Topik Bahasan:
- Definisi Derivative;
- Aturan Dasar Diferensiasi;
- Asal Aturan Diferensiasi;
- Aturan Fungsi Khusus;
Slide: Teknik Diferensial selengkapnya bisa Anda pelajari pada konten di bawah ini.
Slide: Teknik Diferensial
Dr. Ruminta
Transcript
Definisi Derivative
Proses menemukan/mendapatkan derivative/turunan dari sebuah fungsi disebut diferensiasi (diferensial).
Deivative dari fungsi f(x) :
r(x)=limf(*+h - /
h^o h
atau
f'(-)=lim f (x" f (')
Ax ^ 0
2
Notasi Derivative
Jika fungsi y = f(x) derivative-nya dinyatakan
f'(Xo), ^^, D(f )(x0), Df (x0)
dx
2
dy d dx dx
f (x), yf'(x).
3
f '(x ) = y ' =
dy = df dx dx
d dx
f (x ) = Df (x ) = Dxf (x)
1
Contoh
1
Tentukan derivative dari fungsi f(x) = x2 - x
f.(x) = Lim f(x + h) -f (x) = Lin 2*+>rj±
h^0 h h ^0 h
= Lim (x + h) - (x + h) - (^ - x) = Lim(2x + h -1)
h^0 h h^0
2 2 2
T. x + 2xh + h -x-h-x + x 01
= Lim- = 2x - 1
h^0 h
Contoh
2
Tentukan derivative dari fungsi f(x) = V3x + 2
f'(x) = Limf (x + h - f (x)
J h ^o h
J3(x + h) + 2 -V3x + 2 = Lim —-
h^O h
= Lim
h^O
^3(x + h) + 2 -43x + 2 ^3(x + h) + 2 + V3x + 2 h t]3(x + h) + 2 W3x + 2
= Lim
3 x + 3h + 2 - 3 x - 2
= Lim-
3
h^0 h(^3(x + h) + 2 W3x + 2) ^3(x+h)+2 W3x+2)
3h
L/m-. =-,
hh^3(x + h) + 2 + V3x + 2)
3
2(V3 x + 2)
Grafik Derivative dari Fungsi
Jika f(x) naik (slope positif
Jika f(x) turun (Slope negatif
Tangen horizontal (slope =0)
Derivative Fungsi Tidak Ada
Sudut
Tangen vertikal Diskontinue
Aturan Dasar Diferensiasi
2
3
4
5
d
(c) = 0 Konstanta
dx
d d
--x(cu) = cdf(u) Perkalian konstanta
CUv CUv
D (x) = 1 Derivative f(x)=x adalah 1.
D(f + g) = D(f) + D(g) atau d( + v) = d(u) + d(v)
CtA OlJv CtA
Penjumlahan dan perbedaan
D (fg ) = D (f )g+ fD (g) atau -d- (uv ) = ud (v) + v—(u)
dx dx dx
Produk
1
6
d lxn ) = nxn-1 Pangkat
dx
7
D (f (g (x))) = D (f)(g (x)) D (g)( x) Rantai
=f '(g (x ))g'(x)
dx
8
D
' n gD(f)-fD(g) atau A
v g J "
g2 dx V v J
vd (u) - u—(v) dx dx
2
v
Hasi bagi
9
1
D(f-1 ) = D(f) Funfsi Invers
Contoh
Konstanta
f (x) = 5 f'(x) = 0
2
3
f (x) = 3 x
8
f'(x) = 3 (8 x7 ) = 24 x7
f ( x ) =
4t
2
5
ff ( x ) =
d_ dx
4 x
4 d
5 dx
x
2
= 4 (2 x )=
5 5
1
Contoh
f (x) =
x
.2
1
34~x
+17
1
1 2 1 -
f (x) = — x — x 2 +17 5 3
f'(x) = 2 *1 x + (- - x" 2 + 0
5 3 2
2 1
f f( x)=5 x+—
3
6 x 2
1
2
f (x) = x3 - 4 x + 5
f'(x) = —x3 - — 4x + — 5
dx dx dx
f' (x) = 3 x2 - 4 + 0
f' (x) = 3 x2 - 4
3
11 11
f' (x) = 0 +12 x 1 = 12 x f (x) = 7 + x
Contoh
f(x) = x
7
fix) = Ix
x +4x
/'(*) = -( 3x2+4x
3x + 2
V5
x +4x
xl/2
= (3x2 + 4xj )"1/2(6x + 4)
Contoh
y = (3x2 - 2x_1)(4x3 + 5)
^ = (3x2 - 2x-1) -d- (4x3 + 5) + (4x3 + 5)—(3x2 - 2x)
dx dx dx
dx
= (3xz - 2x)(12xz) + (4xJ + 5)(6x + 2x-)
dy = 36x4 - 24x + 24x4 + 8x + 30x +10x"2
dx
dy r^ . 1 . 1
dx
= 60 x4 +14 x +10 x
1
2
3
f (x) = (3 x - 2 x 2)(5 + 4 x)
f' (x) = (3 x - 2 x2)—(5 + 4x) + (5 + 4 x)—(3 x - 2 x2)
dx dx
= (3 x - 2 x 2)4 + (5 + 4 x )(3 - 4 x) = -24 x2 + 4 x +15
h (x) = (3 x - 2 x 2)(5 + 4 x).
f (x) = 3 x - 2 x2 ^ f' (x) = 3 - 4 x
g (x) = 5 + 4 x ^ g' (x) = 4
(fg )'= fg + fg ' •• h' (x) = fg + fg'
h' (x) = (3 - 4 x )(5 + 4 x) + (3 x - 2 x2 )(4) h ' (x) = -24 x2 + 4 x +15
Contoh
d r f (x )i g (x) dd- [f (x) ]- f (x) d [g (x) ]
dx _ g(x) _ [g ( x ) ]2
y =
dy dx
5 x - 2
x2 +1
(x2 + 1)
2 ? 1 — (5x - 2) - (5x - 2) — (x2 +1)
dx dx
(x2 +1)2
dy = (x2 +1)(5) - (5 x - 2)(2 x) dx (x2 +1)2
dy = (5x2 + 5) - (10x2 - 4x) dx (x2 +1)2
dy -5 x2 + 4 x + 5 dx (x2 +1)2
1
2
f ( x ) =
5 x - 2 x2 +1
f' (x) =
(x2 +1)—(5 x - 2) - (5 x - 2)—(x2 +1) _dx_dx_
(x2 +1)2
(x2 +1)5 - (5x - 2)2x (5x2 + 5) - (10x2 - 4x)
(x2 +1)2
(x2 +1)2
-5 x + 4 x + 5
(x2 +1)2
3
h( x) =
5 x - 2
x2 +1 f (x) = 5 x - 2
g (x) = x +1
f' (x) = 5
g' (x) = 2 x
f_
g
f g
= (5)( x2 +1) - (5 x - 2)(2 x) h (x) = (x2 +1)2
= fg - fg'
" [g]2
-5 x2 + 4 x + 5 (x2 +1)2
4
f (x) = ^ x2 + 1
(x2 +1)d (5 x - 2) - (5 x - 2)d (x2 +1) f' ( x ) =_dx_dx_
(x2 +1)2
(x2 +1)5 - (5x - 2)2x = (5x2 + 5) - (10x2 - 4x) _ -5x2+4x + 5 (x2 +1)2 = (x2 +1)2 _ (x2+l)2
Contoh
Rantai
2
d dx
[f( g (x)) ] = f' (g (x)) g ' ( x)
r
G (x) =
2 x -1 ^
V
3 x + 5
r
G' (x) = 7
V
2 x -1
3 x + 5
r
\
V
r
G' (x) = 7
2 x -1
(3 x + 5 )2-(2 x -1)3
2
(3 x + 5) 13 91(2 x -1)
J
V
3x + 5 J (3x + 5)2 (3x + 5)
8
y = u5//2, u = 7x8 + 3x1 = 2u32 -(56x7 + 6x)
= 2(7x8 + 3x2 ) -(56x7 + 6x) = (140x7 +15x)(7x8 + 3x2)
\3/2
1
3
f (x) = (3 x - 5 x2)7
4
f (x) = 3(x2 -1)2
u =
y =
2 du x -1 ^ = 2 x
dx
2 dy 2 -3 u3 ^ =—u 3
du 3
dy = 7u 6 3 -10 x) dx
dy = 7(3x - 2 x 2)6(3 -10 x)
dx
dy dx
dy
dx dy
dx
3 u 3 ^ 2 x)
2
1
-(x2 -1) 32x) 4 x
1
3(x2 -1)3
Aturan Fungsi Khusus
2
3
4
5
dxr r-1 -= rx ', r e ?
dx
d sin (x)
dx
= cos(x)
dcos(x)
dx
= - sin (x)
dtan(x) 1
dx cos2(x) d arcsin (x) 1
dx
4T-
x
6
7
8
9
d arctan (x) 1
dx
1 + x
2
d ex
dx
= e
x
dax dx
= ax ln (a)
d ln (x) = 1 dx x
1
Con+oh
71 / (*) = sin(2x)
. du u = 2x^ — = 2
dx
y = sin(w) —» — = cos (u)
du
f (x) = tan(x -1)
? du -u-x -1 —> — = 2x
dx
2, x
y = tan(tt) ^ — = sec (w)
du
— = 2 cos (u) = 2cos(2x) dx
— = sec2(^)(2x) = 2xsec2(x2 -1) dx
Diferensiasi Fungsi Sinus
d sin (x)
dx
= cos(x)
sin(x + h) - sin(x) sin(x)cos(h) + cos(x)sin (h) - sin (x)
h h
sin(h) / . / .cos(h)-1 = —cos (x) + sin (x)-——
h w w h
sin(x + h)-sin(x) , . ^ lim—----= cos(x) : incat bahwa :
h^o h v ;
sin (h) , cos (h)-1 ^ lim—= 1 aan lim-^— = 0 v
h^o h h^o h
Diferensiasi Fungsi Cosinus
dcos(x) . ( . -±-L = - sin (x)
dx
( n > (n 1
- x = cos --x 1
V 2 J V 2 J
r
v
n
--x
2
A
J
= - sin (x)
Diferensiasi Fungsi Tangen
d tan(x) 1
dx
d tan (x)
cos2(x)
d
( sin( x) >
V cos (x )J
dx
dx
cosi (x) cos (x) !-sin ( >) (-sini (x))
cos2( (x; )
cos2 (x) 1 + sin2! M i = 1
cos2(x) 1 cos2(x)
Diferensiasi Inverse Fungsi Trigonometri
d arcsin (x) 1
dx VTT-2
x
Jika x = sin (y ). >,
d arcsin (x) 1111
dx d (sin (y)) cos (y) - sin2 (y) V1-r
dy
2
d arctan (x) 1
dx 1 + x2
Jika x = tan (y)
darctan(x) 1 2/ . 1 1 _i_l =_= cos2 (y) =_=_
dx d tan(y) v 7 1 + tan2 (y) 1 + x2
dy
1
Diferensiasi Fungsi Exponensial
d ax
dx
= ax
ax+h - ax xah -1 x ah - a0 x
-= ax-= ax--z 0 ^ ax
h h h h^0
ah - a0
Ingat dafinisi dari bilangan naturan a lim-= 1
h
2
da
x
= ax ln(a)
dx
i-i x ln(ax) xln(a)
Jika a = a v ; = a w dan nuanggunakan aturan rantai Maaa
d (ax ln(a)
da
= axln(a) ln (a) = ax ln (a).
dx dx
3
A [[ (x )]= limi^HM
dx h ^0 h
— (ex )= limiX+l^il
dx v 7 h ^ 0 h
h x
e e -e lim-
h ^0 h
lim -e—^-1
h ^0 h
eh -1
exlim-= ex(1) = e
h^o h
Aturan Diferensiasi Fungsi Exponensial
Aturan 1:
d /
dx
(e" )=
xl ex
Aturan 2:
d /
dx
(ef (x) )= ef (x) • f'(x)
Contoh
Temukan derivative dari f(x) = x2ax
f(x) = x2ex f '(x) = x2ex + ex2x
f '(x) = xex (x + 2)
2
Temukan derivative dari f(t) = (e+ + 2)
f(t) = (e+ + 2))
f(t) = 3 ( + 2))
1
3
£x
x x2
Temukan derivative dari : f(x) =
f'(x )= 2X
f,(x)= x 2e x - ex (2x ) f,(x). x2ex-42xex = xe x (x4 - 2)
x4 x x
ex (2x)-x2ex ex (x - 2)
f'(x)= ^^ f'(x) =
4 A V-/- 3
x x3
4
Temukan derivative dari f(t) = e
f (x) = e3x f (x) = e3x - 3
3x
5
6
Temukan derivative dari : f(x) = e
2x2 +1
2x +1
f(x) = e
f '(x) = e2x2+1 (4x)
2
f '(x) = 4xe 2x +1
Temukan derivative dari f (x)= e
f'(x) = e^ -f fa)
dx
f' (x) = e^ • 1(5x) (5)
f' (x)= 5
e
f' (x )= r-2V5x
5e^
V5
x
Diferensiasi Logaritma
d In (x) 1
dx x
Jika x = ey. Maka :
d In (x) 1 1 1 dx ~ d (ey) = e7 = x'
dy
Aturan Diferensiasi Fungsi Logaritma
Aturan 1:
ln|x| = - (x * 0 )
d
? ix
dx x
Aturan 2:
f (x) > 0
Contoh
1
2
Temukan derivative dari f(x)= xlnx.
f(x) = xlnx 1
f '(x) = x — + lnx -1 x
f '(x) = 1 + lnx
Temukan derivative dari g(x)= lnx/x
( ) lnx g(x) = -
x
x x- lnx •1 „ , 1 - lnx
g ' (x) = —x-2--g (x) =
2 c? v / 2
x 2 x 2
3
4
Temukan derivative dari : y = x2lnx .
(1 ^
y' = x2 1-J + (lnx)(2x)
v x J y' = x + 2xlnx
Atau y' = x(1+2lnx)
Temukan derivative dari y = ln(x + 4)- ln(x - 3)
11 x-3 x+4
y'=—r--r y =
x + 4 x —
3 (x + 4)x — 3) (x + 4)x — 3)
y' = — 7
(x + 4 Xx — 3 )
5
Temukan derivative dari : y = ln[(x2 + 1)(x3 + 2)6]
y = ln
(x2 + 1)3 + 2)6 = ln (x2 +1) + ln(x3 + 2)6 = ln(x2 +1)+ 6ln(x3 + 2)
y = ln (x2 +1)+ 6ln (x3 + 2) ' 2x 6 (3x2)
y =(1+(2)
y =
2x (x3 + 2
(x2 +1)x3 + 2)+ (x3 + 2 )2 +1
6 (3x2 )(x2 +1)
y =
2x (x 3 + 2) + 6 (3x2 )(x 2 +1
)
(x2 +1)x3 + 2) (x3 + 2 )x2 + 1)
2x 4 + 4x y = ^--c +
18x 4 + 18x 2
(x2 + 1)x3 + 2) (x3 + 2 )x2 + 1)
'= 20x 4 + 18x 2 + 4x 7 (x2 + 1)x3 + 2)
6
Temukan derivative dari : y = x(x + 1)(x2 +1)
Langkah 1 Buat ln pada dua sisi persamaan
ln y = ln x(x + 1)(x2 +1)
Langkah 2 Kembangkan persamaan tersebut
ln y = ln x(x + 1)(x2 +1)
ln y = ln x + ln(x +1) + ln(x2 +1)
Langkah 3 Diferensiasi kedua sisi (eksplisitkan ln y )
ln y = ln x + ln(x +1) + ln(x2 +1)
y' 11 2x
' = — +-+
y x x +1 x2 +1 Langkah 4: Pecahkan y y' = y
(11 2x
A
— +-+ —2-
vx x +1 x2 +1 j
Langkah 5: Substitusikan y pada persamaan tersebut.
y = x(x + 1)(x2 +1)
y' = x(x + 1)(x2 +1)
r
1 1 2x
— +-+
V
x x +1 x2 + 1J
y =
x(x + 1)(x2 +1) + x(x + 1)(x2 +1) + 2x[x(x + 1)(x2 +1)
A
y =
x
x +1
x2 +1
J
x (x + 1)(x2 +1) x (x + 1)(x2 +1) + 2xx (x + 1)(x2 +1)]
x + 1
+
A
x2 + 1
J
y' = ((x + 1)x2 + 1) + x(x2 + 1) + 2x [x (x + 1)]) y' = (x3 + x2 + x +1 + x3 + x + 2x3 + 2x2 )
y ' = 4x3 + 3x2 + 2x +1
Diferensial Implisit
y = 3 X3 - 4 X +17
y diekspresikan secara explisit sebagai fungsi x.
y3 + xy = 3 x +1
y diekspresikan secara implisit sebagai fungsi x.
[f (x) ]3 + x [X (x) ] = 3 x +1
Diferensial dari fungsi y yang dinyatakan secara implisit disebut diferensial implisit
Manfaat Diferensial Implisit
Menemukan slope dari garis tangen dan garis normal
Contoh menemukan slope dari garis tangen dan normal di titik (2,4)
Contoh
Temukan diferensial implisit dari
[f (x) ]3 + x [f (x) ] = 3 x +1
3 [f (x)]2 f' (x) + f (x) + xf' (x) = 3
3 y2 y + y + xy' = 3
I
y
+ x ) = 3 - y
' 3 - y
3 y + x
1
2
Temukan diferensial implisit dari y2 = x2 + sin(xy)
2y— = 2x + cos(xy) x— + y(1)
dx V dx j
2 y— = 2 x + cos( xy)(x—) + cos( xy) y dx dx
2 y — - cos( xy)(x—) = 2 x + cos( xy) y dx dx
—(2y - x cos(xy)) = 2x + y cos(xy) dx
dy = 2 x + y cos( xy) dx 2y - x cos(xy)
3
Temukan diferensial implisit dari x3 + y3 - 9xy = 0
3 x2 + 3 y2 ^ - (9 x^ + y 09) = 0 dx dx
3x2 + 3y2 dy.-9xdy _9y) = 0
dx dx
3y2 ddL-9xddL = 9y-3x2
dx dx
^ (3y2 - 9x) = 9y - 3x2
dx
dy 9 y - 3 x2
dx 3y2 - 9x)
4
Temukan diferensial implisit dari y3 + y2 -5y-x2 =-4
d_ dx
d_ dx
y3 + y2 - 5 y - x2 ] = d [-4 ]
y
+
d_ dx
y
d rr -, d
--t\5 y]-
dx
dx
x
= - [-4 ]
dx
3 y2 dy
+ 2 y—-5 ^y - 2 x = 0
dx dx dx
3 y 2 ± + 2 y± - 5 ± = 2 x
dx dx dx
dy dx
(3 y2 + 2 y - 5) = 2 x
dy = 2x dx (3 y + 2 y - 5)
Diferensial Parsial
Definisi Derivative Parsial dari Fungsi Dua Variabel Jika z = f(x,y), derivative parsian pertama dari f dinyatakan fx dan fy yaitu :
/ x f (x + Ax, y)- f (x, y)
X (x v) = lim —_—_
Jx\x>y) ~ Ax Hii0 Ax
, ( \ r f (xy+Ay)-f(xy)
fy(x, y) = Ay 1m 0-—-
Definisi Derivative Parsial dari Fungsi Tiga Variabel Jika w=f(x,y,z), maka derivative parsial
dinyatakansebagai berikut:
dw dx dw dy
dw
~dZ
= fx (x y >z )= Ax liumi 0
= fy (x y,z )= Ay limi 0
f (x + Ax, y, z )-f (x, y, z)
A
= fz (x y, z )= Az Im 0
f (x, y + Ay, z ) -f (x, y, z )
Ay
f (x, y, z + Az) - f (x, y, z)
AA
Contoh
Temukan diferensial parsial fx dan fy dari
f (x, y) = 5 x4 - x2 y2 + 2x3 y
Solusi
f (x, y) = 5x* - x2y2 + 2x*y
fx (x, y) = 20x3 - 2y2 x + 6yx2
fy (x, y) = -2 x 2 y + 2 x3
1
2
Temukan diferensial parsial fx dan fy dari
f (x,y) = ipad8 titik (2, -2)
x - y
Solusi
f (x, y) = -^at (2, -2)
fx (x y) =
x - y
(x - y)y - xy xy - y2 - xy -y2
(x - y)2 (x - y)2 (x - y)2
f (2 -2)= -(-2^ =n = zi
' (2-(-2))2 16 4
( ) = (x - y)x + xy = x2 - xy + xy
Jy (x' y) = "
x 2
(x - y )2 (x - y )2 (x - y )2
x2 4 1
fy 2-2) = "(x - y)2 ,6 4
3
Temukan diferensial parsial fx dan fy dari
f (x, y) = 3xy2 - 2y + 5x2y
Solusi f(x,y) = 3xy2 - 2y + 5x2y
fx (x, y) = 3 y2 +10 xy fxx (x, y) = 10 y
f (x, y) = 3xy2 - 2y + 5x2y fy (x, y) = 6xy - 2 + 5x2
fw(x y) = 6 x
f (x, y) = 3xy2 - 2y + 5x2y fx (x, y) = 3 y2 +10 xy fxy (x, y) = 6 y +10 x
f (x, y) = 3xy2 - 2y + 5x2y fy (x, y) = 6xy - 2 + 5x2 Xvx (x, y) = 6 y +10 x
Derivative Tingkat Tinggi
Derivative fungsi f(x) adalah f (x). Jika f '(x) mempunyai derivative, disebut derivative tingakt dua atau f "(x)
Notasif» (x) =
dx
Derivative tingkat 2 mempunyai derivative tingkat tiga dan derivative tingkat tiga mempunyai derivative tingkat empat dst
Notasi f • (x)=f (4)(x)=Zy f
UA UA UA
Contoh
1
2
Temukan derivative tingkat dua dari
(x -1)(1) - x (1) -1
f ( x ) =
x
x -1
f \ x ) =
f" ( x ) =
(x -1)
(x -1)
d_ dx
(
-1
A
V
(x -1)
J
f' (x) = -2( x -1)-3(1) =
= d ((x --2
(x -1):
Temukan f '''(x) dari : f (x) = 3x5 - 2x3 +14
f'(x) = 15x - 6x
f"(x) = 60x3 -12x
3
Temukan derivative tingkat dua dari f (x) =
2 x +1
3 x - 2
2 (3x - 2)-3 (2 x +1) -7 , ,-2
f(x) = -1-\-=-'-^r = -7 (3x-2) 2
(3 x - 2 )2 (3 x - 2 )2 V ^
-3 42
f' (x) = I4 (3 x - 2 )-3 (3 ) = ——,
(3 x - 2 )
4
Temukan f '''(x) dari : f(x) = x2 + 4x + 4
f(x) = 2x + 4 f"(x) = 2
f'' '(x) = 0
Slide Matematika dan slide-slide lainnya yang ada di Site SmartStat dapat dipelajari pada tautan di bawah ini:
Daftar Slide Matematika
Daftar Seluruh Slide
Slide lainnya bisa Anda download :di sini