Model Linier Rancangan Bujur Sangkar Latin
Model linier rancangan bujur sangkar latin adalah:
$$Y_{ijk}=\mu+\beta_i+\kappa_j+\tau_k+\varepsilon_{ijk}$$
μ = rataan umum
βi = pengaruh baris ke-i
κj = pengaruh kolom ke-j
τk = pengaruh perlakuan ke-k
εijk = pengaruh acak dari baris ke-i, kolom ke-k dan perlakuan ke-k
i = 1,2, …,r ; j = 1,2, …,r ; k = 1,2, …,r
Asumsi:
Pengaruh perlakuan tetap | Pengaruh perlakuan acak |
$\sum{\beta_i\ \ =\ \sum{\kappa_j=}\sum\tau_k}\ =\ 0\ ;\ \ \ \ \ \varepsilon_{ijk}\overset{bsi}{\sim}N(0,\sigma^2)$ | $\begin{matrix}\beta_i\overset{bsi}{\sim}N(0,{\sigma_\beta}^2);\ \ \ \ \ \ \kappa_j\overset{bsi}{\sim}N(0,{\sigma_j}^2);\ \ \ \ \ \\\tau_k\overset{bsi}{\sim}N(0,{\sigma_\tau}^2);\ \ \ \ \ \ \ \ \ \varepsilon_{ijk}\overset{bsi}{\sim}N(0,\sigma^2)\\\end{matrix}$ |
Hipotesis:
Hipotesis yang Akan Diuji: | Pengaruh perlakuan tetap | Pengaruh perlakuan acak |
H0 | Semua τk = 0 (k = 1, 2, …, r) | στ2 = 0 (tidak ada keragaman dalam populasi perlakuan) |
H1 | Tidak semua τk = 0 (k = 1, 2, …, r) | στ2 > 0 (ada keragaman dalam populasi perlakuan) |
Analisis Ragam:
Parameter | Penduga |
$$\mu$$ | $$\hat{\mu}=\ \bar{Y}..$$ |
$$\beta_i$$ | $${\hat{\beta}}_{i\ }\ =\ Y_{i.}-\bar{Y}..$$ |
$$\kappa_j$$ | $${\hat{\kappa}}_j\ =\ {\bar{Y}}_{.j}-\bar{Y}..$$ |
$$\tau_k$$ | $${\hat{\tau}}_k\ =\ {\bar{Y}}_k-\bar{Y}..$$ |
$$\varepsilon_{ij(k)}$$ | $${\hat{\varepsilon}}_{ij}=Y_{ij}-{\overline{Y}}_{i.}-{\overline{Y}}_{.j}-{\overline{Y}}_k+2{\overline{Y}}_{..}$$ |
Persamaan Jumlah kuadrat untuk model linier Yij(k) = μ + βi + κj + τ(k) + εij adalah sebagai berikut:
$$\sum_{i,j}^{r}{({\overline{Y}}_{ij}-{\overline{Y}}_{..})^2=r\sum_{i=1}^{r}{({\overline{Y}}_{i.}-{\overline{Y}}_{..})^2+r\sum_{j=1}^{r}{({\overline{Y}}_{.j}-{\overline{Y}}_{..})^2}+r\sum_{k=1}^{r}{({\overline{Y}}_k-{\overline{Y}}_{..})^2}+\sum_{i,j}^{k}{(Y_{ij}-{\overline{Y}}_{i.}-{\overline{Y}}_{.j}+-{\overline{Y}}_k+2{\overline{Y}}_{..})^2}}}$$
atau, JKT = JKBaris + JK Kolom + JKP + JKG
Rumus jumlah kuadrat dalam rancangan bujur sangkar latin adalah sebagai berikut :
| Definisi | Pengerjaan |
FK | $$\frac{Y..^2}{r^2}$$ | $$\frac{Y..^2}{r^2}$$ |
JKT | $$\sum_{i,j}{\left(Y_{ij}-\bar{Y}..\right)^2=\sum_{i,j}{{Y_{ij}}^2-\frac{Y..^2}{r^2}}}$$ | $$\sum_{i,j}{{Y_{ij}}^2-FK}$$ |
JKBaris | $$ r\sum_{i}\left({\bar{Y}}_{i.}-\bar{Y}..\right)^2=\sum_{i}\frac{{Y_{i.}}^2}{r}-\frac{Y..^2}{r^2}$$ | $$\sum_{i}\frac{{Y_{i.}}^2}{r}-FK$$ |
JKKolom | $$ r\sum_{j}\left({\bar{Y}}_{.j}-\bar{Y}..\right)^2=\sum_{j}\frac{{Y_{.j}}^2}{r}-\frac{Y..^2}{r^2}$$ | $$\sum_{j}\frac{{Y_{.j}}^2}{r}-FK$$ |
JKP | $$ r\sum_{k}\left({\bar{Y}}_k-\bar{Y}..\right)^2=\sum_{k}\frac{{Y_k}^2}{r}-\frac{Y..^2}{r^2}$$ | $$\sum_{k}\frac{{Y_k}^2}{r}-FK$$ |
JKG | $$\sum_{i,j}{(Y_{ij}-{\bar{Y}}_{i..}-{\bar{Y}}_{.j.}-{\bar{Y}}_k+2{\bar{Y}}_{..})^2}$$ | JKT – JKBaris – JKKolom – JKP |
Tabel 4.1. Analisis Ragam Rancangan Bujur Sangkar Latin
Sumber | Derajat | Jumlah | Kuadrat | Fhitung | E(KT) | |
| (DB) | (JK) | (KT) |
| Semua faktor tetap | Semua faktor acak |
Baris | r-1 | JKBaris | JKBaris/(r-1) | $$\frac{KTBaris}{KTG}$$ | $$\sigma^2+r\frac{\sum{\beta_i}^2}{r-1}$$ | $$\sigma^2+r{\sigma^2}_\alpha$$ |
Kolom | r-1 | JKKolom | JKKolom/(t-1) | $$\frac{KTKolom}{KTG}$$ | $$\sigma^2+r\frac{\sum{\kappa_j}^2}{r-1}$$ | $$\sigma^2+r{\sigma^2}_\beta$$ |
Perlakuan | r-1 | JKP | JKP/(r-1) | $$\frac{KTP}{KTG}$$ | $$\sigma^2+r\frac{\sum{\tau_k}^2}{r-1}$$ | $$\sigma^2+{\sigma^2}_\tau$$ |
Galat | (r-1)(r-2) | JKG | JKG/(r-1)(r-2) |
| $$\sigma^2$$ | $$\sigma^2$$ |
Total | r2 –1 |
|
|
|
|
|
Statistik uji yang sesuai untuk menguji hipotesis di atas : $ F=\frac{KTP}{KTG}$
Kaidah keputusan apabila galat jenis I sebesar α, apabila F≤ Ftabel [α; r-1, (r-1)(r-2)] maka keputusannya adalah terima H0 dan sebaliknya. Ftabel [α; r-1, (r-1)(r-2)] adalah nilai F tabel yang luas di sebelah kanannya sebesar α dengan derajat bebas pembilang r-1 dan derajat bebas penyebut (r-1)(r-2).
Adakalanya kita ingin menguji ada atau tidaknya pengaruh peubah pengelompokan. Apabila peubah pengelompokan bersifat tetap, maka uji hipotesisnya adalah sebagai berikut :
Uji hipotesis untuk peubah pengelompokan baris :
H0 : Semua βi = 0
H1 : Tidak semua βi = 0
dengan statistik uji $ F=\frac{KTBaris}{KTG}$
Uji Hipotesis untuk peubah pengelompokan kolom :
H0 : Semua κj = 0
H1 : Tidak semua κj = 0
Statistik uji : $ F=\frac{KTKolom}{KTG}$
Kaidah keputusan untuk pengaruh baris dan kolom : apabila F≤ Ftabel [α; r-1, (r-1)(r-2)] terima H0 dan sebaliknya.
Galat Baku
Galat baku (Standar error) untuk perbedaan di antara rata-rata perlakuan dihitung dengan formula berikut:
$$S_{\bar{Y}}=\sqrt{\frac{2KTG}{t}}$$
