in

a

mn

X1 " b"

X2 • • b2 • •

• xi • • — • b • •

• X n •

Di mana :

A - matriks koefisien persamaan linier simultan A = {aij}, i =1,2, ...m dan j = 1,2, ...n X - matriks kolom bilangan yang tidak diketahui B - matriks kolom hasil persamaan linier simultan

bi, b2, bm ± 0.

Penyelesaian Persamaan Linier

Simultan

 Sistem PLS

? Homogen AX=0 -T- • Non Homogen AX=B -T-

 

m = n

m * n

A * 0

unique

J

A = 0

m

l

infinite

m > n

infinite

unique

infinite

m = n

m * n

A * 0

unique

J

infinite

B

None J

mn

infinite

None

m> n

unique

infinite None

Di mana : m : Jumlah Baris n : Jumlah Kolom

Unique : Hanya 1 solusi (sistem konsisten) Infinite : Banyak solusi (sistem konsisten) None : Tidak ada solusi (sistem tidak konsisten)

Penyelesaian persamaan linier simultan

Penyelesaian persamaan linier simultan adalah mencari nilai-nilai xp x2, xn yang memenuhi persamaan linier simultan tersebut.

A. Penyelesaian persamaan linier simultan homogen

AX = 0 o

a11 a12 ? ? a1j ? ? a1n "0"

a21 a22 ? ? a2j ? ? a2n x2 • • 0 • •

• • • a,1 • • • • ai2 ? • • • • • ? a ? j • • • • ? a in • xi = • 0

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

am1 am2 ? ? a ? ? mj ? a mn x n _0_

Jika rank(A)=n (n=jumlah bilangan yang tidak diketahui) dan det(A) ± 0, penyelesaian persamaan t adalah trivial (unique) yaitu X=0 atau xv x2, xn=0.

Jika rank(A)=n (n=jumlah bilangan yang tidak diketahui) tetapi det(A)=0 atau rank(A)

Metoda penyelesaian persamaan linier simultan homogen :

Subtitusi dan Eliminasi Gauss Jordan

Metoda Subtitusi

Contoh 1.

Tentukan penyelesaian persamaan linier simultan homogen berikut,

2 x1 + 3 x2 = 0 4 x1 + 6 x2 = 0

Solusi :

3

2x1 + 3 x2 = 0 2 x1 = -3 x2 x1 = - x2 • • • (1)

3

4x1 + 6x2 = 0 : 2 2x1 + 3 x2 = 0 2x1 = -3 x2 x1 = - x2 • • • (2)

Persamaan (1) dan (2) adalah sama, jika menggunakan konstanta arbitrasi (arbitrary constant), maka penyelesaiannya adalah :

3

x1 = — m dan x2 = m di mana m = konstanta arbitrasi

Contoh 2.

Tentukan penyelesaian persamaan linier simultan homogen berikut,

x1 + 2 x2 + 3 x3 — 0

3 x1 x2 + x3 — 0

Solusi:

x^ "I- 2 x2 + 3x3 = 0 x, = - 2x2 3x3 3xj - x2 + x3 = 0 • • • (2)

Subtitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2):

3 ^ 2 x2 3 x3 ^ x2 "i- x3 — 0

6x2 9x3 X2 "I- x^ — 0 - 7X2 - 8x3 = 0

g

7x2 — 8X3 \ ^ x2 — X3 *

Jadi penyelesaiannya :

5 8

x, = -—m, x2 = - — in, dan x3 -

...(1)

Subtitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (1):

jCj — 2( 3

16 __5

Xj — X^ 3 X^ \ ^ Xj — x^

-m {m- konstanta arbitrasi)

Contoh 3.

Tentukan penyelesaian homogen berikut,

x1 + x2 x3 — 0 2 x1 - 3 x2 + x3 = 0 x1 - 4 x2 + 2 x3 = 0

persamaan linier simultan

Solusi:

x1 + x2 x3 — 0 \ ^ x1 — x2 + x3 * (1) 2 x1 - 3 x2 + x3 = 0 * (2) x1 - 4 x2 + 2 x3 = 0 * (3)

Subtitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2) :

2(- x2 + x3 )-3x2 + x3 = 0 2 x2 + 2 x3 3 x2

+ x3 = 0

3

5 x2 + 3 x3 — 0 ^—^ x2 — x3

5

Subtitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (3) :

x1 - 4(- x1 + x3 )+ 2x3 = 0 o x1 + 4x1 - 4x3 + 2x3 = 0

= = 2 5 x^ 2 x2 — 0 o ^ x^ — x3

Jadi penyelesaiannya :

2 3

x1 = — m, x2 = — m, dan x3 = m (m = konstanta arbitrasi) 5 5

Metoda Eliminasi Gauss Jordan

Contoh 1.

Tentukan penyelesaian persamaan berikut,

2 x1 + 3 x2 = 0 4 x1 + 6 x2 = 0

Solusi :

2 x1 + 3 x2 = 0 4 x1 + 6 x2 = 0

"2 3" xi "0"

4 6_ _ x2 _ _0_

"2 3 0" b2 + (-2bi) "2 3 0"

4 6 0 r 0 0 0

Matriks ekstensi tersebut menunjukkan bahwa 2xj = -3x2 atauxj = -3x/2. Jadi jika x2=m, maka penyelesaiannya :

3

x1 = — m dan x2 = m di mana m = konstanta arbitrasi

Contoh 2.

Tentukan penyelesaian homogen berikut,

x^ + 2 x2 + 3 x3 — 0

3 x^ x2 + x3 — 0

Solusi :

persamaan linier simultan

x1 + 2 x2 + 3 x3 — 0 "1 2 3" x1 "0"

3 x1 - x 2 + x3 — 0 —

 3 -1 1 x2 0

1 2 3 3 -1 1

0 0

*2+(-3ii)

12

3

1 2 3 0 1 8/7

0 0

b+(-2*2)

0 - 7 - 8 1 0 5/7

0 1 8/7

0 0

0 0

7 b

7 2

1 2 3

0 1 8/7

0 0

Matriks ekstensi tersebut menunjukkan bahwa :

= —5 d = —8

xi — x3 dan. x2 — x3

Jadi jika x3 =m, maka penyelesaiannya :

5 8

x1 = - 7 m, x2 = - 7 m, dan x3 = m (m = konstanta arbitrasi)

Contoh 3.

Tentukan penyelesaian persamaan linier simultan homogen berikut,

xi + x2 x3 — 0 2 xi — 3 x2 + x3 = 0 xi — 4 x2 + 2 x3 = 0

Solusi: 1 x2 x^ 0 "1 1 -1" "0"

 2 3 i x^ 0 2 - 3 1 x2 — 0

 4 i 2 x 3 0 1 - 4 2_ _ x3 _ 0

1 1 -1

2 - 3 1

1 - 4 2

1 1 -1

0 - 5 3

0 0 0

0 0 0

0 0 0

*2 + ( -2*1) *3 + ( - *1)

11

0 - 5

-1 3

0 - 5 3

0 0 0

*3 + ( - b2)

1 0 0

1 - 1 -5 3 00

0 0 0

- i

1 1 - 1 0 1 - 3/5 0 0 0

0 0 0

*1 + ( - *2 )

1 0 - 2/5 0

0 1 - 3/5 0

0 0 0

0

Matriks ekstensi tersebut menunjukkan bahwa :

2 3

x1 — x3 dan x2 — x3 5 5

Jika x3=m, maka penyelesaiannya :

2 3

x1 — — m, x2 — — m, dan x3 — m (m — konstanta arbitrasi) 5 5

B. Penyelesaian persamaan linier simultan non homogen

AX = B o

ai1 ai2

a21 a22

az1 ai 2

am1 am 2 amj

aij a2 j

a

ij

a

1n

a

2n

a

in

a

mn

x

x

2

xi

x

n

b1 b2

b

b

m

Jika rank(A)=n (n=jumlah bilangan yang tidak diketahui) dan det(A) ± 0, penyelesaian persamaan adalah trivial (unique).

Jika rank(A)n (n=jumlahbilangan yang tidak diketahui), penyelesaian persamaan adalah non trivial (infinite).

Ada beberapa metoda penyelesaian persamaan linier simultan non homogen :

1. Grafik

2. Subtitusi

3. Matriks Invers

4. Cramer

5. Eliminasi Gauss

6. Eliminasi Gauss Jordan

7. Dekomposisi Matriks

8. Iterasi Jacobi

9. Iterasi Gauss-Seidel

Metoda Grafik

Metode ini menemukan solusi dari sistem persamaan linier simultan dengan menggambarkan setiap persamaan pada koordinat bidang datar untuk menentukan titik potong (interseksi). Metode ini digunakan hanya untuk dua buah bilangan yang tidak diketahui (x7 dan x2).

Langkah metode grafik :

1. Tulis setiap persamaan dalam bentuk slope-intersepsi (x2=mx1+b)

2. Gambar setiap persamaan pada bidang yang sama.

3. Temukan koordinat titik potongnya.

4. Cek titik potong tersebut.

Contoh 1.

Tentukan penyelesaian persamaan linier simultan non homogen berikut,

x1 + x2 — 5 3 x1 + 2 x2 —12

Solusi :

x1 + x2 — 5 \ s x2 — x1 + 5

- 3

3 x1 + 2 x2 —12 o x2 — — x1 + 6

2

Gambarlah kedua persamaan tersebut pada sistem koordinat yang sama.

Grafik x

a

 _/

 

 X2 -Xj 5

 M \

 

 \

 \ \

 Xj \ > 1

 -J/ZX -r O \

 \

 Solusi=(2,3)

 

Jadi penyelesaian persamaannya : x=2 dan x2=3.

Contoh 2.

Tentukan penyelesaian persamaan linier simultan non homogen berikut,

2 x1 x2 — 3 x1 + 2 x2 — 4

Solusi :

2 x1 x2 — 3 \ s x2 — 2 x1 3

—4 —-1 2

x1 + 2 x2 — 4 \ s x2 — x1 + 2

Gambarlah kedua persamaan tersebut pada sistem koordinat yang sama.

Grafik x2 = 2x1 -3 dan x2 = -l/2x1 + 2

fa

 1— —1

 X2 2xi — 3 1

 

 7s

 /

 i

 ! / r -T- \ ,—

 » V \

 x2 —1/2X1 + 2 r \ \

 J i v

 

 1 Solusi= (2,1)

Jadi penyelesaian persamaannya : x1=2 dan x2=1.

Contoh 3.

Tentukan penyelesaian persamaan linier simultan non homogen berikut,

x1 + 2 x2 — 8 x1 + x2 — 3

Solusi :

x1 + 2 x2 — 8 o s x2 — x1 — 4

2

x1 + x2 — 3 o s x2 — x1 + 3

Gambarlah kedua persamaan tersebut pada sistem koordinat yang sama.

Grafik x2 = l/2x1 + 4 dan x2 = x1 + 3

1

2

 r \ —<

 ) \

 r J \ x2 = xr+ 3

 \

 \ \

 i V

 i \

 / i ^

 X2 = l/2xr + 4 -X-

 Solus i_/ 2,5)

 ! = (

 

Jadi penyelesaian persamaannya : x1=2 dan x2=5.

Metoda Subtitusi

Menyelesaikan sistem persamaan linier dengan

mengeliminasi variabel-variabelnya.

1. Mengurangi sistem persamaan yang besar menjadi sistem persamaan linier dan variabel yang lebih kecil. Proses ini dilakukan dengan mengambil salah satu persamaan untuk ditambahkan atau disubtitusikan ke persamaan linier yang lain untuk mengeliminasi variabel tertentu.

2. Memecahkan sistem persamaan yang lebih kecil itu menjadi persamaan linier dengan satu variabel menggunakan penambahan atau subtitusi. Penyelesaian persamaan itu akan mendapatkan nilai variabel pertama.

3. Mensubtitusikan mundur nilai veriabel yang diperoleh tahap 2 ke persamaan linier lainnya sehingga diperoleh nilai varaibel kedua.

4. Menggunakan kedua nilai varibel dari tahap 2 dan 3 untuk mendapatkan nilai variabel lainnya melalui subtitusi mundur ke dalam salah satu persamaan asal.

Contoh 1.

Tentukan penyelesaian persamaan linier simultan non homogen berikut,

5 xi 2 x2 - 4 x3 — 3 l (1) 3x1 + 3 x2 + 2 x3 — -3 l (2) - 2 x1 + 5 x2 + 3x3 — 3 l (3)

Solusi:

Tahap 1. Mengurangi sistem persamaan menjadi dua persamaan dan dua variabel. Menghilangkan varibel x3 dari persamaan (1) dan (3).

(1) • • • 5 xi 2 x2 4 x3 — 3

(2) l 3x1 + 3 x2 + 2 x3 — -3

Tidak berubah

Kalikan dengan 2

5 x1 - 2 x 2 - 4 x3 — 3 -> 6 x1 + 6 x2 + 4 x3 — -6

Tambahkan : 11x1 + 4x

2

— -3

(4)

Menghilangkan x3 dari persamaan (2) dan (3).

(2)l 3xj + 3x2 + 2x3 =-3 Kalikandengan-3 > -9x1 -9x2 -6x3 = 9

(3)l -2x1 + 5x2 + 3x3 = 3 Kalikan dengan 2 > -4x1 +10x2 + 6x3 = 6

Tambahkan : -13x1 + x2 = 15 • • • (5)

Tahap 2. Memecahkan hasil sistem dua persamaan dan dua variabel. Mengeliminasi x2 dari persamaan (4) dan (5).

(4) l 11x1 + 4 x2 =-3 Tldak berubah-> 11x1 + 4 x2 = 9

(5) l -13x1 + x2 = 15 Kalikan dengan -4 > 52x1 - 4x2 = -60

Tambahkan : 63 x1 = -63

x1 = -1

Tahap 3. Gunakan subtitus i mundur pada persamaan (4) atau (5) untuk mendapatkan nilai x2.

(4)l 11x1 + 4x2 =-3 Masukan X1=-1-> 11(-1) + 4x2 =-3 ^4x1 = 8

x2 = 2

Tahap 4. Subtitusikan mundur variabel yang sudah diketahui untuk menemukan variabel x3 dari salah satu persamaan asal.

Masukan x1 —-1

(1)L 5x1 -2x2 -4x3 — 3 danx2 — 2->5(-1)-2(2)-4x3 — 3 ^-4x3 —12

x3 — -3

J ad i xr=- 1 , x2=2 , d an x3=- 3 . Himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(-1, 2, -3)}.

Contoh 2.

Tentukan penyelesaian persamaan linier simultan non homogen berikut,

x1 + x3 — 8 l (1) x1 + x2 + 2 x3 —17 l (2) x1 + 2 x2 + x3 —16 l (3)

Solusi:

Tahap 1. Menghilangkan x2 dari persamaan (2) dan (3).

(2)l x1 + x2 + 4x3 = 17 Kalikan dengan -2 > -2x1 -2x2 -4x3 =-34

'2

(3) L x1 + 2 x2 + x3 = 16 Tidak berubah-> x1 + 2 x2 + x3 = 16

Tambahkan : -x1 -3x2 = -18 ••• (4)

Tahap 2. Mengeliminasi x2 dari persamaan (1) dan (4) dan mencari x1.

(1) l x1 + x3 = 8 Kalikan dengan 3 > 3 x1 + 3x3 = 24 (4) l - x1 - 3x3 =-18 Tidak berubah > - x1 - 3x3 =-18

Tambahkan : 2x1 = 6 ^ x1 = 3

Tahap 3. Gunakan subtitusi mundur pada persamaan (1) atau (4) untuk mendapatkan nilai x3.

(1) l x1 + x3 = 8 Masuka X1 =3-> 3 + x3 = 8 ^ x3 = 5

Tahap 4. Subtitusikan mundur variabel yang sudah diketahui untuk menemukan variabel x2 dari salah satu persamaan asal.

Masukan X1 =3

(2) l x1 + x2 + 2x3 = 17 dan x 3=5-> 3 + x2 + 2(5) = 17 ^ x2 = 4

Jadi x1=3, x2=4, dan x3=5. Himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(3, 4, 5)}.

Contoh 3.

Tentukan penyelesaian persamaan linier simultan non homogen berikut,

x1 3 x2 + x3 — 1 * * * (1) 2 x1 - x3 = -8 * (2) 3x1 + 8 x2 + 2 x3 = 1 * (3)

Solusi :

Tahap 1. Menghilangkan variabel x2 dari persamaan (1) dan (3).

x1 - 3x2 x3 1 ^ ( x1 - 3x2 x3 3x1 + 8 x2 + 2 x3 — 1 ^ (3x1 + 8 x2 + 2 x3

8 x1 - 24 x2 + 8 x3 — 8

9 x1 + 24 x2 + 6 x3 — 3

17 x1 +14 x 3 —11 ...(4)

1)x 8 1)x 3

Tahap 2. Mengeliminasi x3 dari persamaan (2) dan (4) dan mencari x1.

2 x1 - 3x3 —-8 ^ (2 x1 - 3x3 —-8)x14 17 x1 +14 x3 — 11 ^ (17 x1 +14 x3 — 11) x 3 28x1 - 42x3 —-112 51x1 + 42 x3 — 33 79 x1 — -79

x

1

Tahap 3. Mencari x3 dari persamaan 2 atau 4.

2 x1 -3x3 — -8 ^ 2(-1)- 3x3 —-8

- 3x3 — -6

x3 — 2

Tahap 4. Mencari x2 dari persamaan (1) atau (3).

x1 - 3x2 + x3 — 1 ^ (-1) - 3x2 + 2 — 1 ^ -3x2 — 0 ^ x2 — 0

Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(-1,0,2)}

Metoda Matriks Invers

Jika A matriks ukuran n x n dan B matriks kolom ukuran n x 1 serta X matriks kolom ukuran n x 1 yang tidak diketahui, maka persamaan matriksnya adalah AX = B. Matriks kolom X dapat diketahui dengan menggunakan matriks invers A-1, asalkan matriks invers A"V0 (matriks A adalah matriks non singular).

AX = B

A- (AX) = A"1 B ( A )x = A"1 B

(In )X = A"1 B

X = A"1 B

a

11

a

12

a

21

a

22

an1 an 2

Xi

X^

X

n

a

11

a

21

a

12

a

22

an1 an2

a1n X1 " b"

a2 n • • X2 • • = b2 • •

• a nn • X n • bn

a1n -1 " b,"

a2 n • • b2 • •

• a nn •

Contoh 1.

Tentukan penyelesaian persamaan linier simultan non homogen berikut,

3 X1 + 4 x2 = 10 2 Xi 3 X2 — 7

Solusi:

3 X1 + 4 X 2 —10 "3 4" Xi "10"

 —

2 X1 + 3 X 2 — 7 2 3_ X2 7

^ AX — B

A- —

3 - 4 - 2 3

X — A"1 B ^

X1 " 3 - 4" "10" " X1 " "2"

 — —

_ X2 _ _- 2 3 _ 7 _ X2 _ 1

Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(2,1)}

Contoh 2.

Tentukan penyelesaian persamaan linier simultan non homogen berikut,

2 Xi 3 X2 ^^ X3 — 1

3 Xi 3 X2 ^^ X3 — 1

2 Xi 4 X2 ^^ X3 — 2

Solusi:

2 Xi 3 X2 ^^ X3 —-1 "2 3 1" Xi "- 1"

3 Xi 3 X2 ^^ X3 —1 3 3 1 X2 — 1

2 Xi 4 X2 ^^ X3 — -2 2 4 1 X3 - 2

^ AX — B

A~l —

-1 1 0 " Xi "-1 1 0" -1 Xi 2

-1 0 1 X — A"1 B ^ X2 — -1 0 1 1 X2 — -1

6 - 2 - 3 _ X3 _ 6 - 2 - 3 - 2 _ X3 _ - 2

Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(2,-1,-2)}

Contoh 3.

Tentukan penyelesaian persamaan linier simultan non homogen berikut,

+ 2 x2 + 3 x3 2 X1 5 X2 ^^ 3 X3

Xi

+ 8 x,

= 5 =3 = 17

Solusi:

Xi + 2 x2 + 3x3 2 Xi 5 X2 ^^ 3 X3

Xi

+ 8 X, =

5 3

17

"1 2 3" X1 " 5"

2 5 3 X2 = 3

1 0 8 _ X3 _ 17

^ AX = B

 "- 40 16 9 " X1 "- 40 16 9 5 X1 1

A"1 = 13 - 5 - 3 X = A"1 B ^ X2 = 13 - 5 - 3 3 X2 = - 1

 5 - 2 -1 _ X3 _ 5 - 2 -1 17 X3 2

Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(1,-1,2)}.

Metoda Cramer

Jika A adalah matriks koefisien sistem persamaan linier simultan dan det A * 0 (non singular), maka solusi dari sistem persamaan linier AX=B adalah :

det Ai det A2 det A n

— -- y — -— ... y — -—

1 — 9 — ^ in — 9

1 det A 2 det A det A

Di mana Ak, (k = 1, 2, ..., n) adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom ke-k pada matriks A oleh matriks kolom B.

 " bi a 12 •• ain ai1 b1 L ain ai1 a l . 12 b1

A = h a22 •• a2 n , A = a21 b2 L a2n > L An = a21 a22 L b2

 A a 2 n2 • • ann _ _an1 bn L ann _ _an1 a 2 ••• n2 bn

Contoh 1.

Tentukan penyelesaian persamaan linier simultan non homogen berikut,

3xx I 2X2 I X3 7 X X2 + 3 x3 = 3 5 Xj I 4 X'2 2 X3 1

3 2 1 1 -1 3 5 4 - 2

X1 7'

X2 = 13 ^ AX = B

L X3 _ !_1 _

Solusi:

det A =

5

det A =

3 1 5

2 1 7 2 1

-1 3 = 13, det A1 = 3 -1 3 = -39,

4 -2 1 4 -2

7 1 3 2 7

3 3 = 78, det A3 = 1 -1 3 52

1 -2 5 4 1

X1 =

X2 =

X3 =

det A1 - 39

det A 13

det A2 78

det A 13 =

det A3 _ 52 =

= -3,

det A 13

Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(-3,6,4)}.

Contoh 2.

Tentukan penyelesaian persamaan linier simultan non homogen berikut,

2 I x2 1 X3 4

I 2 X3 2

3 X/^ I X'2 I 3 X3 2

" 2 1 1" X1 ----- i 4 i

-1 0 2 X2 = 2

3 1 3 _ X3 _ - 2 j. j.

^ AX = B

Solusi:

 2 1 1 r-----1 4 1 1

det A = -1 0 2 = 4, det A1 = 2 0 2

 3 1 3 -2 1 3

 2 4 1

det A 2 = -1 2 2

 3 -2 3

= 52, det A3 =

-1 0 3 1

= -16.

2 1 4 2

-2

= -4

X =

X2 =

X3 =

det A1 -16

det A 4

det A2 52

det A 4=

det A3 = - 4

det A 4=

= -4,

Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(-4,13,-1)}

Contoh 3.

Tentukan penyelesaian persamaan linier simultan non homogen berikut,

^ AX = B

Xi 1 2 x2 + X3 = 7 "1 2 1" X1 "7 "

Xi 1 X2 1 2 X3 = 8 1 1 2 X2 = 8

2 Xi 1 X2 1 X3 = 9 2 1 1 _ X3 _ 9

Solusi:

 1 2 1 7 2 1

det A = 1 1 2 = 4, det A1 = 8 1 2

 2 1 1 9 1 1

= 12,

 1 r----- 7 1 1 2 7

det A 2 = 1 8 2 = 4, det A3 = 1 1 8

 2 9 1 2 1 9

= 8

det A1 12

det A 4

det A 2 =4

det A =4

det A 3 = 8

det A 4

Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(3,1,2)}.

1

2

Metoda Eliminasi Gauss

Metoda eliminasi Gauss menggunakan operasi baris elementer untuk menghapus (meng-nol-kan) semua elemen yang ada di sebelah kiri/bawah diagonal utama matriks Anxn (matriks koefisien persamaan linier simultan). Sehingga diperoleh matriks segitiga atas A,

nxn

Pada operasi eliminasi Gauss matriks Anxn dirubah menjadi matriks "augmented" Anxn+1 dengan memasukan matriks kolom B pada kolom terakhir matriks Anxn+1.

a11 a 12 •• a1n " b1" a11 a 12 a1n b1

a21 • a22 • •• a2 n • • X2 • = b2 • ^ AX = B A = nxn+1 a21 • • a22 • • • a2n • • • b2 • •

an1 an 2 ' • • a nn x n an1 a * n2 ann nn bn _

Eliminasi Gauss terhadap matriks A

nxn+1

a\\ ai2

a2l a22

a

nl

a

n2

a

ln

a

2n

a

nn

bl b

bn

- a.

21

all

- a

nl

a

ll

a

(0) 11

0

0

a a

(0) 12 (1) 22

a

(1)

n2

a a

(0) 1n (1) 2n

a

(1)

nn

b)" - a(1) an 2 a (1) 22 ra (0) 11 a(0)L 12 a(0) 1n b

b21) \ 0 a2(12)L a(1) 2n b21)

b". r 0 0 •• a( k n nn bk 1

Hasil operasi eliminasi Gauss matriks Anxn+1 (setelah semua elemen di sebelah kiri/bawah diagonal utama matriks Anxn menjadi nol), maka,

b(*) bf-1) *_i+1 a(-1)xj

xn _—^ x, _-7~7+- untuk i _ k -1,* - 2...,1

n a(k) i a(-1)

nn ii

Setelah xn diketahui subtitusikan mundur pada baris n-1 (sebelumnya) untuk mendapatkan xn-1, proses ini terus dilakukan sehingga akhirnya diperoleh x1.

Contoh 1.

Tentukan penyelesaian persamaan linier simultan non homogen berikut,

Xi I x2 I 2 =9 1 1 2 Xi 9

2 Xi I 4 =1 2 4 - 3 X2 = 1 ^ AX = B

3xi I 6«x2 5X13 =0 3 6 - 5 _ X3 _ 0

Solusi:

1 1 2 9 1 1 2 9

 b2 + (-2b,)

2 4 -3 1 h + (-3bj) 0 2 - 7 -17

3 6 - 5 0 0 3 -11 - 27

b 2x:

1 1 2 9

0 1 -7 2 -17/2

0 3 -11 - 27

1 1 2 9 1 1 2 9 1 1 2 9

0 1 -7 2 -17/2 h + (-3h) . 0 1 -7 2 -17/2 b3x(-2) 0 1 -7 2 -17/2

 ? ?

0 3 -11 - 27 0 0 -1 2 - 3/2 0 0 1 3

Hasil operasi eliminasi Gauss matriks A3x4 tersebut, diperoleh x5 pada baris terakhir:

x^ — 3

Dari baris ke-2 matriks hasil eliminasi Gauss diperoleh x2:

7 -17 -17 7

x^ xo 2 2 3 2

^ x2 _

+ x^ ^ x — 2 2 3 2

-17 7 4

—- + - (3) __ — 2 2 2 2

Dari baris ke-1 matriks hasil eliminasi Gauss diperopeh x1:

x1 + x2 + 2x3 — 9 ^ x1 — 9 - x2 - 2x3 ^ x1 — 9 - (2) - 2(3) — 1

Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(1,2,3)}.

Contoh 2. Tentukan penyelesaian persamaan berikut.

1 x2 1 2 x3 — 8 " 1 1 2" " 8 "

2 x*2 I 3x3 — 1 -1 - 2 3 x2 — 1

3 7 x>2 I 4 x3 —10 3 - 7 4 _ x3 _ 10

^ AX — B

Solusi

1 1 2 8 1 1

 b2

-1 -2 3 1 h + (-3b1) 0 -1

3 - 7 4 10 0 -10

1 1 2 8 "

0 1 -5 - 9 b, +10b, . -3-2—>

0 -10 -2 -14

2 5 - 2

1 1 2

0 1 - 5

8 "

9 b2x(-1) .

 /

-14

8 " b3 x—— 3 52 v

-9

 )

-104

1 1 2 8

0 1 - 5 - 9

0 -10 - 2 - 14

"1 1 2 8

0 1 -5 - 9

0 0 1 2

Hasil operasi eliminasi Gauss matriks A3x4 tersebut, diperoleh x5 pada baris terakhir:

X3 = 2

Dari baris ke-2 matriks hasil eliminasi Gauss diperoleh x2:

x2 - 5x3 = -9 ^ x2 = -9 + 5x3 ^ x2 = -9 + 5(2) = 1

Dari baris ke-1 matriks hasil eliminasi Gauss diperopeh xl:

x1 + x2 + 2x3 — 8 ^ x1 — 8 - x2 - 2x3 ^ x1 — 8 - (1) - 2(2) — 3

Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(3,1,2)}.

Contoh 3.

Tentukan penyelesaian persamaan berikut

2 I 6 x*2 I x3 — 7 "2 6 1" " 7 "

I 2 x2 x, —-1 1 2 -1 x2 — -1

5 I 7 x*2 4 x3 — 9 5 7 - 4 _ x3 _ 9

Solusi:

2 6 1 1 2 -1 5 7 - 4

^ AX — B

7 -1 9

12

1 2 -1 2 6 1 5 7 - 4

-1 7 9

h + (_2b|) b> + (-5M

1 0 0

2 2

- 3

-1 3 1

-1 9 14

b2 x—

1 2 -1 0 1 3/2 0 - 3 1

1 2 -1 0 1 3/2 0 0 11/2

1 2 -1 0 1 3/2 0 0 1

-1

92 5

Hasil operasi eliminasi Gauss diperoleh x3 pada baris terakhir:

= 5

matriks A3x4 tersebut,

x

3

2

Dari baris ke-2 matriks hasil eliminasi Gauss diperoleh x

3 = 9 = 9-3 = 9-3(5) = -3

X + Xo — ^ X — Xo ^ X0 — (5) — 3

2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2

Dari baris ke-1 matriks hasil eliminasi Gauss diperopeh x7:

2x1 + 6x2 + x3 = 7 ^ 2x1 = 7 - 6x2 - x3 ^ 2x1 = 7 - 6(-3) - (5)

^ 2x1 = 20 ^ x1 = 10 Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(10,-3,5)}

Metoda Eliminasi Gauss-Jordan

Metode eliminasi Gauss Jordan menggunakan operasi baris elementer untuk menghapus (meng-nol-kan) semua elemen yang ada di sebelah kiri/bawah dan kanan/atas diagonal utama matriks Anxn (matriks koefisien persamaan linier simultan). Sehingga diperoleh matriks diagonal Anxn.

Seperti halnya metode eliminasi Gauss, pada proses eliminasi Gauss Jordan, matriks Anxn dirubah menjadi matriks "augmented" Anxn+1 dengan memasukan matriks kolom B pada kolom terakhir matriks Anxn+1.

a11 a 12 " a1n X1 a11 a 12 " a1n b1"

a21 a22 " a2 n X2 = b2 ^ AX = B A = nxn+1 a21 a22 " a2 n b2

an1 an2 * " ann x n b„ _an1 an2 * ann bn _

Eliminasi Gauss terhadap matriks Anxn+1:

- a.

- a

ai1 ai2

a21 a22

a

in

a

2n

a

ni

a

a

n2

(0) 11

0

a

nn

b1 b2

bn

21

12

a11

- an1

a

11

a

(0)

11 0

a a

(0) 12 (1) 22

a

0

(1)

22

a

a

(2) 1n (2) 2n

00

a

(2) nn

 0 a(1) n2

 - a (2) 1n

bj(2)" a( k) nn -a(2) 2n " (0) a11

b22) a( k) unn 0

• • / • •

bn2) 0

a??0) b0)" (1) 22 -a(1) un 2 a (1) 22 ra (0) 11 0 a(2) 1n b

a2? b21) \ 0 a2(12)L a(2) 2n b22)

an(1n) b? r 0 0L •• a(2) nn bn(2)

a

0

(1)

22

0

a

0 0

(k) nn

b,( k) b2k)

b(k)

n

Hasil operasi eliminasi Gauss Jordan pada matriks Anxn+1 (setelah Anxn menjadi matriks diagonal), maka,

—

(k)

b

a

(0) 11

x2 —

(k) 2

b

a

(1) ' 22

Xn —

(k) n

a

(k) nn

Contoh 1.

Tentukan penyelesaian persamaan linier simultan non homogen berikut,

1 1 2 X3 =9 1 1 2 X1 9

2 X1 1 4 3^X3 =1 2 4 - 3 X2 = 1 ^ AX = B

3^1 1 6 X2 5 X3 =0 3 6 - 5 _ X3 _ 0

Solusi:

"1 1 2 9 "

2 4 -3 1 -

3 6 - 5 0

"1 1 2 c

0 1 -7 2 -1

0 3 -11 -

b2 + (-2bj) b3 + (-3bj)

b3 + (-3b2) bi+(-b2)

1 0 0

1 1 2 9 , 1 1 1 2 9

0 2 -7 -17 b 2 x— -— 0 1 -7 2 -17/2

0 3 -11 - 27 0 3 -11 - 27

0 11/2 1 - 7/2 0 -1/2

35/2 " -17/2 -3 2

b3x(-2)

1 0 11/2 0 1 -7 2 0 0 1

35 2 -17/2 3

1 0 11/2 0 1 - 7/2 0 0 1

35/2 ' -17/2 3

by + (-^3)

7

b2 + (1 b3 )

1 0 0

00 10 01

1 2

3

Atau

X = 1,

x2 = 2, dan

X3 = 3

Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(3,1,2)}

Contoh 2. Tentukan penyelesaian persamaan berikut.

X1 1 X2 1 2 X3 = 8 1 1 2 X1 8

X 2 X'2 1 3^X3 = 1 -1 - 2 3 X2 = 1 ^ AX = B

3 x 7 «x2 1 4 X3 = 10 3 - 7 4 _ X3 _ 10

Solusi:

1 1 2 8

-1 -2 3 1

3 - 7 4 10

1 0 0

1 -1 -10

2 5 -2

8 " "1 1 2 8

9 b2x(-1) > 0 1 -5 -9

-14 0 -10 -2 -14

1 1 2 8

0 1 -5 - 9

0 -10 -2 -14

1 0 0

0 7

1 - 5 0 - 52

17 " b3 x—1 "1 0 7 17 "

- 9 3 52 v 0 1 -5 - 9

 ?

-104 0 0 1 2

1 0 7 17" "1 0 0 3"

 b+(-7b3)

0 1 -5 - 9 b2 +5b3 -2-3-> 0 1 0 1

0 0 1 2 0 0 1 2

Atau :

Xi 3, x2 = 1, dan

X3 = 2

Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(3,1,2)}

Contoh 3.

Tentukan penyelesaian persamaan berikut,

2 x i 6 x2 i X3 =7 "2 6 1 " X1 " 7 "

X i 2 X'2 X3 =-1 1 2 -1 X2 = -1

5 x i 7 «x2 4 X3 =9 5 7 - 4 _ X3 _ 9

^ AX = B

Solusi:

2 6 1 1 2 -1 5 7 - 4

7 -1 9

12

1 2 -1 2 6 1 5 7 - 4

-1 7 9

b2 + (-2b1) b + (-5b1)

12 02 0 - 3

-1 3 1

-1 9 14

b2 x;

1 2 -1 -1" b + 3 b "1 0 -4 -10 " 2 "1 0 -4 -10"

0 1 3/2 9/2 32 — + ( — V 0 1 32 9/2 b3 x— 3 11 > 0 1 32

 ? ?

0 -3 1 14 0 0 11 2 55/2 0 0 1 5

1 0 - 4

0 1 3/2 0 0 1

-10

92 5

b1 + 4b, — + (—

1 0 0

00 10 01

10

-3 5

Atau : x1 = 3, x2 = 1, dan x3 = 2

Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(10,-3,5)}.

Metode Dekomposisi Matriks

Memecahkan persamaan linier simultan AX=B dapat dilakukan dengan metode dekomposisi matriks :

Tahap 1: Dekomposisi matriks A menjadi L dan U sehingga A = LU di mana,

 " I11 0 0 • • 0" u11 U12 U13 1n

 l21 l22 0 • 0 0 u22 U 23 u2n 2 n

L = l31 l32 l33 • 0 U = 0 0 U33 3n

 ll l 2 n2 l 3 • n3 lnn 0 0 0 • u nn

Tahap 2: Pecahkan persamaan LUX=B menggunakan subtitusi maju dan subtitusi mundur (forward and back substitution).

Memecahkan Persamaan LUX = B

Cara Crout

LUX = B (Gunakan Y = UX)

u

(Hitung Y menggunakan

Tahap 1: LY = B

subtitusi maju (forward)) (Hitung X menggunakan

Tahap 2: UX = Y

subtitusi mundur (back))

Tahap 1.

 " I11 0 0L • 0" y1 " by

 l21 l22 0 • 0 y 2 b

LY — B ^ l31 l32 l33 • 0 y3 — b3

 Jm l 2 n 2 l 3 • n3 • l nn _ _ yn _ _ b

Dari persamaan LY=B diperoleh nilai Y :

i-1

y =

in

y, =

b 1vyJ

1 = -, untuk i = 2,3,

l

ii

••• ,n

Tahap 2.

 "1 u12 u13 1n X1 y1

 0 1 u 23 u 2 2 n X2 y 2

Y ^ 0 0 1 * u3n X3 = y3

 0 0 0 • • 1 x n yn

Dari persamaan UX=Y diperoleh nilai X

n

x = y

n y n

xl = yl - ^ ujx1, untuk i = n -1, n - 2, — ,1

1=,+1

Memecahkan Persamaan LUX = B

Cara Doolittle

LUX = B (Gunakan Y = UX)

u

(Hitung Y menggunakan

Tahap 1: LY = B

subtitusi maju (forward)) (Hitung X menggunakan

Tahap 2: UX = Y

subtitusi mundur (back))

Tahap 1. " 1 l21 0 1 0 • 0 • 0" • 0 y1 y 2 " b' b2

 LY = B ^ l31 l32 1 • 0 y3 = b

 12 n2 13 • n3 • 1 _ yn _ . b.

Dari persamaan LY=B diperoleh nilai Y :

i-1

y1 = b1

yi = yi-Zlb, untuk i = '

j—1

n

Tahap 2.

 U11 U12 U13 U1 1n X1 y1

 0 U 22 U23L U2n 2 n X2 y 2

Y ^ 0 0 U33 3n X3 — y3

 _0 0 0L U nn X n yn

Dari persamaan UX=Y diperoleh nilai X :

n

X —

n

y.

n

X —

yi- Z

j—i+1

U X .

ij j

u

, untuk i — n -1, n - 2, — ,1

nn

u

ii

Contoh 1. Tentukan penyelesaian persamaan berikut,

1 3 x*2 I x3 = 10 "1 3 1" "10"

I 5 x*2 I 5 x 3 = 18 1 5 5 x2 = 18

2 I 7 x*2 I 5 x3 = 25 2 7 5 _ x3 _ 25

^ AX = B

Solusi:

 "1 3 1" "1 0 0" "1 3 1" "1 0 0" "1 3 1"

A = LU ^ 1 5 5 = 1 2 0 0 1 2 L = 1 2 0 U = 0 1 2

 2 7 5 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 0 1

Tahap 1

LY = B ^

"1 0 0" yt "10 "

1 2 0 y2 = 18

2 1 1 _ y3 _ 25

b, 10

l

11

1

= 10

y2 =

b2 - ly 18 - (1)(10)

l

22

2

= 4

ya =

b - l3y -132y2 25 - (2)(10) - (1)(4)

l

33

1

= 1

 "10"

Maka Y — 4

 1

Tahap 2

x3 = y3 =1

x2 = y2 - u23x3 = 4 - (2)(1) = 2

x1 = y1 - u12x2 - u13x3 = 10 - (3)(2) - (1)(1) = 3

Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(3,2,1)}.

 "1 3 1" "10"

UX — Y ^ 0 1 2 x2 = 4

 0 0 1 x3 1

Contoh 2. Tentukan penyelesaian persamaan berikut.

I x*2 I 2 I x4 — 2 "1 1 2 1" "2"

I 3x2 I 6I 5x4 = 0 1 3 6 5 x2 0

 —

2 x113 x218 x316 x4 = 3 2 3 8 6 x3 3

2 I 4 I 9 I 8 x4 = 0 2 4 9 8 x4 0

^ AX — B

Solusi :

A — LU ^

1 1

2 2

1

3

3

4

21 65 8 6 9 8

1 1

2 2

00 20 12

21

u

L

Tahap 1

 "1 0 0 0" y1 "2"

 1 2 0 0 y2 0

B ^ —

 2 1 2 0 y3 3

 2 2 1 1 y* 0

0 0 0 1

112 1

0 1 2 2

0 0 1 1

0 0 0 1

u

U

b 2 2

y1 — — 2 l 1

y2—

b2 - 0 - (1)(2)

l

22

2

= -1

b3 -131 y -132y2 3 - (2)(2) - (1)(-1)

l

33

2

=0

y4—

b4 - hy -142y -143y, 0 - (2)(2) - (2)(-1) - (1)(0)

l

44

1

— -2

Maka Y =

2 -1 0 -2

Tahap 2

UX = Y ^

1 1 2 1 X-^ 2

0 1 2 2 X2 -1

0 0 1 1 X3 0

0 0 0 1 X4 - 2

*4 = y 4 = -2

x3 = y3 - u34x4 = 0 - (1)(-2) = 2

X2 = y2 - U23X3 - U24X4 = -1 - (2)(2) - (2)(-2) = -1 X1 = y - u12X2 - u13X3 - u14X4 = 2 - (1)(-1) - (2)(2) - (1)(-2) = 1

Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(1,-1,2,-2)}

Metode Iterasi Jacobi

Metode iterasi Jacobi merupakan proses rekursi berulang untuk mendekati bilangan yang tidak diketahui (X). Sebagai titik awal pada proses rekursi tersebut diperlukan nilai awal dan biasanya adalah X=0. Pada proses selanjutnya nilai yang sudah diketahui tahap sebelumnya (X(1)) dipergunakan untuk mencari nilai pada tahap berikutnya (X(2)). Proses tersebut terus berulang hingga diperoleh nilai X yang sesungguhnya atau berhenti jika toleransi kesalahan tertentu telah dicapai.

Persiapan iterasi Jacobi:

1. Susunlah persamaan linier simultan sedemikan rupa sehingga elemen pada diagonal utama matriks koefisien persamaan tidak ada nilai nol (0).

2. Lakukan transformasi baris pada persamaan tersebut sehingga elemen pada diagonal utama merupakan nilai yang paling besar (supaya iterasi konvergen).

Merubah bentuk persamaan linier simultan :

( ) . ,, = b x = b1 - a12x2 - - a1nxn

\a11)x1 + a12x2 + ••• + a1nxn = b1 X1 ( )

b2 - a21 x1 - ••• - a2nxn

a21 x1 I (a22 )x2 I •••I a2nxn = b2 ^

am1 x1 + am 2 x2 + ••• + (amn )xn = bm

x2 =

(a22 )

x —

n

bm am1 x1 ••• a

x

m( n-1) n-1

Iterasi Jacobi:

Pilih nilai awal X(0) yaitu (x^, x2, x3) = (0, 0, 0)

x(k+° = — (bi -X A„x)) a

Uii J * i

(amn )

Berhenti jika :

x (J) - x (J - i) i i

x

( J )

100 e ( : toleransi kesalahan)

Iterasi Jacobi

Iterasi pertama

Xi

X

2

X

3

- (b1 - a12X2 - a13X3) / a

11

- (b2 - a21X1 - a23X3) / a

22

- (b3 - a31X1 - a23X3) / a

33

Iterasi kedua

X1 - (b1 - a12X2 - a13X3) / a

11

X2 - (b2 - a21X1 - a23X3) / a

22

X3 - (b3 - a31X1 - a32 X2) / a

33

Dst.

Pada iterasi Jacobi semua komponen dari nilai dugaan baru X(k+1):

X k+1),

(k+1) (k+()

X2 , X

3

(k+()

n

)

Dihitung langsung dari nilai dugaan sebelumnya (X(k)) :

( k k k k) lX( , X2 5 X3 5«"5 Xn }

Iterasi Jacobi Dalam Bentuk Matriks

Xi V aii 0 0 • 0 " " bi' V an 0 0 • 0 " " 0 ai2 ai3 * ain Xi

X2 0 V a22 0 0 bi 0 V a22 0 0 a21 0 a23 * a2n X2

X3 = 0 0 Va33 • 0 b3 — 0 0 l/a33 • 0 a31 a32 0 • a3n X3

_ Xn _ 0 0 0 • ' V amn _ b _ m _ _0 0 0 • • V amn _ _am1 am 2 am3 L 0_ _ Xn

Atau

Xi ' bJ an ^ " 0 aill aii ai3 /

Xi b2 a22 a2i/ a22 0 a23

X3 > = - a3il a33 a32 a33 0

X,

V n;

nilai barn

bm I amn

a i / a a 2 / a a 3 / a

mil mn ml! mn m3/ mn

am/au

a2 nla22

a3 n Ia

33

0

Xi

X

2

X

X

n

nilai lama

Contoh 1. Tentukan penyelesaian persamaan berikut.

2 X\ 1 X2 I =9 " 2 \ X\ " 9 "

X\ I 4 X2 I X3 =9 \ 4 \ X2 = 9

X\ I x 2 I 5 = \4 \ \ 5 _ X3 _ \4

^ AX = B

Solusi:

Xi

X

2

Xi

nilai baru

X

bx/ a

bi/ai2 bJ a

9/2

0 a\2 l a\\ an/ an r > X\

a22 0 a23 / a22 < X2

/a33 a32 a33 0 X3

2

nilai baru

9/4 — \4/5

0 \/2 \/2 \ 4 0 \ 4

\/5 V5 0

X

X

2

nilai lama

untuk X(0) =

nilai lama

r X\ 0^

X2 > =

X3 0 V

maka

r X\ ' 9/2 ^ " 0 \/2 \/2~ 0 (0) 92

= - - \/4 0 \/4 = 9

X3 \4/5 v. ' y \/5 \/5 0 0 v \4 5 v ' J

r (2) ' 9/2 " 0 12 1/2" ' 9/2 ~ (1) '7^401 1.9751

= — 1/4 0 1/4 = =

X3 ^ 3 ^ 145 V ' > _1/5 15 0 14/5 v. ' y 29/20^ 1.450 1

f ?> (3) 9/2 " 0 12 1/2" 1 1.975 (2) 3.563

x2 = 9/4 > — 14 0 1/4 0.425 > =

X3 14 5 _1 5 15 0 1.450 v ^ 2.320 1 '

 (4) 92 " 0 12 1/2" 1 '3.563 1 (3) 2.643

1 X2 >? = =

X3 v 3 ^ 14/5 _1 5 15 0 2.320 V / 1.809 1 '

 (5) 9/2" " 0 12 1/2" 1 2.643 (4) 3.206

| X2 > = = L dst.

X3 v 3 ^ 14/5 ' J _1 5 150 1.809 v ^ 2.115 V v

Jika iterasi tersebut dilanjutkan maka :

r > xi (6) '2.874 r > xi (7) 3.074 r > x1 (8) 2.955 r > x1 (9) 3.027^

= , , ,

x3 1.931 v y x3 2.041 v y x3 1.975 v y x3 2.015 V

r x1 (10) 2.984 r > x1 (11) 3.010 x1 (12) 2.994 x1 (13) 3.003"

, , ,

x3 1.991 V J x3 2.005 V ^ x3 1.997 V ^ x3 2.002 V V

r > x1 (14) 2.998 r x1 (15) 3.00f r x1 (16) 2.999^ x1 (17) 3.000^

, , 2 = 1.00 ,

x3 1.999 V y x3 2.001 v y x3 > 2.000 x3 > 2.000 v y

Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(3,1,2)}.

Contoh 2. Tentukan penyelesaian persamaan berikut.

5 Xi I X2 1 X3 = 18 "5 1 1" X1 "18 "

Xi I 8 X2 I X3 =20 1 8 1 X2 = 20

Xi I X2 I 4 X3 =9 1 1 4 _ X3 _ 9

^ AX = B

Solusi:

Xi

X

2

Xi

nilai baru

bj an " 0 aul a11 an/ a11 r > X1

b2 / a22 - a2^ a22 0 a23 / a22 < X2

b3 /a33 „ _ a3^ a33 a32 a33 0 X3 3

X

2

X-

nilai baru

18/5 20/8 > -9/4

" 0 1/5 1/5

18 0 18 1 4 1 4 0

X

X

2

X

nilai lama

untuk X(0) =

nilai lama

X1 '0'

X2 > =

X3 0 V

maka

r X1 (1) 18/5 " 0 15 15" 0 (0) 18/5

= 2 8 - 18 0 18 = 2 8

X3 9/4 V * J 14 14 0 0 v 9/4 V ' J

r > (2) 18/5 " 0

X2 > = — 18

X3 914 V ' -> _1/4

 (3) '18/5' " 0

1 X2 =1 20/8 >? — 1/8

X3 9/4 _1/4

X1 (4) 18/5' " 0

1 X2 =1 20/8 — 1/8

X3 9/4 _V4

r X1 (5) 18/5 " 0

1 X2 > = 20 8 ?? 18

X3 94 V ' -> _1 4

15 V5" 18/5' (1) r 2.650

0 1/8 20/8 > = 1.769 >

14 0 9/4 v * y V 0.725 1

15 V5" 2.650 (2) ' 3.101

0 1/8 ? 1.769 > = 2.078 >

14 0 0.725 v ^ 1.145 1

15 1/5" 1 3.101 (3) '3.955'

0 1/8 ? 2.078 > = < 1.969

14 0 1.145 v > 0.955 1

15 V5" '3.955 ' (4) 3.015

0 1/8 1.969 > = 2.011 >, L dSt.

14 0 0.955 V y 1.019 v >

Jika iterasi tersebut dilanjutkan maka :

r X^ (9) 2.999 r X^ (10) 3.000'

X2 > = , =

X3 ^ 3 ^ 0.999 v y X3 3 1.000 V

r X^ (6) 3.015 X^ (7) 2.994 r X^ (8) 3.002'

X2 > = = =

X3 v 3 ^ 1.019 V ^ X3 3 0.993 V ^ X3 3 1.003 V y

Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(3,2,1)}

Contoh 3. Tentukan penyelesaian persamaan berikut.

20 X1 1 X2 1 X3 = 25 "20 1 1 " X1 " 25 "

X1 1 50 X2 + X3 = 104 1 50 1 X2 = 104

X1 1 X2 1 40 X3 = 123 1 1 40 _ X3 _ 123

^ AX = B

Solusi

r

Xi

x

2

x

x

nilai baru

bll ai1

-

b3 /a33

0 a12

a21 a22 0

a31 a33 a32

ai3 /ai1

a23 a22 0

x

x

2

x

nilai lama

x

2

x

nilai baru

25/20 104/50 >-123/40

0 1/50 1/40

1/20 0 1/40

1/20' 1/50 0

x

x

2

x

nilai lama

 r > x1 0~

Jika X(0) =

 x3 0 V

maka

r x1 (1) 25 20 " 0 1/20 1/20" 0 (0) ' 25/20"

x2 = 104/50 - 1/50 0 1/50

x3 123/40 1/40 1/40 0 0 v ^ 123/40^

r (2) ' 25/20' " 0 120 1/20" '25/20' (1) 0.992

= 104/50 > — 1/50 0 150 < 10^50 = 1.994

x3 12340 140 140 0 12340 2.992

r xi (3) '25/20" " 0 120 1/20" 0.992 (2) 1.001

x2 >? = — 150 0 150 ? 1.994 > = 2.000 >

x3 123/40^ 140 140 0 2.992 V V 3.000

r xi (4) 25 20 " 0 120 1/20~ 1.001 (3) '1.000'

x2 >? = = 2.000 >

x3 12340 140 140 0 3.000 v 3.000 V ^

Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(1,2,3)}.

Metode Iterasi Gauss Seidel

Metode iterasi Gauss Seidel seperti halnya iterasi Jacobi merupakan proses rekursi berulang untuk mendekati bilangan yang tidak diketahui (X). Sebagai titik awal pada proses rekursi tersebut diperlukan nilai awal dan biasanya adalah X=0. Pada proses selanjutnya nilai yang sudah diketahui tahap sebelumnya (X(1)) dipergunakan untuk mencari nilai pada tahap berikutnya (X(2)). Proses tersebut terus berulang hingga diperoleh nilai X yang sesungguhnya atau berhenti jika toleransi kesalahan tertentu telah dicapai.

Persiapan iterasi Gauss Seidel:

1. Susunlah persamaan linier simultan sedemikan rupa sehingga elemen pada diagonal utama matriks koefisien persamaan tidak ada nilai nol (0).

2. Lakukan transformasi baris pada persamaan tersebut sehingga elemen pada diagonal utama merupakan nilai yang paling besar (supaya iterasi konvergen).

Merubah bentuk persamaan linier simultan :

(an )X1 I a12X2 I •••I a1nXn — b1 a21 X1 ^ (a22 )X2 ^ ^ a2nXn — b2

a

m1 X1 + am 2 X2 + ••• + (amn ))Xn — bm

X1 —

X2 —

b1 a12 X2 a1nXn

(an)

b2 — a21 X1 — ••• — a2 nXn

(a22 )

Atau

n

b-I

a1jX j

Xi —

j—1 j *1

a

11

X—

n

bm am1 X1 ••• am( n-1) Xn-1 (amn )

n

bn -1 - I

an-1jXj

Xn-1 —

j—1 j * n-1

a

n-1 In-1

n

b2-I

a2 jXj

X—

j—1 j * 2

a

22

n

bn -I

X—

n I anj X j j—1 j * n

n

a

nn

Iterasi Gauss Seidel :

Pilih nilai awal X(0) yaitu (xp x2, r3) = (0, 0, 0)

r (i+1) 1 = (b1 - a12 r(i) -2

r (i+1) 2 = (b2 - a21 r(i+1) 1

 

r(i+1) 3 = (b3 - a31 r(i+1) 1

r (i+2) 1 = (b1 - a12 r (i+1) 2

 

r(i+2) 2 = (b2 - a21 r(i+2) 1

r(i+2) 3 = (b3 - a3V r(i+2) 1

.(i)

13^3

11

a23 V3 )) / a22

- a

32

- a

13

)/a

-a

a

33

11

23

)/a

22

0^32 V2 ) / a33 , • • • dsSt

Berhenti jika :

1 1 - i X i - X i

100 e ( : toleransi kesalahan)

Iterasi Gauss Seidel

Iterasi pertama

X1 = (b1 " a12x2 " a13x3) / a11

X2 = (b2 " a21x1 " a23x3) / a

22

1

x3 = (b3 " a31x1 " a32x2) / a

33

Iterasi kedua

x1 = (b1 ~ a12x2 " a13x3) / a11 x2 = (b2 " a21x1 " a23x3) ^ a22

- x

x3 ~ (b3 " a31x1 " a32x2) / a33

Dst.

Pada iterasi Gauss Seidel komponen dari nilai dugaan baru X(k+1):

(x(

(k+1) x (k+1) x (k+1) x (k+1)

)

Dihitung langsung dari nilai dugaan gabungan (nilai lama dan baru) atau

(X(k) dan X(k+1) :

(x 1k +1

k

k +1 x k +1 x k x

j\> 2 5 3 5 • • • 5 n

)

Iterasi Gauss Seidel Dalam Bentuk Matriks

Xi

x

2

x

x

n

c ^

x1

nilai baru

' {J aii

{2 / a22

{3 /a33 • • > —

• {m / amn

0

a2l/ a22 a3\l a33

x

2

s x0

{x}nilai {x}nilai

baru lama

xn nilai n

gabungan

v 1' y

ai2l ai1

0

a32 /a33

anl aii

a23 / a22 0

a J a a 2 / a a 3 / a

mil mn m2 / mn m3 / mn

Atau

xi(i) = {{i/ aii }-{0 aul aii ai3l aii

ainlaii

a2 n I a22 a3nl a33

0

x

x

2

x

x

n

nilai

gabungan

W^i}

x x x

(0) i

(0) 2

(0)

x

(0)

n

f /IN

r2 {^2/ a22} {a21/ a22 0 a23 / a22

12 n / a22 }

r

r

r3 1 = {b3 /a33 } {a31 /a

r

(1) 1

(0) 2

(0)

r

(0)

n

33 a32 / a33 0 '

13^a33 }

r

r

r

(1)

1

(1)

2

(0)

r

(0)

n

r(1) = {b la \—\aJa

n v m / mn) K m1/

a 2/a a 3/a mn m2 mn m3 mn

0}

r

r

r

(1) 1

(1) 2

(1)

r

(0)

n

Contoh 1. Tentukan penyelesaian persamaan berikut.

2 1 x2 1 x3 = 9 " 2 1 1" " 9"

1 4 -x2 1 x3 = 9 1 4 1 x2 = 9

1 x2 1 5 x3 = 14 1 1 5 _ x3 _ 14

^ AX = B

Solusi:

X

(0) 1

x(1) ={{/flu}-{0 ajan au/au} 1 = {9/2}-{0 1/2 1/2}

X

x

(0) 2 (0) 3

x2() = {/ a22 }-{/ an 0 aj a21 }x201 [ = {9/4}-{{4 0 (4}

x

(1)

x x x

(0) 1

(0) 2 (0) 3

x

(1) 1

X3(1) = a33 } {a31 / a33 ^2/ a33 0}l Xf [ = {(V5}-{(/5 V 5 0}

x

(1)

x

(0)

x20) [

x

(1) 1

x

(0)

x

(0)

x2 ) ^

x

(0)

 f (0) ] x1 0

untuk nila awal : X(0) = = maka

 x (0) x3 0

3

3

x(() ={9/2}—{0 i/2 i/2}

0} = 4.500 0

x2() = {9/4}—{{4 0 i/4}

4.500

L________

0

0

= i.i25

x(2) = {9/2}—{0 i/2 i/2}

x3() = {i4/5}—{i/5 i/5 0} 4.500

i.i25 M3.i00 i .675

I1-------i

xf = {9/4}—{{4 0 i/4}

' i.675

x32) = {i4/5}—{i/5 i/5 0}

4.500 i.i25

i_______j

0

= i.675

3.i00 i.i25 !> = i.056

3.i00 i.056 M i.969

X1(3) ={9/2}-{0 1/2 1/2}

3.100

1.056 [ = 2.988 1.969

x23) = {9/4}-{{4 0 1/4}

2.988 1.056 1.969

> = 1.011

x,(4) =

{9/2}-{0 1/2 1/2}

2.000

l!-------i

x24) = {9/4}-{{4 0 1/4}

x33) ={1V5}-{1/5 1/5 0} 2.988

1.011 M 2.994

2.988

1.011

1________

1.969

= 2.000

2.994 1.011 !> = 1.001

2.000

2.994

x) = {14/5}-{1/5 1/5 0} 1.001 = 2.001

2.000

x(5) ={9/2} —{0 1/2 1/2}

2.994 1.001 ^ = 2.999

2.001

x25) ={9/4}—{{4 0 14}

2.999 1.001 ^ = 1.000

X(6) ={9/2}—{0 1/2 1/2}

2.001

x3(5) = {14/5} —{{5 1/5 0} 2.999

1.000 I = 3.000

2.999 1.000 2.001

= 2.000

2.000

x26) ={9/4}—{{4 0 1/4}

3.000 1.000 !> = 1.000

2.000

x3(6) = {14/5}—{{5 1/5 0}

3.000 1.000 2.000

= 2.000

Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(3,1,2)}

Contoh 2. Tentukan penyelesaian persamaan berikut.

5 1 x2 1 x3 = 18 "5 1 1" "18 "

1 8 1 x3 = 20 1 8 1 x2 = 20

1 x^ + 4 x3 = 9 1 1 4 _ x3 _ 9

^ AX = B

Solusi:

X

(0) 1

X(1) ={b1/a11}—{0 a12/a11 a.Ja^lx^ U{18/5} —{0 1/5 15}

x

X

(0) 2 (0) 3

xf = {/a22}—{/ an 0 a J a22 }}0) = {2^8}— {1/8 0 18}

X

(1) 1

X X X

(0) 1

(0) 2 (0) 3

x« = {/a33}—{/a33 a,, 0} xf \ = {9/4}— {{4 14 0}

X

(1) 1

x

(0)

x

(1) 1

x x x

(1) 1

(0) 2 (0)

3

x

(0)

untuk nilai awal : X(0) = 1 x2(0)

(0)

0

= 10 0

x

(0)

1 xf >

x

(0)

maka :

3

x1(1) = {18/5}-{0 1/5 1/5}

0^ = 3.600 0

x21) = {2/8}-{{8 0 1/8}

3.600 0 0

= 2.050

xf ={9/4}-{{4 1/4 0} 3.600

x1(2) = {18/5}-{0 1/5 1/5}

3.600 2.050 0

= 0.838

2.050 = 3.022 0.838

3.022 2.050^ = 2.018

x22) = {2/8}-{{8 0 1M

'0.838

xf ={9/4}-{{4 1/4 0}

3.022 2.018 0.838

= 0.990

X((3) ={i8/5}— {0 i/5 i/ 5}

3.022 2.0i8 ^ = 2.998

0.990

x23) ={2/8}—{{8 0 i/8}«

2.998

2.0m = 2.00i

0.990

x33) ={9/4}—{{4 i/4 0}

x((4) = {i8/5}—{0 i/5 i/5}

2.998 2.00U = 3.000

2.998 2.00i ^ = i.000 0.990

i.000

x24) ={2/8}—{{8 0 i/8}«

3.000

2.001 !> = 2.000

i.000

x34) ={9/4} —{{4 i/4 0}

3.000 2.000 ^ = i.000 i.000

Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(3,2,i)}.

Contoh 3. Tentukan penyelesaian persamaan berikut.

20 r1 1 r2 1 r = 25 20 1 1 25

1 50 r^ + r3 = 104 1 50 1 r2 = 104 ^ AX = B

r1 1 r2 1 40 r = 123 1 1 40 _ r3 _ 123

Solusi:

r

(0) 1

r(1) = {/ a11 }-{0 a12/ a11 a13j a11}}r 20) > = {25/20}- {0 1/20 120}

r r

(0) 2 (0) 3

r21) = {2/a22}-{/ an 0 aj a22 J} U (l0^/50}-{{50 0 1/50}

r

(1)

r r r

(0) 1

(0) 2 (0) 3

r

(1) 1

r

(0)

 

 fr (1)! 1 fr (1) 1 1

r3 1 = {{/a33 } {a3^a33 a32 a33 0} x(1) > = {123/40}-{{40 1/40 0} r2 ^

 (0) r1 0 x(0) 3 r (0) 3

untuk nilai awal : X(0) = = maka :

 x (0) r3 0

r

(0)

3

x1(1) = {25/20}-{0 1/20 1/20}

0[ = 1.250 0

x21) = {104/50}-{{50 0 1/50}

1.250 0 [ = 2.055

0

x(2) = {25/20}-{0 1/20 1/20}

x31) = {123/40}-{1/40 1/40 0} 1.250

2.055 ^ = 0.998

2 992 r

0.998

2.055 [ = 2.000

1.250 2.055 0

= 2.992

x22) = {104/50}-{{50 0 1/50}

' 2.992

x32) = {123/40}-{1/40 1/40 0}

0.998 2.000 2.992

= 3.000

x(3) =

{25/20}— {0 i/20 i/20}

'3.000

x23) = {i04/50}— {{50 0 i/50}

0.998 2.000 ^ = i.000

i.000 2.000 ^ = 2.000

3.000

x23) ={i04/50}—{{50 0 i/50}

i.000 2.000 3.000

= 3.000

Jadi himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {(i,2,3)}.