Uji-t Student Satu Sampel: Memahami dan Menggunakan dalam Analisis Data Statistika

Alur analisis uji-t satu sampel

• Hitung nilai dugaan untuk rata-rata dan ragam populasi
• Kita tahu bahwa rata-rata dan ragam merupakan nilai duga statistik yang tidak bias untuk populasi

 $$\begin{matrix}\hat{\mu}=\bar{X}\\{\hat{\sigma}}^2=s^2=\frac{\sum{(x_i-\bar{X})^2}}{N-1}\\\end{matrix}$$

• Nilai dugaan untuk ragam tidak cukup, kita harus menduga nilai ragam dari distribusi rata-rata sampel. Apabila ragam populasi diketahui, kita menemukan bahwa:
   $$\sigma_{\bar{X}}^2=\frac{\sigma^2}{N}\Rightarrow\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{N}}$$
• Sekarang kita mempunyai penduga untuk simpangan baku (standar deviasi) dari nilai rata-rata sampel (standar error). Sehingga apabila di substitusikan ke dalam persamaan sebelumnya, kita mendapatkan formula:
   $${\hat{\sigma}}_{\bar{X}}=\frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{N}}=\frac{s}{\sqrt{N}}=\frac{\sqrt{\frac{\sum{(x_i-\bar{X})^2}}{N-1}}}{\sqrt{N}}$$
• Sekarang kita bisa membuat uji statistik yang mirip dengan uji z satu sampel, dimana ragam populasi diduga dari sampel data:
   $$z=\frac{\bar{x}-\mu}{{\hat{\sigma}}_{\bar{x}}}\ \ = \frac{\bar{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{N}}}$$ parameter σ diganti dengan nilai dugaannya, s, sehingga:
   $$t=\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma_{\bar{X}}}=\frac{\bar{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt n}}$$
• Tidak seperti distribusi z, distribusi t nilainya tergantung kepada derajat bebas (db). Untuk N = ¥, t = z
• Untuk uji-t satu sampel (uji nilai rata-rata dengan suatu nilai tertentu), db = N-1

Contoh 1 (Uji 2 arah)

Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa tahan sekitar 800 jam. Akhir-akhir ini muncul dugaan bahwa masa pakainya telah berubah. Untuk membuktikan hal ini dilakukan penelitian dengan menguji 50 lampu. Ternyata rata-ratanya 792 jam dengan simpangan baku (s) = 55 jam. Selidikilah pada taraf nyata 5% apakah kualitas lampu tersebut sudah berubah?

Jawab:

1. Langkah ke-1: Klaim: daya tahan lampu sudah berubah, secara simbolik dapat dinyatakan dengan μ ≠ 800 vs. μ = 800.
2. Langkah ke-2: Dari kedua persamaan di atas, μ ≠ 800 tidak mengandung unsur persamaan (equality), sehingga menjadi hipotesis tandingan (H₁) dan Hipotesis null-nya: μ = 800.
3. H₀: μ = 800
4. H₁: μ ≠ 800
5. Taraf nyata : α = 0.05
6. Tentukan uji statistiknya: sampel diambil secara acak; σ tidak diketahui; n > 30 (berdistribusi normal). Dari kondisi tersebut, uji statistik yang relevan adalah uji-t.
7. Hitung nilai t_hitung dan tentukan t_kritis:

 $$ t=\frac{\bar{x}-\mu_{\bar{x}}}{\frac{s}{\sqrt{n}}}=\frac{792-800}{\frac{55}{\sqrt{50}}}=-1.029$$

1. db = n-1 = 50-1 = 49; α = 0.05
2. t_kritis = t (_α/2,db) = t_(0.025,49) = 2.01
3. Karena |t_hitung| < t_kritis maka H₀ diterima!

Contoh 2 (Uji Satu arah):

Rata-rata waktu yang diperlukan oleh mahasiswa untuk mendaftar ulang secara manual di Universitas A pada semester-semester sebelumnya adalah sekitar 45 menit. Suatu pendaftaran baru dengan memakai sistem informasi sedang dicobakan dengan harapan dapat mengurangi waktu pendaftaran bagi para mahasiswa jika dibandingkan dengan cara lama. Untuk itu diambil sampel secara acak sebanyak 10 mahasiswa yang telah mendaftar pada semester berikutnya dengan menggunakan sistem baru. Ternyata rata-rata waktu yang diperlukan untuk mendaftar adalah sekitar 35 menit dengan simpangan baku 9,5 menit. Apakah anda percaya dengan harapan tersebut? Uji pada taraf signifikansi 5%?

Jawab:

1. Langkah ke-1: Klaim: waktu yang diperlukan kurang dari 45 menit, secara simbolik dapat dinyatakan dengan μ < 45 vs. μ ≥ 45.
2. Langkah ke-2: Dari kedua persamaan di atas, μ < 45 tidak mengandung unsur persamaan (equality), sehingga menjadi hipotesis tandingan (H₁) dan Hipotesis null-nya: μ = 45.
3. H₀: μ = 45
4. H₁: μ < 45
5. Taraf nyata : α = 0.05
6. Tentukan uji statistiknya: sampel diambil secara acak; σ tidak diketahui; n < 30; berdistribusi normal. Dari ketiga kondisi tersebut, uji statistik yang relevan adalah uji-t.
7. Hitung nilai t_hitung dan tentukan t_kritis:

 $$ t=\frac{\bar{x}-\mu_{\bar{x}}}{\frac{s}{\sqrt{n}}}=\frac{35-45}{\frac{9.5}{\sqrt{10}}}=-3.3$$

1. db = n-1 = 10-1 = 9; α = 0.05
2. t_kritis = t (_{α, db}) = t_(0.05,9) = 1.833
3. Karena |t_hitung| > |t_kritis| maka H₀ ditolak!
4. Kesimpulan: Dari hasi uji statistik diatas, kita merasa yakin bahwa waktu yang diperlukan dengan sistem pendaftaran baru memang kurang dari 45 menit.

Contoh 3 (Uji Satu arah)

Berdasarkan pengalaman pada tahun-tahun sebelumnya, suhu tubuh rata-rata mahasiswa kedokteran yang baru masuk diyakini kurang dari 98.6°F. Untuk memastikan bawa suhu tubuh rata-rata mahasiswa yang baru masuk tetap masih di bawah nilai tersebut, seorang mahasiswa senior berencana akan mengecek kembali klaim tersebut. Namun karena kesibukannya, dia hanya mengumpulkan data dari 12 mahasiswa. Rata-rata suhu tubuh ke-12 mahasiswa tersebut adalah sebagai berikut:

 98.0 97.5 98.6 98.8 98.0 98.5 98.6 99.4 98.4 98.7 98.6 97.6

Untuk menguji klaim tersebut, dia menggunakan taraf nyata 0.05 yang menyatakan bahwa rata-rata suhu tubuh memang berasal dari populasi mahasiswa dengan rata-rata kurang dari 98.6°F.

Jawab

Sebelum melakukan uji hipotesis, kita harus mengeksplorasi data terlebih dahulu. Secara visual, periksa ada tidaknya outlier serta apakah berdasarkan histogram dan quantile plot normal kita dapat mengasumsikan bahwa data berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Dari data di atas, kita memperoleh nilai statistik: n = 12, $\bar{x}$ = 98.39, s = 0.535. Rata-rata contoh = 98.39 memang lebih kecil dari 98.6, tapi apakah cukup untuk menentukan bahwa angka tersebut nyata lebih kecil dari 98.6. Ok, mari kita lakukan langkah-langkah pengujian hipotesis tersebut. Pada kasus ini, akan digunakan metoda uji hipotesis tradisional dengan membandingkan nilai t-hitung dengan t-kritis.

1. Langkah ke-1: Klaim: rata-rata suhu tubuh kurang dari 98.6°F, secara simbolik dapat dinyatakan dengan μ < 98.6.
2. Langkah ke-2: Tandingannya : μ ≥ 98.6.
3. Langkah ke-3: Dari kedua persamaan di atas, μ < 98.6 tidak mengandung unsur persamaan (equality), sehingga menjadi hipotesis tandingan (H1) dan Hipotesis nol nya: μ = 98.6.
4. H0: μ = 98.6
5. H1: μ < 98.6
6. Taraf nyata : α = 0.05
7. Tentukan uji statistiknya: sampel diambil secara acak; σ tidak diketahui; n < 30; berdistribusi normal. Dari ketiga kondisi tersebut, ujit statistik yang relevan adalah uji-t.
8. Hitung nilai t_hitung dan tentukan t_kritis:

 $$ t=\frac{\bar{x}-\mu_{\bar{x}}}{\frac{s}{\sqrt{n}}}=\frac{96.392-96.8}{\frac{0.535}{\sqrt{12}}}=-1.35$$

1. db = n-1 = 12-1 = 11; α = 0.05
2. t_kritis = t(_α,db) = t(_{0.05, 11}) = 1.796
3. Karena |t_hitung| < t_kritis maka H0 diterima!

Perhitungan dengan SmartstatXL Excel Add-In

Hasil Analisis

Interpretasi:

Hipotesis:

1. H₀: μ = 98.6
2. H₁: μ < 98.6

Metode Klasik

t_hitung = t_hitungung = T-Value = -1.349

t_kritis = t_tabel = t_(0.05,9) = -1.796 (diperoleh dari nilai tabel t-student)

Karena |t_hitung| > |t_kritis| 1.349 < 1.796 maka H0 diterima!

Artinya: 95% kita percaya bahwa tidak terdapat cukup bukti untuk menyatakan bahwa suhu tubuh mahasiswa baru kurang dari 98.6°F. Meskipun nilai rata-ratanya memang lebih kecil, namun dari 12 sampel yang diambil, tidak cukup kuat untuk menyatakan bahwa suhu tubuh mahasiswa kurang dari 98.6°F.

Metode Modern:

Uji dengan metode modern menggunakan nilai p-value dalam menentukan signifikan atau tidaknya suatu uji statistik.

Apabila: P-Value < Taraf Nyata maka uji nyata atau H₀ ditolak

Apabila: P-Value > Taraf Nyata maka uji tidak nyata atau H₀ diterima

Pada kasus diatas, P-Value = 0.102 > α =0.05. Hal ini menunjukkan bahwa uji tersebut tidak signifikan atau H₀ ditolak.

Artinya: 95% kita percaya bahwa tidak terdapat cukup bukti untuk menyatakan bahwa suhu tubuh mahasiswa baru kurang dari 98.6°F. Meskipun nilai rata-ratanya memang lebih kecil, namun dari 12 sampel yang diambil, tidak cukup kuat untuk menyatakan bahwa suhu tubuh mahasiswa kurang dari 98.6°F.