Sidebar Menu

Uji t berpasangan (paired t-test) adalah salah satu metode pengujian hipotesis dimana data yang digunakan tidak bebas yang dicirikan dengan adanya hubungan nilai pada setiap sampel yang sama (berpasangan). Ciri-ciri yang paling sering ditemui pada kasus yang berpasangan adalah satu individu (objek penelitian) dikenai 2 buah perlakuan yang berbeda. Walaupun menggunakan individu yang sama, peneliti tetap memperoleh 2 macam data sampel, yaitu data dari perlakuan pertama dan data dari perlakuan kedua. Perlakuan pertama mungkin saja berupa kontrol, yaitu tidak memberikan perlakuan sama sekali terhadap objek penelitian. Misal pada penelitian mengenai efektivitas suatu obat tertentu, perlakuan pertama, peneliti menerapkan kontrol, sedangkan pada perlakuan kedua, barulah objek penelitian dikenai suatu tindakan tertentu, misal pemberian obat. Dengan demikian, performance obat dapat diketahui dengan cara membandingkan kondisi objek penelitian sebelum dan sesudah diberikan obat.

Contoh kasus lain misalnya program diet dimana pengukuran berat badan ditimbang sebelum dan setelah diet. Contoh lain yang bisa dianggap berpasangan meski terdapat 2 objek penelitian, misalnya perbedaan antara tinggi ayah dan anaknya.

Bahasan selengkapnya mengenai uji t-student untuk data berpasangan bisa dibaca pada dokumen berikut.

Hipotesis

 

Jenis Uji:

 

Dua Arah

Pihak Kanan

Pihak Kiri

 

H0 : μd = 0

H0 : μd = 0

H0 : μd = 0

 

HA : μd ≠ 0

HA : μd > 0

HA : μd < 0

Keputusan:

     

Tolak H0 jika:

|t| > tα/2,db

t > tα,db

t < -tα,db

Asumsi

  1. Sampel data mengandung unsur yang berpasangan
  2. Sampel diambil secara acak
  3. Berdistribusi Normal

Uji Statistik

 $$ t=\frac{\bar{d}-\mu_d}{\frac{s_d}{\sqrt n}}$$

atau apabila μd = 0, maka:
 $$ t=\frac{\bar{d}}{\frac{s_d}{\sqrt n}}$$

Dimana derajat bebasnya (db) = n-1

d = selisih diantara masing-masing individu/objek yang berpasangan

μd = nilai rata-rata perbedaan d populasi dari keseluruhan pasangan data, biasanya 0.

 $\bar{d}$ = nilai rata-rata dari d

sd = nilai standar deviasi dari d

n = banyaknya pasangan data

Sebelum melakukan analisis data dengan uji-t berpasangan, terlebih dahulu kita uji apakah kedua data menyebar normal atau tidak. Statistik uji yang digunakan adalah Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test.

Hipotesis uji normalitas:

  • H0 : Data menyebar normal
  • H1 : Data tidak menyebar normal

Pada pengamatan berpasangan:

  • Pemasangan antar sampel atau unit dilakukan sebelum percobaan dimulai berdasarkan harapan bila tidak ada pengaruh perlakuan maka kedua kelompok memberikan respon yang sama, dan
  • Sumber keragaman dari luar dihilangkan, sehingga perhitungan nilai kritiknya didasarkan pada ragam perbedaan antar kelompok dan bukan pada ragam diantara individu dalam setiap sampel.

Contoh 1

Survey Kesehatan Nasional dan Pengujian Gizi yang diselenggarakan oleh Departemen Kesehatan dan Layanan Masyarakat, meneliti perbedaan antara tinggi yang dilaporkan sendiri dan yang diukur langsung dari beberapa wanita yang berusia antara 12-16 tahun. Data tinggi yang dilaporkan sendiri dan tinggi yang diukur disajikan pada Tabel di bawah ini.

No

Reported height

Measured height

d

1

53

58.1

-5.1

2

64

62.7

1.3

3

61

61.1

-0.1

4

66

64.8

1.2

5

64

63.2

0.8

6

65

66.4

-1.4

7

68

67.6

0.4

8

63

63.5

-0.5

9

64

66.8

-2.8

10

64

63.9

0.1

11

64

62.1

1.9

12

67

68.5

-1.5

rata-rata

-0.475

sd

1.980874

  1. Apakah terdapat cukup bukti untuk mendukung dugaan bahwa terdapat perbedaan antara tinggi yang dilaporkan dan tinggi yang terukur dari wanita yang berusia antara 12-16 tahun? Gunakan taraf nyata 0.05.
  2. Buat selang kepercayaan dengan tingkat kepercayaan 95% antara perbedaan rata-rata tinggi yang dilaporkan dan tinggi yang diukur. 

Perhitungan Manual (Metode Klasik/Tradisional)

 

Statistik

n

12

 $\bar{{d}}$

-0.475

sd

1.980874

  1. Langkah ke-1: Klaim: dugaan terdapat perbedaan antara tinggi yang dilaporkan dan tinggi yang terukur dapat dilambangkan dengan: μd ≠ 0, jika dugaan salah, maka μ1 = μ2
  2. Langkah ke-2: Dari kedua persamaan di atas, μd = 0 mengandung unsur persamaan (equality), sehingga menjadi hipotesis Hipotesis nol dan tandingan (H1) μ1 ≠ μ2.
  3. H0: μd = 0
  4. H1: μd ≠ 0
  5. Taraf nyata: α = 0.05
  6. Tentukan uji statistiknya: sampel diambil secara acak dari objek yang berpasangan sehingga uji statistik yang relevan adalah uji-t berpasangan.
  7. Hitung nilai thitung dan tentukan tkritis:
  8.  $ t=\frac{\bar{d}-\mu_d}{\frac{s_d}{\sqrt n}}=\frac{-0.475-0}{\frac{1.981}{\sqrt{12}}}=-0.83$
  9. Tentukan tkritis dengan db = 12 dan α = 0.05. Dari tabel t-student diperoleh nilai tkritis untuk uji dua arah = ±2.201 (tanda ± karena uji dua arah)
  10. Karena |thitung| < |tkritis|= |-0.83| < |±2.201|, maka H0 diterima!
  11. Dari hasil uji-t diperoleh kesimpulan bahwa pada taraf nyata 5%, tidak terdapat cukup bukti untuk menyatakan adanya perbedaan antara tinggi yang dilaporkan sendiri dengan tinggi yang diukur oleh Departemen tersebut.

  1. Selang kepercayaan 95% untuk perbedaan rata-rata:

    Tentukan Nilai Margin Errornya (E)

 $$ E=t_{\alpha/2}\frac{s_d}{\sqrt n}=2.201.\frac{1.981}{\sqrt{12}}=1.258596$$

Selang kepercayaan dihitung berdasarkan formula berikut:

 $$\begin{matrix}\bar{d}-E<\mu_d<\bar{d}+E\\-0.475-1.259<\mu_d<-0.475+1.259\\-1.734<\mu_d<0.784\\\end{matrix}$$

Artinya, 95% dari rata-rata perbedaan sampel akan terletak pada selang tersebut yang pada kenyataannya mengandung perbedaan rata-rata dari populasi sebenarnya.

Karena pada batas selang kepercayaan tersebut mengandung nilai 0, maka tidak terdapat cukup bukti untuk mendukung dugaan bahwa terdapat perbedaan diantara kedua tinggi tersebut.

Metode Modern:

Metode di atas adalah uji statistik dengan metode tradisional. Uji dengan metode modern menggunakan nilai p-value dalam menentukan signifikan atau tidaknya suatu uji statistik.

Apabila: P-Value < Taraf Nyata maka uji nyata atau H0 ditolak

Apabila: P-Value > Taraf Nyata maka uji tidak nyata atau H0 diterima

Apabila nilai P-Value < 0.01, maka uji tersebut sangat signifikan!

Perhitungan dengan menggunakan SmartstatXL Excel Add-In

Graphical user interface, application Description automatically generated

Hasil Analisis

Table Description automatically generated

Contoh 2

Keefektifan dari suatu Bimbingan Belajar dalam menghadapi suatu Tes dinilai berdasarkan perbandingan antara nilai yang diperoleh siswa sebelum dan setelah melaksanakan kursus. Nilai tersebut diperoleh dari 10 siswa yang mengikuti Bimbel Tes Persiapan Masuk (based on data from the College Board and "An Analysis of the Impact of Commercial Test Preparation Courses on SAT Scores," by Sesnowitz, Bernhardt, and Knain, American Educational Research Journal, Vol. 19, No. 3.)

  1. Apakah terdapat cukup bukti untuk menyimpulkan bahwa Bimbel efektif dalam meningkatkan skor (nilai ujian)? Uji pada taraf nyata 0.05.
  2. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk perbedaan rata-rata antara sebelum dan setelah mengikuti Bimbel. Tuliskan pernyataan dan interpretasi hasilnya.

Student

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

before

700

840

830

860

840

690

830

1180

930

1070

after

720

840

820

900

870

700

800

1200

950

1080

d

-20

0

10

-40

-30

-10

30

-20

-20

-10

rata-rata d

-11

sd

20.24846

Perhitungan Manual (Metode Klasik/Tradisional)

 

Statistik

n

10

 $\bar{{d}}$

-11

sd

20.24846

  1. Langkah ke-1: Klaim: dugaan bahwa setelah mengikuti program Bimbel dapat meningkatkan nilai hasil ujian dapat dilambangkan dengan: μd < 0, jika dugaan salah, maka μ1 ≥ 0. (Kenapa klaim tidak disimbolkan μd > 0? Apabila nilai setelahBimbel lebih besar, maka selisihnya (d) pasti negatif, sehingga disimbolkan dengan μd < 0 )
  2. Langkah ke-2: Dari kedua persamaan di atas, μd ≥ 0 mengandung unsur persamaan (equality), sehingga menjadi hipotesis Hipotesis nol dan tandingan (H1) μd < 0.
  3. H0: μd = 0
  4. H1: μd < 0
  5. Taraf nyata: α = 0.05
  6. Tentukan uji statistiknya: sampel diambil secara acak dari objek yang berpasangan sehingga uji statistik yang relevan adalah uji-t berpasangan.
  7. Hitung nilai thitung dan tentukan tkritis:
  8.  $ t=\frac{\bar{d}-\mu_d}{\frac{s_d}{\sqrt n}}=\frac{-11-0}{\frac{20.248}{\sqrt{10}}}=-1.718$
  9. Tentukan tkritis dengan db = 9 dan α = 0.05. Dari tabel t-student diperoleh nilai tkritis untuk uji satu arah = -1.833 (tanda minus karena uji pihak kiri)
  10. Karena |thitung| < |tkritis|= |-1.718| < |-1.833|, maka H0 diterima!
  11. Dari hasil uji-t diperoleh kesimpulan bahwa pada taraf nyata 5%, tidak terdapat cukup bukti untuk menyatakan bahwa persiapan tes dengan mengikuti kursus (Bimbel) akan efektif dalam meningkatkan nilai ujian.

  1. Selang kepercayaan 95% untuk perbedaan rata-rata:

Tentukan Nilai Margin Errornya (E)

 $$ E=t_{\alpha/2}\frac{s_d}{\sqrt n}=2.262\times\frac{20.248}{\sqrt{10}}=14.484$$

Selang kepercayaan dihitung berdasarkan formula berikut:

 $$\begin{matrix}\bar{d}-E<\mu_d<\bar{d}+E\\-11-14.484<\mu_d<-11+14.484\\-25.484<\mu_d<3.484\\\end{matrix}$$

Artinya, 95 % kita percaya bahwa nilai rata-rata perbedaan dari populasi yang sebenarnya terletak pada selang antara 25.48 sampai 3.48.

Latihan 1

Seorang peneliti mempelajari pengaruh pencahayaan pada suatu tanaman bunga Lucerne pada kondisi lingkungan yang berbeda. Peneliti mengambil 10 tanaman yang segar dengan bunga-bunga yang tersinari tanpa halangan dibagian atas dan bunga bunga yang tersembunyi dibagian bawahnya. Kemudian, data banyaknya biji pada setiap lokasi dikumpulkan (Torrie, 1980). 

Nomor Sampel

Bunga bagian atas

Bunga bagian bawah

1

4.0

4.4

2

5.2

3.7

3

5.7

4.7

4

4.2

2.8

5

4.8

4.2

S

3.9

4.3

7

4.1

3.5

8

3.0

3.7

9

4.6

3.1

10

6.8

1.9

Uji hipotesis tidak terdapat perbedaan antara rata-rata populasi (H0) dan tandingannya (bunga yang terletak di bagian atas lebih banyak menghasilkan biji, H1). Gunakan taraf nyata 0.05.

 

Perhitungan dengan menggunakan SmartstatXL Excel Add-In:

Graphical user interface, application Description automatically generated

Hasil Analisis

Table Description automatically generated

Perhitungan dengan menggunakan MINITAB Software v.19:

Graphical user interface, text, application, email Description automatically generated

Interpretasi:

Hipotesis:

  1. H0: μd = 0
  2. H1: μd > 0

Metode Klasik

thitung = thitungung = T-Value = 1.98

tkritis = ttabel = t(0.05,9) = 1.833 (diperoleh dari nilai tabel t-student)

Karena |thitung| > |tkritis| 1.98 > 1.833 maka H0 ditolak!

Artinya: 95% kita percaya bahwa bunga yang terletak di bagian atas menghasilkan biji lebih banyak dibandingkan dengan bunga yang ada di bagian bawahnya.

Metode Modern:

Uji dengan metode modern menggunakan nilai p-value dalam menentukan signifikan atau tidaknya suatu uji statistik.

Apabila: P-Value < Taraf Nyata maka uji nyata atau H0 ditolak

Apabila: P-Value > Taraf Nyata maka uji tidak nyata atau H0 diterima

Pada kasus diatas, P-Value = 0.040 yang nilainya lebih kecil dibanding nilai α =0.05. Hal ini menunjukkan bahwa uji tersebut signifikan atau H0 ditolak.

Apabila nilai P-Value < 0.01, maka uji tersebut sangat signifikan!

Latihan 2

Uji pada taraf nyata 0.01, apakah terdapat perbedaan konsentrasi gula dalam nektar red clover yang disimpan selama 8 jam pada dua tekanan yang berbeda (4,4 mmHg dan 9,9 mmHg)? Data konsentrasi gula disajikan pada Tabel berikut.

Tabel Kadar Gula nektar red clover (Torrie, 1980)

Nomor Sampel

Tekanan 4.4 mmHg

Tekanan 9.9 mmHg

1

62.5

51.7

2

65.2

54.2

3

67.6

53.3

4

69.9

57.0

5

69.4

56.4

S

70.1

61.5

7

67.8

57.2

8

67.0

56.2

9

68.5

58.4

10

62.4

55.8

  1. Hipotesis
  2. H0: μ1 = μ2
  3. H1: μ1 ≠ μ2
  4. Taraf nyata : α = 0.01

Perhitungan dengan menggunakan SmartstatXL Excel Add-In:

Graphical user interface, application Description automatically generated

Hasil Analisis

Table Description automatically generated

Perhitungan dengan menggunakan MINITAB Software v.19:

Graphical user interface, text, application, email Description automatically generated

Interpretasi:

Hipotesis:

  1. H0: μd = 0
  2. H1: μd ≠ 0

Metode Klasik

thitung = thitungung = T-Value = 15.46

tkritis = ttabel = t(0.01,9) = 3.250 (dua arah pada taraf nyata 1%)

Karena |thitung| > |tkritis| 15.46 > 3.250 maka H0 ditolak!

Hal ini menunjukkan bahwa terdapat perbedaan yang sangat signifikan antara kedua tekanan tersebut terhadap kadar gula.

Metode Modern:

Uji dengan metode modern menggunakan nilai p-value dalam menentukan signifikan atau tidaknya suatu uji statistik.

Apabila: P-Value < Taraf Nyata maka uji nyata atau H0 ditolak

Apabila: P-Value > Taraf Nyata maka uji tidak nyata atau H0 diterima

Pada kasus diatas, P-Value = 0.000 yang nilainya lebih kecil dibanding nilai α =0.01. Hal ini menunjukkan bahwa uji tersebut sangat signifikan atau H0 ditolak (nilai P-Value < 0.01)